Xây dựng - Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng

CHƯƠNG 7-
UỐN PHẲNG THANH THẲNG
GVC. Th.s. Lê Hoàng Tuấn
Nội dung:
CHƯƠNG 7-
UỐN PHẲNG THANH 
THẲNG
7.1. Khái niệm
7.2. Uốn thuần túy phẳng
7.3. Uốn ngang phẳng
1. KHÁI NIỆM
 Trục thanh bị uốn cong. 
Thanh nằm ngang  dầm, đà. 
 Ngoại lực: + P, q  trục dầm. 
+ M mp chứa trục dầm. 
 Mặt phẳng tải trọng :
mp chứa tải trọng và trục dầm
 Đường tải trọng: 
Giao tuyến MPTT và mặt cắt ngang
Mặt phẳng
tải trọng
Đường
tải trọng
P1
V2
V1
P2
M0
1. KHÁI NIỆM
 Trục thanh bị uốn cong. 
Thanh nằm ngang  dầm, đà. 
 Ngoại lực: + P, q  trục dầm. 
+ M mp chứa trục dầm. 
 Mặt phẳng tải trọng :
mp chứa tải trọng và trục dầm
 Đường tải trọng: 
Giao tuyến MPTT và mặt cắt ngang
Mặt phẳng
tải trọng
Đường
tải trọng
P1
V2
V1
P2
M0
1. KHÁI NIỆM
Giới hạn:
+ Mặt cắt ngang có
ít nhất một trục đối xứng. 
+ Đường tải trọng  trục đối xứng 
của mặt cắt ngang. 
 Trục dầm khi cong vẫn mặt phẳng : uốn phẳng.
+ Mặt phẳng đối xứng 
mp (trục đối xứng, trục thanh). 
+ Tải trọng MPĐX  MPTT
+ Chiều rộng m/c ngang bé so với chiều cao
y
y
y yy
1. KHÁI NIỆM
 Nội lực: + Lực cắt QY. 
+ Mômen uốn MX. 
 Phân loại:
Uốn thuần túy phẳng: Mx. 
Uốn ngang phẳng : Qy, Mx
z
y
MX x
QY
1. KHÁI NIỆM
A B
C
QY
a aL-2a
P P
Pa
MX
+
-
D
M0 M0A B
A B+
M0
MX
M0
-
M0
MXCD -Uốn thuần túy phẳng. 
AC.DB- Uốn ngang phẳng.
AB -Uốn thuần túy phẳng. 
Dầm uốn thuần túy phẳng. 
2. UỐN THUẦN TÚY
1. Định nghĩa: Nội lực- Mx. 
Pa
Dấu : Mx > khi căng thớ y > 0. 
z
y
MX x
1-1
A B
C
QY
a aL-2a
P P
MX
+
-
D
1
1
2.1. Định nghĩa
2. UỐN THUẦN TÚY
Thí nghiệm và quan sát:
z
y
MX x
1-1
Mặt trung hòa
MX
Đường
trung hòa
y
MXM0 M0
dz
1 2
2.2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: 
2. UỐN THUẦN TÚY
2.2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: 
Các giả thiết:
+ Mặt cắt ngang phẳng.
+ Các thớ dọc không ép,đẩy nhau .
Lập công thức: z
y
MX x
1-1
y
dAZ
ĐTHòa
Z
+ Tại điểm bất kỳ, chỉ có 
ứng suất pháp Z.
+ Định luật Hooke: Z = E.Z
2. UỐN THUẦN TÚY
2.2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: 
B
1 dz 2
MX MX
C
O2O1
y
O'
r
d
y Z
Z
O1
B1 C1
z
y
MX x
1-1
y
dAZ
ĐTHòa
Z
O1
B
+ Định luật Hooke: Z = E.Z
r
r
r  r
  r
 
y
d
ddy
dz
dzdy
BC
BCCB 11
z
2. UỐN THUẦN TÚY
2.2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: 
+ Liên hệ giữa Z và NZ:
0dA.yEdAN
AA zZ
r
  
