Xây dựng - Chương 8: Chuyển vị dầm chịu uốn

CHƯƠNG 8-
CHUYỂN VỊ DẦM CHỊU UỐN
GVC. Th.s. Lê Hoàng Tuấn
1. KHÁI NIỆM
Đường đàn hồi-
Trục cong của dầm
Đường
đàn hồi
v=yP
y
zK
K'
u
 KK'- Chuyển vị 
thẳng của m/c K
 v- Chuyển vị đứng 
( độ võng)
 u- Chuyển vị ngang
 -Chuyển vị góc (góc 
xoay) của m/c K
1. KHÁI NIỆM
Trong điều kiện
chuyển vị bé thì
<<u v
K’ sau khi biến dạng nằm
trên đường vuông góc
với trục dầm trước biến dạng .
Góc xoay có thể lấy gần đúng:
dz
dvtg 
KK’  v= y(z) . Đường
đàn hồi
v=y(z)P
y
zK
K'
 (z)
 (z)
Pz
1. KHÁI NIỆM
Giải tích hóa các 
chuyển vị:
Đường
đàn hồi
v=y(z)P
y
zK
K'
 (z)
 (z)
Pz
Trong hệ trục (y,z):
 P/t Đường đàn hồi 
y = y(z)
 Độ võng điểm có 
hoành độ z: y
 Góc xoay m/c hoành độ z: = (z) tg (z) = y' (z)
Phương trình của góc xoay là đạo 
hàm của phương trình đường đàn hồi.
1. KHÁI NIỆM
1000
1
300
1
 
L
f
 Quy ước dương của chuyển vị:
- Độ võng y dương nếu hướng xuống.
- Góc xoay dương nếu mặt cắt quay
thuận chiều kim đồng hồ.
trong đó: L - chiều dài nhịp dầm
f - độ võng lớn nhất của dầm , ymax
 Điều kiện cứng:
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 
CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI
Xét điểm bất kỳ K hoành độ z trên dầm.
Đường
đàn hồi
y(z)P
y
zK
K'
 (z)
 (z)
Pz
x
x
EI
M1
Chương 7:
HH giải tích :
 2
3
21
1
y
y
Sau khi chịu lực K K'.
 x
x
2
3
2 EI
M
'y1
y
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 
CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI
Vì y'= = góc xoay bé
 x
x
2
3
2 EI
M
'y1
y
Và Mx luôn trái dấu y"
Nên ta được :
x
x
EI
My ''Phương trình vi phân của Đường đàn hồi:
Mx
y
z
Mx
y"< 0
Mx > 0
Mx
y
z
Mx
y"> 0
Mx < 0
Tích số EIx là độ cứng khi uốn của dầm 
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH 
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
x
x
EI
My ''Từ phương trình
 CdzEI
M
y
x
x' 
 DdzCdz
EI
M
y
x
x
C và D là hai hằng số tích phân, tìm được từ các
điều kiện biên
Tích phân lần 1 P/t góc xoay:
Tích phân lần 2 P/t ĐĐH hay P/t độ võng:
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH 
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Các điều kiện biên:
yA = A = 0
A A BC
yA = 0 yB = 0
ph
C
tr
C yy 
ph
C
tr
C 
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH 
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Thí dụ 1:
A B
L
P
z
y
 B 0yB =z
yA
 AViết p/t đường đàn hồi 
và góc xoay cho dầm 
công son (console). 
Suy ra độ võng và
góc xoay lớn nhất. 
Phương trình mômen uốn 
tại mặt cắt có hoành độ z là:
EIx = hằng số.
Giải:
Mx = –Pz
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH 
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
A B
L
P
z
y
 B 0yB =z
yA
 A
EIx = hằng số.
xx
x
EI
Pz
EI
M''y 
P/t vi phân ĐĐH :
Tích phân 2 lần :
Điều kiện biên: z=L ; =0 và y=0
C
EJ
Pzy
x
2
'
2
DCz
EJ
Pzy
x
6
3
EI2
PLC
x
2
x
3
EI3
PLD 
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH 
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
A B
L
P
z
y
 B 0yB =z
yA
 A
EIx = hằng số.
x
3
x
2
x
3
EI3
PLz
EI2
PL
EI6
Pzy 
P/t góc xoay:
x
2
x
2
EI2
PL
EI2
Pz
Độ võng và góc xoay ở A
ứng với z=0:
và
x
2
A EI2
PL
x
3
A EI3
PLy 
P/t ĐĐH:
Dấu + chỉ độ võng hướng xuống.
Dấu - chỉ góc xoay ngược kim đồng hồ;
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH 
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Thí dụ 2:
Viết p/t đường đàn hồi 
và góc xoay cho dầm 
đơn chịu tải đều. 
Suy ra độ võng và
góc xoay lớn nhất. 
Phương trình mômen uốn 
tại mặt cắt có hoành độ z là:
Giải:
Mx = VA .z - q.z2/ 2
A B
q
z
z
EIx = hằng số.
L
L/2 C
VA VB 
Phản lực: VA = qL/2
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH 
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
P/t vi phân ĐĐH :
Tích phân 2 lần :
 2
x
zLz
EI2
q''y 
C
3
z
2
Lz
EI2
q'y
32
x
DCz
12
z
6
Lz
EI2
qy
43
x
Điều kiện biên:
z=L ; y=0
z=0 ; y=0
x
3
EI24
qLC ;0D 
3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐĐH 
BẰNG PP TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Độ võng ymax=yC =y (z=L/2):
A B
q
z
z
EIx = hằng số.
L
L/2 C
VA VB 
P/t ĐĐH:
 3
3
2
2
x
3
L
z
L
z21z
EI24
qLy
P/t góc xoay: 
 3
3
2
2
x
3
L
z4
L
z61
EI24
qL'y
Góc xoay A= y'A=y' (z=0) :
x
4
2
Lz
max EI384
qL5yy 
x
3
AA EI24
qLy 
x
3
BB EI24
qLy Góc xoay B= y'B=y'(z=L) :
4. TÍNH ĐỘ VÕNG, GÓC XOAY 
BẰNG PP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO
Các liên hệ trong dầm 
thực (DT):
'y x
x
EI
M''y 
y Qdz
dM
q
dz
dQ
q
Dầm giả tạo (DGT)
x
x
gt EI
M''yq của DT
'yQgt của DT
yM gt của DT
4. TÍNH ĐỘ VÕNG, GÓC XOAY 
BẰNG PP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO
Muốn tính góc xoay y’ và độ võng y của một dầm 
thực (DT) thì chỉ cần tính lực cắt Qgt và mômen uốn Mgt
do tải trong giả tạo qgt tác dụng trên DGT gây ra. 
 Dầm giả tạo:
+ Có liên kết tương ứng với chuyển vị của DT
+ Có chiều dài bằng chiều dài DT
 Lực giả tạo qgt:
x
x
gt EI
Mq 
+ Trị số = MX chia EIx
+ Chiều hướng theo thớ căng của DT
DT DGT
BAy= 0
 0
y=0
 0
BAMgt=0
Qgt 0
Mgt=0
Qgt 0
Mgt=0
Qgt=0
Mgt 0
Qgt 0
A B
By = 0
 = 0
A y 0
 0
Tại C :y = 0; 0; tr= ph
A C B
Tại C : Mgt=0; Qgt 0; Qtr = Qph
A C B
DẦM GIẢ TẠO VÀ DẦM THỰC
TƯƠNG ỨNG
THÍ DỤ 3
Giải: A
q
a) L
B
DGT
c)
x
2
EI2
qL
b)
2
qL 2
Mx
Tính độ võng và góc xoay đầu B 
EIx = const
 Dầm thực- hình a)
 Biểu dồ mômen uốn-
hình b) 
 Dầm giả tạo- hình c)
d)
x
2
EI2
qL Qgt
Mgt
 Tính chuyển vị:
x
4
x
2
B
gtB
x
3
x
2
B
gtB
EI8
qLL
4
3L
EI2
qL
3
1My
EI6
qLL
EI2
qL
3
1Q
  
