Đại số tuyến tính - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Chương 2. Hệ phương trỡnh tuyến tớnh 
Đ1. KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƯƠNG TRèNH TUYẾN TÍNH 
1.1. Định nghĩa. Hệ phương trỡnh tuyến tớnh tổng quỏt là hệ gồm 
m phương trỡnh, n ẩn ( ) m,n ∗∈ℕ
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2 n n 2
m1 1 m 2 2 mn n m
j
a x a x ... a x b
a x a x ... a x b
 (I)
 ..........................
a x a x ... a x b
trong đó: x ( j 1, n) : đ−ợc gọi là các ẩn của hệ
 + + + = + + + =

 + + + =
=
ij
i
 a (i 1,m; j 1, n) : đ−ợc gọi là các hệ số của ẩn
 b (i 1,m) : đ−ợc gọi là các hệ số tự do
= =
=
ì   
   
   
   = = =   
   
   
      
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
11 12 1n 11 12 1n 1
21 22 2n 21 22 2n 2
ij m n
m1 m2 mn m1 m2 mn m
 Ký hiệu: 
a a a a a a b
a a a a a a b
A (a ) ; A 
a a a a a a b
 Ma trận hệ số Ma trận bổ sung của hệ 
( ) ( )
1 1
T T2 2
1 2 m 1 2 n
m n
b x
b x
B b b b ; X x x x
b x
 Ma trận hệ số tự do Ma trận ẩn
              = = = =               
⋮ ⋮
Khi đú hệ (I) được viết dưới dạng AX = B; (II): được gọi là dạng ma 
trận của hệ phương trỡnh tuyến tớnh 
1.2. Nghiệm của hệ phương trỡnh tuyến tớnh. 

 Bộ số được gọi là nghiệm của hệ (I) nếu 
 với . Tập hợp tất cả cỏc nghiệm 
của một hệ phương trỡnh được gọi là tập hợp nghiệm của hệ phương 
trỡnh đú. 

 Hai hệ phương trỡnh tuyến tớnh cú cựng ẩn số được gọi là tương 
đương nếu chỳng cú cựng tập hợp nghiệm. 
α α α ∈ ℝ n1 2 n ( , , ..., ) 
( )α = α = α α α
T
1 2 nA B, ...
Đ2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG 
TRèNH TUYẾN TÍNH 
2.1. Định lý Kronecker – Capeli. Hệ phương trỡnh tuyến tớnh tổng 
quỏt (I) cú nghiệm khi và chỉ khi 
 2.2. Giải hệ phương trỡnh tuyến tớnh bằng phương phỏp Cramer 
1. Định nghĩa hệ Cramer. Một hệ phương trỡnh tuyến tớnh tổng quỏt 
(I) được gọi là hệ Cramer nếu 
( ) ( )r A r A=
m n
A 0
 =
 ≠
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
n1 1 n2 2 nn n n
a x a x ... a x b
a x a x ... a x b
 Nh− vậy: (III): Hệ Cramer
 ..........................
a x a x ... a x b
 + + + = + + + =

 + + + =
2. Định lý Cramer. 
Hệ Cramer cú nghiệm duy nhất được tớnh theo cụng thức 
( )jj
A
x ; j 1,n
A
= =
Trong đú: A: là ma trận hệ số 
 Aj: là ma trận thu được từ ma trận A bằng cỏch thay cột 
thứ j bởi cột hệ số tự do. 
 VD 1. Giải hệ phương trỡnh 
1 2 3
2 3
1 2 3
2x x x 1
 x 3x 3
2x x x 1
 + − = + =
 + + = −
VD 2. Giải và biện luận hệ phương trỡnh 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
ax x x 1
 x ax x 1
 x x ax 1
 + + = + + =
 + + =
 VD. Giải hệ phương trỡnh 
Chỳ ý. Khi giải và biện luận hệ phương trỡnh tuyến tớnh, nếu xảy 
ra trường hợp , ta khụng cú kết luận 
“ Hệ vụ số nghiệm”, để cú kết luận chớnh xỏc ta phải giải hệ bằng 
phương phỏp Gauss (sẽ trỡnh bày ở sau). Cũn nếu xảy ra trường 
hợp và cú ớt nhất một thỡ hệ đó cho vụ nghiệm. jA 0≠
x 2 y z 1
x 2 y z 1
x 2 y z 1
 + − =− − + =
 + − =
1 2 3A A A A 0= = = =
A 0=
2.3. Giải hệ phương trỡnh tuyến tớnh bằng phương phỏp ma 
trận nghịch đảo 
 Xột hpt tuyến tớnh AX = B với A là ma trận khả nghịch (suy ra 
hpt là hệ Cramer). Khi đú hệ cú nghiệm duy nhất là: X = A-1B 
VD. Giải hệ phương trỡnh: 
3x 4y 6z 2
 y z 3
 2x 3y 4z 5
− + + = − + =
 − − =
2.4. Giải hệ phương trỡnh tuyến tớnh bằng phương phỏp Gauss 
Xột hệ phương trỡnh tuyến tớnh tổng quỏt: AX = B 
Bước 1. Đưa ma trận bổ sung về dạng bậc thang bằng PBĐSC trờn 
hàng. Ta được một hệ phương trỡnh mới tương đương với hệ đó cho. 
Bước 2. Giải hệ phương trỡnh mới với quy tắc: Cỏc ẩn mà cỏc hệ số là 
cỏc phần tử khỏc 0 đầu tiờn trờn cỏc hàng của ma trận bậc thang được 
gọi là cỏc ẩn ràng buộc. Cỏc ẩn cũn lại là cỏc ẩn tự do. 
VD. Giải hệ phương trỡnh 
A
1 2 4
4 1 3 2
1 2 3 4
1 4 3 2
 x x 5x 6 x z 2y 1
14x 3x x 5x 22 3x y z 2
a) ; b) 
 2x 4x x 11x 17 4y 9x 2z 3
5x 3y 2z 4 x 6x x x 2
 − + = + − =   − − − + = − + − =− 
 