0dA.yE
A
r 
0S0dA.y XA 
Đường trung hòa qua trọng tâm mặt cắt
2. UỐN THUẦN TÚY
2.2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: 
+ Liên hệ giữa Z và MX:
dA.yEdA.yEdA.y.M
A
2
A
2
A zx r r  
Và
x
x
EI
M1
r
y
I
M
x
x
z 
Tích EIX gọi là Độ cứng khi uốn của dầm
 A
2
X dA.yIVới: - Mômen quán tính m/c đối với trục x
2. UỐN THUẦN TÚY
2.2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: 
+ Công thức kỹ thuật :
y
I
M
x
x
z 
Dấu (+) nếu MX gây kéo tại điểm cần tính ứng suất 
Dấu (–) nếu MX gây nén tại điểm cần tính ứng suất .
z
y
MX x
ĐTHòa
+
-
2. UỐN THUẦN TÚY
2.3. Biểu đồ ứng suất pháp: 
+ Những điểm càng ở xa 
trục trung hòa có trị số ứng 
suất càng lớn
+ Những điểm cùng có 
khoảng cách tới trục trung 
hòa sẽ có cùng trị số ứng 
suất pháp. 
z
y
MX
ĐTHòa
-
+
x
+
-
max
min
ymax,k
ymax,n
+ Biểu đồ phân bố ứng suất pháp là đồ thị biểu diển 
giá trị các ứng suất tại các điểm trên mặt cắt ngang.
2. UỐN THUẦN TÚY
2.3. Biểu đồ ứng suất pháp: 
+ Biểu đồ phân bố 
ứng suất pháp
trên mặt cắt ngang
có 1 trục đối xứng.
z
MX
+
-
hx
y max
min
ĐTH
O y kmax
y nmax
2. UỐN THUẦN TÚY
2.3. Ứng suất pháp cực trị: 
z
MX
+
-
hx
y max
min
ĐTH
O y kmax
y nmax
+ Những điểm xa trục 
trung hòa nhất về phía
kéo (nén) có ứng suất 
max (min )
k
x
xk
x
x
W
M
y
I
M
 maxmax
n
x
xn
x
x
W
M
y
I
M
 maxmin
2. UỐN THUẦN TÚY
2.3. Ứng suất pháp cực trị: 
z
MX
+
-
hx
y max
min
ĐTH
O y kmax
y nmax
+ Với 
n
xn
xk
xk
x y
IW
y
IW
maxmax
 ;
'
Các Mômen chống 
uốn khi kéo (nén)
của mặt cắt ngang
2. UỐN THUẦN TÚY
+ Trường hợp đặc biệt-
2.3. Ứng suất pháp cực trị:
-
y
ĐTH-
+
x
max
min
O
y kmax
y nmax
+
Nếu trục x cũng là
trục đối xứng ( mặt cắt
chữ nhật, dạng chữ 
nhật, tròn, ,) thì :
2maxmax
hyy nk 
h
IWWW xx
n
x
k
x
2
x
x
W
M
   minmax
x
x
W
M
   minmaxvà
2. UỐN THUẦN TÚY
 Mặt cắt ngang hình chữ nhật
với bề rộng b và chiều cao h :
2.4. Mômen chống uốn của các mặt cắt thường gặp:
x
x
W
M
   minmax
6
 ;
12
23 bhWbhI xx 
4
4
x D05,064
DI 
 Mặt cắt ngang hình tròn 
đường kính D :
3
3
x D1,032
DW 
y nmax-
y
ĐTH-
+
x
max
min
O
y kmax+
MX
z
-
y
ĐTH-
+
x
max
min
O
y kmax
y nmax
+z
MX
2. UỐN THUẦN TÚY
 Mặt cắt ngang các
thép hình I, C :
WX tra bảng
2.4. Mômen chống uốn của các mặt cắt thường gặp:
x
x
W
M
   minmax
 Mặt cắt ngang 
vành khăn D, d :
)1(
64
DI 4
4
x  
)1(
32
DW 4
3
x  
y
O
D/2
D/2
x
d
 = d/D
y
x
h/2
h/2
y
x
h/2
h/2
2. UỐN THUẦN TÚY
2.5. Điều kiện bền- Ba bài toán cơ bản: 
 Điều kiện bền:
+ Dầm bằng vật liệu dòn:  k n
+ Dầm bằng vật liệu dẻo:  k =  n = 
min  n
max  k 
max max, min 
 Ba bài toán cơ bản:
Kiểm tra bền, chọn kích thước mặt cắt ngang,
chọn tải trọng cho phép.
2. UỐN THUẦN TÚY
Thí dụ 1: Bài toán cơ bản 1- Kiểm tra bền
Thí dụ 7.1
Mặt cắt ngang của một 
dầm chữ T ngược , 
mômen uốn Mx = 7200 Nm.
Kiểm tra bền biết rằng: Ix = 5312,5 cm4
Vật liệu có : 
[s ]k = 2000 N/cm2;
[s]n = 3000 N/cm2
z
MX
x
y
O
12,5cm
7,5cm
2. UỐN THUẦN TÚY
Giải
Ta có: y kmax = 7,5 cm
y nmax = 12,5cm 
  2k2
2
k
max
x
x
max cm/N2000cm/N5,10235,75,5312
107200y
I
M
  

