Lí thuyết điều khiển tự động - Chương 6: Mô hình toán học của hệ thống điều khiển tự động gián đoạn tuyến tính

Phần 2
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 
GIÁN ĐOẠN
Chương 6
MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU 
KHIỂN TỰ ĐỘNG GIÁN ĐOẠN TUYẾN TÍNH
6.1. KHÁI NIỆM CHUNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU 
KHIỂN TỰ ĐỘNG GIÁN ĐOẠN TUYẾN TÍNH
6.1.1. Khái niệm và phân loại hệ thống điều 
khiển tự động gián đoạn tuyến tính
6.1.1. Khái niệm và phân loại hệ thống điều 
khiển tự động gián đoạn tuyến tính
HTĐKTĐGĐ là các HTĐKTĐ trong đó việc truyền 
và xử lý thông tin không được thực hiện một cách 
liên tục như trong các HTĐKTĐ liên tục mà vào 
từng thời điểm thời gian gián đoạn. Việc xuất 
hiện các HTĐKTĐGĐ là do các nguyên nhân sau 
đây:
Một trong các phần tử của HT làm việc gián 
đoạn. Thí dụ, HT bám thời gian xung trong các 
đài điều khiển tên lửa. 
TS I
KĐ
r(t)
cs2
cs1TT I
TT II TS II
HC TP MTX
Trong các HTĐKTĐGĐ (HTĐKTĐ số) có thể thực 
hiện các thuật toán ĐK phức tạp nhằm nâng cao 
chất lượng ĐK. Mặt khác, có thể thay đổi thuật 
toán ĐK một cách linh hoạt bằng cách thay đổi 
chương trình máy tính mà không cần thay đổi 
phần cứng như trong các HTĐKTĐ liên tục. 
HTĐKTĐGĐ có nhược điểm ở chỗ có sai số gián 
đoạn, nhưng điều đó có thể được khắc phục 
bằng việc tăng độ phân giải của các bộ biến đổi 
tín hiệu từ dạng liên tục sang dạng số (AD) và
giảm sai số dụng cụ.
HTĐKTĐGĐ có thể được phân loại theo các 
dấu hiệu sau:
Theo bản chất cấu tạo HTĐKTĐGĐ được phân 
chia thành:
- HTĐKTĐ xung. HTĐKTĐ xung tuyến tính là HTĐKTĐ mà ngoài 
các khâu được mô tả bằng các phương trình vi phân (PTVP) tuyến tính bình 
thường (các khâu liên tục) còn chứa các khâu xung, biến đổi tác động đầu 
vào liên tục thành các xung đứng cách đều nhau theo thời gian. Trong lớp 
HTĐKTĐ này còn có dạng HTĐKTĐ liên tục-gián đoạn-đó là các HTĐKTĐ có
cả các khâu liên tục và máy tính số;
- HTĐKTĐ số. Đó là các HTĐKTĐ trong đó xảy ra quá trình lượng tử
hoá tín hiệu liên tục theo thời gian và theo mức và có chứa máy tính số cùng 
các thiết bị vào ra để thực hiện thuật toán ĐK.
Theo đặc tính phương trình toán học mô tả HT, 
HTĐKTĐGĐ được chia thành các nhóm sau:
-HTĐKTĐGĐ tuyến tính:
-HTĐKTĐGĐ phi tuyến
Theo tính chất của các tham số, HTĐKTĐGĐ 
được chia ra thành các nhóm sau:
- HTĐKTĐGĐ dừng
- HTĐKTĐGĐ không dừng
6.1.2. Khái niệm lượng tử hoá các tín hiệu liên 
tục
Để nghiên cứu sự cần thiết và bản chất quá trình 
lượng tử hoá các tín hiệu liên tục, ta xem xét cấu 
tạo và hoạt động của HTĐKTĐ khí cụ bay sử
dụng máy tính trên khoang (MTTK), H.6-2.