  
THÍ DỤ 4
Tính độ võng ở giữa nhịp và góc xoay 
2 đầu A,B ; EIx = const
L/2 L/2
L
C
A B
P
4
PL
Mx
DGT
EI4
PL
Mgt
EI4
PL
Vgt
L/2
Giải:
 Dầm thực
 Biểu đồ mômen uốn
 Dầm giả tạo
 Tính chuyển vị:
EI16
PL
EI4
PL
2
L
2
1V
2
gt  
EI16
PLV
2
gtA 
EI48
PL
2
L
3
1
EI4
PL
2
L
2
1
2
LVy
3
gtC   
5. DẦM SIÊU TĨNH
Định nghĩa:
Đó là các dầm mà ta không thể xác định toàn bộ 
phản lực liên kết chỉ với các p/t cân bằng tĩnh học ( 
bài toán phẳng có nhiều nhất 3 p/t cân bằng tĩnh 
học).
Phải tìm thêm một số phương trình phụ dựa vào 
điều kiện biến dạng hay xchuyển vị của dầm.
Cách giải:
THÍ DỤ 5
Giải:
Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm AB ;
EIx = const
A
q
a)
L
B
A q
b)
L
B
VB
c) 2
qL 2
MxLV B
 Dầm siêu tĩnh - hình a)
 Dầm thay thế - hình b)
 Biểu đồ mômen uốn
-hình c)
 P/t đ/k chuyển vị: yB =0
 Tính chuyển vị yB bằng 
pp dầm giả tạo:
THÍ DỤ 5
(TT)
A
q
b)
L
B
VB
c) 2
qL 2
MxLV B
DGTd)
EI2
qL 2
EI
LV B
Qgt
e)
EI2
qL 2
EI
LV B Mgt
B
 Biểu đồ mômen uốn
-hình c)
 Dầm thực- hình b)
 Dầm giả tạo- hình d)
 Tính chuyển vị- hình e)
3
L2
EI
LVL
2
1
4
L3
EI2
qLL
3
1My B
2
B
gtB   
THÍ DỤ 5
(TT)
A q
b)
L
B
VB
A
q
h)
L
B
VB=3qL/8
 Cho yB=0
qL
8
3VB - hình h) 
 Vẽ biểu đồ nội lực 
với VB - hình i,j) Qy
8
qL2
128
qL9 2
8
qL38
qL5
Mx
 Đây cũng là biểu 
đồ nội lực của dầm 
siêu tĩnh