   
  2n2
2
n
max
x
x
min cm/N3000cm/N1,16945,125,5312
107200y
I
M
  

  
Thí dụ 1: Bài toán cơ bản 1- Kiểm tra bền
+
-
max
min
z
MX
x
y
O
12,5cm
7,5cm
Kết luận: Mặt cắt đảm bảo điều kiện bền 
2. UỐN THUẦN TÚY
Thí dụ 2: Bài toán cơ bản 2- Chọn mặt cắt ngang
4m

M0
M0=60kNm
A B
x
 
a) b)
Cho dầm chịu lực như hình.
+Trường hợp a): Mặt cắt ngang 
Chọn số hiệu của thép chữ 
để dầm thỏa điều kiện bền. 
trong 2 trường hợp.
Biết [s ] = 16 kN/cm2.
+Trường hợp b): Mặt cắt ngang ghép bởi 2 thép 
2. UỐN THUẦN TÚY
 Dầm chịu uốn thuần túy; 
mọi mặt cắt ngang của dầm
có mômen uốn Mx=60 kNm.
Thí dụ 2: Bài toán cơ bản 2- Chọn mặt cắt ngang
4m
M0

BA
M0
M0=60kNm
A B
x
 
a) b)
Mx
Giải
 Vẽ biểu đồ nội lực. 
3
2
max
x cm 37516
10.60
][
MW 

 Từ điều kiện bền, ta có:
 Trường hợp 1: Chọn 1 thép I 27 có WX=371cm3
 Trường hợp 2: Chọn 2 thép I 20 có WX=2x184=368cm3
2. UỐN THUẦN TÚY
Thí dụ 3: Bài toán cơ bản 3- Định tải cho phép
1) Dầm bằng gang có mặt 
cắt ngang như hình. Xác định 
trị số mômen uốn M0 cho phép
(chiều M0 như hình vẽ).
Biết: [s ] k = 1,5 kN/cm2 . 
2) Hỏi với trị số mômen uốn
cho phép đó, ứng suất nén lớn
nhất trong dầm là bao nhiêu? 
Cho biết Ix = 25470 cm4
19,2cm
10,8cm
M0
x
y
z
2. UỐN THUẦN TÚY
Thí dụ 3: Bài toán cơ bản 3- Định tải cho phép
Giải
19,2cm
10,8cm
M0
x
y
z
 Từ điều kiện bền:
 kkmax
x
x
max yI
M
 