TB
TTS
TB
LỌC T0
y(iT0)
AD
y(iT0)
e(iT0)
u(iT0)
η(iT0)
DA Máy tính trên 
khoang
Hình 6-2. HT điều khiển khí cụ bay sử dụng 
máy tính trên khoang
PTX
Cơ quan
chấp hành
Đối tượng
điều khiển Cảm biến
Phần liên tục
η(t) y(t)
Việc biến đổi các tín hiệu liên tục, thí dụ y(t) 
thành mã máy có thể chia một cách quy ước ra 
thành 3 giai đoạn như sau: lượng tử hoá theo 
thời gian, lượng tử hoá theo mức và mã hoá.
Lượng tử hoá theo thời gian
Lượng tử hoá theo thời gian là sự biến đổi hàm
liên tục ban đầu y(t) thành chuỗi các giá trị rời rạc
y(ti), trong đó ti là các thời điểm thời gian. 
Khoảng cách giữa các thời điểm ti có thể là bất
kỳ, nhưng thực tế thường không đổi ti=iT0, trong
đó T0 là bước lượng tử, hay chu kỳ gián đoạn.
Trên H.6-2 việc lượng tử hoá theo thời gian
được biểu diễn quy ước bằng phần tử xung
(PTX), đóng và mở mạch tức thời sau các
khoảng thời gian T0. Ở đầu ra của PTX nhận
được chuỗi các xung y(iT0), được điều chế
bằng tín hiệu y(t).
Quá trình điều chế xung được thực hiện bằng
cách thay đổi một tham số nào đó của các xung
lặp lại theo chu kỳ theo quy luật thời gian nhất
định. 
Các tham số chính của chuỗi xung bị điều chế
(H.6-3) là độ cao (hay biên độ) A, độ rộng xung
(γT0), khoảng cách giữa các xung (hay chu kỳ) 
T0. Đại lượng y(t) xác định quy luật điều chế
được gọi là đại lượng điều chế. Căn cứ vào tham
số nào của xung bị thay đổi theo quy luật của đại
lượng điều chế người ta phân biệt (H6-4):
- điều chế biên độ (ĐCBĐ);
- điều chế độ rộng xung (ĐCĐR);
- điều chế thời gian xung (ĐCTG).
tHình 6-3. Các tham số chính của chuỗi xung bị điều chế
A
γT0 T0
Hình 6-4. Các dạng chính điều chế xung
T0
t
y(t)
ĐCBĐ
ĐCĐR
ĐCTS
t
y(t)
t
Lượng tử hoá theo mức
Lượng tử hoá theo mức là sự thay thế các giá trị
của đại lượng liên tục y(t) bằng các giá trị gián
đoạn phân biệt gần nhất tại các thời điểm thời
gian nhất định, phù hợp với đặc tính tĩnh của bộ
biến đổi AD, H.6-5.
Nếu bộ biến đổi AD có số bít là k, thì số mức
lượng tử là N1=2k-1. Khi đó, giá trị của bít thấp
nhất ∆1 chính là độ phân biệt của nó. Dải thay
đổi lượng vào của nó được xác định là
.11∆= Nym
Hình 6-5. Đặc tính tĩnh của bộ biến đổi AD
y
y
∆1
2∆1
N1∆1
ym-ym
Lượng tử hóa theo mức
0 
Khi lượng tử hoá đồng thời theo thời gian và
theo mức thì tại các thời điểm thời gian rời rạc
iT0 tín hiệu liên tục y(t) được thay thế bằng các
giá trị gián đoạn gần nhất với giá trị của nó, 
H.6-6.
T0
y
Hình 6-6. 
t
][ 0iTy
0 
Mã hoá
Mã hoá là sự biến đổi tín hiệu thành mã số trong
máy tính.
Việc biến đổi các tín hiệu từ dạng liên tục thành
dạng số được thực hiện với tốc độ hạn chế và
mang vào HTĐKTĐ một khoảng thời gian giữ
chậm τ1, được xác định bằng thời gian cần thiết
để tín hiệu ra của AD được thiết lập với độ chính
xác nhất định. 
Do tín hiệu ra của máy tính là các xung
hẹp, thậm trí là cực hẹp, nên khi thực hiện điều
khiển đối tượng hoạt động liên tục cần phải biến
đổi nó về dạng tín hiệu điều khiển liên tục η(t). 