 − + + = − + + =    − + =+ − + = 
▪ Cỏc bước giải và biện luận hệ phương trỡnh tuyến tớnh bằng 
phương phỏp Gauss 
Xột hệ phương trỡnh tuyến tớnh tổng quỏt: 
 AX = B; (m phương trỡnh, n ẩn) 
Bước 1. Đưa ma trận bổ sung về dạng bậc thang bằng PBĐSC 
trờn hàng. 
Bước 2. Xột hạng của ma trận bậc thang đú 
A
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
 N ếu r A r A th ì h ệ vô ngh iệm
 N ếu r A r A n th ì h ệ có ngh iệm duy nh ấ t
 N ếu r A r A r n th ì h ệ có v ô số n gh iệm 
 v ớ i n r ẩn tự d o v à r ẩn ràng b uộc
≠
= =
= = <
−
i
i
i
VD. Giải và biện luận hệ phương trỡnh 
 + + = + + =
 + + =
ax y z 1
 x ay z 1
 x y az 1
Đ3. HỆ PHƯƠNG TRèNH TUYẾN TÍNH 
THUẦN NHẤT 
3.1. Định nghĩa. Một hệ phương trỡnh tuyến tớnh tổng quỏt trong 
đú tất cả cỏc hệ số tự do bằng 0 được gọi là hệ phương trỡnh tuyến 
tớnh thuần nhất. Như vậy 
 là hệ phương trỡnh tuyến tớnh thuần nhất m phương trỡnh, n ẩn 
 + + + = + + + =

 + + + =
11 1 12 2 1n n
21 1 22 2 2n n
m1 1 m 2 2 mn n
a x a x ... a x 0
a x a x ... a x 0
 (1)
 ..........................
a x a x ... a x 0
Dạng ma trận của hệ: AX = O; với A = (aij)mìn 
Nhận xột. Hệ phương trỡnh tuyến tớnh thuần nhất (1) luụn cú nghiệm 
(0,0,...,0), nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ. 
3.2. Định lý. Hệ phương trỡnh tuyến tớnh thuần nhất (1) với n ẩn 
cú nghiệm khụng tầm thường (tức nghiệm khỏc nghiệm tầm 
thường (0,0,...,0)) khi và chỉ khi r(A) < n; (A là ma trận hệ số). 
Nhận xột. Trường hợp r(A) = n thỡ hệ (1) chỉ cú nghiệm tầm 
thường. 
Hệ quả 1. Hệ phương trỡnh tuyến tớnh thuần nhất cú số phương 
trỡnh ớt hơn số ẩn thỡ hệ cú nghiệm khụng tầm thường. 
▪ Khi m = n, hệ (1) trở thành 
11 1 12 2 1n n
21 1 22 2 2n n
n1 1 n2 2 nn n
a x a x ... a x 0
a x a x ... a x 0
 (2)
 ..........................
a x a x ... a x 0
 + + + = + + + =

 + + + =
Hệ quả 2. Hệ phương trỡnh tuyến tớnh thuần nhất dạng (2) cú nghiệm 
khụng tầm thường khi và chỉ khi |A| = 0; (A là ma trận hệ số) 
Nhận xột. Trường hợp thỡ hệ (2) chỉ cú nghiệm tầm thường. ≠A 0
3.3. Mối liờn hệ giữa nghiệm của hệ phương trỡnh tuyến tớnh tổng 
quỏt và nghiệm của hpt tuyến tớnh thuần nhất tương ứng 
 Xột hệ phương trỡnh tuyến tớnh tổng quỏt: AX = B; (a) 
 và hệ phương trỡnh tuyến tớnh thuần nhất: AX = O; (b) 
 Khi đú: ▪ Hiệu hai nghiệm bất kỳ của (a) là nghiệm của (b) 
 ▪ Tổng một nghiệm bất kỳ của (a) và một nghiệm bất kỳ 
 của (b) là nghiệm của (a) 
VD 2. Giải hệ phương trỡnh 
 + + = + + =
 + + =
mx y z 0
 x my z 0
x y mz 0
VD 1. Tỡm m để hệ phương trỡnh thuần nhất sau chỉ cú nghiệm 
tầm thường 
4 1 2 3
1 3 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
9x x 7x 8x 0
2x 3x 3x 2x 0
5x x 2x 5x 0
3x 13x 14x 13x 0
 + + − + = + − − =

 + − + = − + − =