  Ncmk5,3537
8,10
254705,1
y
IM k
max
x
kx    Ncmk5,3537Mx 
 Tương ứng, ta có:
  2
maxmin N/cm 67,2 19,2 54702
5,3537 ky
I
M n
x
x 
3. UỐN NGANG PHẲNG
Dầm uốn ngang phẳng:
3.1. Định nghĩa- Nội lực
Mặt cắt ngang có 2 nội lực:
+ Mômen uốn Mx
+ Lực cắt Qy
P
Mx
QY + P
PL
L
1
1
1-1
MX
y
x
z
QY
zy
z
z
3. UỐN NGANG PHẲNG
1. Thí nghiệm và quan sát:
3.2. Các thành phần ứng suất
zz
 yz
 zy
a)
b)
dz
P
P
1 2
Sau biến dạng các góc vuông
không còn vuông
2. Trạng thái ứng suất:
+ Ứng suất pháp z do mômen Mx
+ Ứng suất tiếp zy do lực cắt Qy. 
Tại điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có:
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.3. Công thức tính ứng suất pháp
+ Công thức đại số
1-1
MX
y
x
z
QY
zy
z
z
y
I
M
x
x
z 
y
I
M
x
x
z 
+ Công thức kỹ thuật
z
y
MX x
ĐTHòa
+
-
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.4. Công thức tính ứng suất tiếp
1 2
dz
Mx + dMx
Nz
Mx
Qy
Qy
P
Mx
QY + P
PL
L
1 2
Mx Mx+dMx dz
MX Qy
y
y
x
z
Ox
Qy
MX+dMx
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.4. Công thức tính ứng suất tiếp
- Ứùng suất tiếp phân bố đều 
theo bề rộng của mặt cắt.
Giả thiết:
- Mặt cắt ngang dầm có chiều
rộng bé so với chiều cao.
dz
MX Qy
zy
y
y
x
z
z1
z2
O
yz
x
Qy
MX+dMx
AC
B'B
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.4. Công thức tính ứng suất tiếp
dz
MX Qy
zy
y
y
x
z
z1
z2
O
yz
x
Qy
MX+dMx
AC
B'B
0dzbdAydAy cyzA 2ZA 1Z cC
    
Công thức: Z = 0
0dzbdAy
I
dMM
dAy
I
M
c
yzA
x
xx
A
x
x
c
C
  
 
với:
AC- Diện tích cắt 
bC - Bề rộng cắt 
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.4. Công thức tính ứng suất tiếp
dz
MX Qy
zy
y
y
x
z
z1
z2
O
yz
x
Qy
MX+dMx
AC
B'B
Công thức Zurápski:
- Mômen tĩnh của diện tích cắt ra đối 
với trục x
cAcx
x
yzzy ydAbIdz
dM 1

cAcx
y
yzzy ydAbI
Q

c
x
c
xy
yzzy bI
SQ
 
cA
c
x ydASVới:
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.5. Phân bố ứng suất tiếp trên các m/c thường gặp
c
x
c
xy
zy bI
SQ
 
Với:
a) Mặt cắt chữ nhật:
Từ
maxMX Qy
zy
y
y
x
z
Ox
AC
B B'
h
b
-
max
min
+
x
h/2
bC = b
)y
4
h(
2
b)y
2
h(
2
1)y
2
h(bS 2
2
c
x 
  2
2
x
y
zy y4
h
I2
Q
A
Q
2
3 y
max  ở điểm trên trục x
 =0 ở các điểm biên trên, dưới
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.5. Phân bố ứng suất tiếp trên các m/c thường gặp
c
x
c
xy
zy bI
SQ
 
Với:
b) Mặt cắt tròn:
Từ
  2
2
y
zy R
y1
A3
Q4
A
Q
3
4 y
max  ở điểm trên trục x
 =0 ở các điểm biên trên, dưới
-
max
min
+
x
D/2
max
y
MX Qy
zy
OR
bC
D
y
x
22C yR2b 
322c
x )yR(3
2S 
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.5. Phân bố ứng suất tiếp trên các m/c thường gặp
Với:
c) Mặt cắt I:
Từ
y
x
h/2
h/2
d
t
b
x
y zy trong bản bụng: 
c
x
c
xy
zy bI
SQ
 
zy
x
y
h/2
h/2 t
y
d
2
yydSS X
C
X 
bC = d
SCX - Mômen tĩnh của nửa
mặt cắt I đối với trục x 
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.5. Phân bố ứng suất tiếp trên các m/c thường gặp
Điểm trên trục x
2
2ydS
dI
Q
x
x
y
zy
dI
SQ
X
Xy
max 
 
2
hdS
dI
Q 21
x
x
y
1
Điểm tiếp giáp cánh và bụng
khi y=h1/2
zy
x
y
h/2
h/2 h1
y
d
t
max
1
 zy trong bản bụng: 
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.5. Phân bố ứng suất tiếp trên các m/c thường gặp
 zy trong bản cánh: Bé
zy = 0 ở biên trên, dướiù zy
x
y
h/2
h/2 h1
y
d
t
max
1 zx trong bản cánh:
zx
x
y
h/2
h/2 
d
t
zx
x
zx
  
  
2
t
2
hx
2
btSCX
bC = t
  
 
2
t
2
hx
2
b
I
Q
X
Y
zx
Biểu đồ phân bố zx bậc 1
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.5.c. Phân bố ứng suất trên mặt cắt I
zy do QY
zy
x
y
h/2
h/2 h1
y
d
t
max
1
-
max
min
+
x
1
1
zmax
min
1
1
z do MX
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.6. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng
zy
x
y
h/2
h/2 h1
y
d
t
max
1
-
max
min
+
x
1
1
zmax
min
1
1
 Những điểm ở biên trên và dưới: 
 = 0, chỉ có max, min Trạng thái ứng suất đơn
max
min
+
QmaxMmax
min
max
max
-
max



3. UỐN NGANG PHẲNG
3.6. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.6. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng
 Những điểm ở biên trên và dưới: 
 = 0, chỉ có max, min Trạng thái ứng suất đơn
Điều kiện bền: + Vật liệu dòn:  k n
+ Vật liệu dẻo:  k =  n = 
min  n
max  k 
max max, min 
Mặt cắt có trị số MX lớn nhất.
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.6. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng
 Những điểm ở trên trục x ( trung hòa): 
 = 0, chỉ có  TTỨS trượt thuần túy
Điều kiện bền:
+ Vật liệu dòn:  k n
+ Vật liệu dẻo:  k =  n = 
* Thuyết bền 3 ( TB ứng suất tiếp):  /2
* Thuyết bền 4 ( TB Thế năng):  /√3
n
k
][
][


 Với:t5= 1 - 3  k* Thuyết bền 5 :
Mặt cắt có trị số QY lớn nhất.
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.6. Kiểm tra bền dầm chịu uốn ngang phẳng
 Những điểm bất kỳ ( tiếp giáp cánh và bụng thép I): 
Có 1 , 1 khá lớn TTỨS phẳng đặt biệt
Điều kiện bền:
+ Vật liệu dòn:  k n
+ vật liệu dẻo:  k =  n = 
n
k
][
][


 Với:t5= 1 - 3  k* Thuyết bền 5 :
Mặt cắt có MX và QY cùng lớn.
* Thuyết bền 3 : √(1)2 + 4(1)2 
* Thuyết bền 4 : √(1)2 + 3(1)2 
3. UỐN NGANG PHẲNG
3.7. Ba bài toán cơ bản của dầm uốn phẳng
 Bài toán cơ bản 1: Kiểm tra bền
 Bài toán cơ bản 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang
Dựa vào điều kiện bền của điểm chỉ có  max , min để 
chọn sơ bộ kích thước mặt cắt ngang dầm.
Sau đó, tiến hành kiểm tra bền đối với các điểm ở
trạng thái ứng suất khác . 
Nếu không đạt thì thay đổi kích thước mặt cắt 
ngang. Bài toán cơ bản 3: Định tải trọng cho phép. 
Từ điều kiện bền của điểm chỉ có  max , min , xác 
định sơ bộ tải trọng cho phép .
Sau đó tiến hành kiểm tra bền các điểm còn lại