Công việc này được thiết bị ra của máy tính (DA) 
thực hiện. Quá trình biến đổi tín hiệu từ dạng mã
số thành dạng liên tục được thực hiện qua hai
giai đoạn: giải mã và ghi nhớ (ngoại suy).
)( 0iTη
Giải mã
Giải mã là sự biến đổi mã số thành tín hiệu xung
điều chế biên độ. Giải mã đồng hành với lượng
tử hoá tín hiệu theo mức phù hợp với đặc tính
tĩnh của bộ biến đổi DA (H.6-7). Đặc tính tĩnh
của nó có thể tuyến tính hoặc phi tuyến. Trường
hợp đầu tiên tương ứng với lượng tử hoá đều
theo mức, khi mà bước lượng tử không phụ
thuộc vào giá trị của tín hiệu được biến đổi
(H.6-7, a). 
Trong trường hợp thứ hai, số lượng mức của
đặc tính tĩnh N2=2k-1, còn dải tuyến tính
ηM<N2∆2, trong đó k là số bít, ∆2-giá trị của bít
thấp nhất (H.6-7, b).
Hình 6-7, a 
η
η=Q(η)
ηm
-ηm ∆2
2∆2
N1∆2
Quá trình giải
mã cũng gây ra
thời gian giữ
chậm τ2, thông
thường τ2>τ1.
0 
Hình 6-7, b 
η
η=Q(η)
ηm
-ηm
Hình 6-7, c 
η
η=Q(η)
ηm
-ηm
0 
0 
Ghi nhớ
Ghi nhớ (ngoại suy) chính là sự duy trì tín hiệu
ra của máy tính ở mức không đổi trong toàn bộ
chu kỳ gián đoạn T0. Trong một số trường hợp
có thể sử dụng các dạng ngoại suy khác: tuyến
tính, bình phương, để đảm bảo “là phẳng” tốt
hơn các tín hiệu ra của máy tính. 
6.2. CÔNG CỤ TOÁN HỌC NGHIÊN CỨU CÁC 
HTĐKTĐ GIÁN ĐOẠN
6.2.1. Phương trình HSHHTT (sai phân TT)
Hàm chấn song
Hàm chấn song, ký
hiệu là x(iT0) hay x(i), 
là hàm được xác định
từ hàm liên tục x(t) tại
các thời điểm gián
đoạn iT0, trong đó i là
số nguyên.
(i-1)T0 iT0 (i+1)T0
t
x(iT0)
x(t)
)( 0iTx∇
)( 0iTx∆
0 
ii+1ii-10 
Tương ứng với đạo hàm bậc nhất trong 
HTĐKTĐ liên tục là hiệu hữu hạn thuận bậc
nhất, ký hiệu là ∆x(iT0) hay ∆x(i)
hoặc hiệu hữu hạn ngược bậc nhất (H.6-8)
)()()()( 10 ixixixiTx −== +∆∆ (6.1)
Khái niệm các hiệu hữu hạn
Hiệu hữu hạn thuận (ngược) bậc không chính là
giá trị của hàm chấn song
).()()()( 10 −∇∇ −== ixixixiTx (6.2)
).()()()( 00000 ixixiTxiTx === ∇∇∆
Tương ứng với đạo hàm bậc hai trong HTĐKTĐ 
liên tục là hiệu hữu hạn thuận bậc hai, ký hiệu
là ∆2x(iT0) hay ∆2x(i)
)()()()( 1202 ixixixiTx ∆+∆∆∆ −==
)()()( 122 ixixix +−= ++ (6.3, a)
)( 02 iTx∇
)()()( 12 −∇∇∇ −= ixixix
)()()( 212 −− +−= ixixix (6.3, b)
hoặc hiệu hữu hạn ngược bậc hai, ký hiệu là
hay )(2 ix∇
Có thể xác định các hiệu hữu hạn thuận và 
ngược bậc cao hơn. Để tính toán các hiệu hữu 
hạn bậc cao, có thể sử dụng các công thức truy 
hồi (đệ quy)
)()()( 11 1 ixixix kkk ∆+∆∆ −− −=
)()()( 111 −∇∇∇ −− −= ixixix kkk
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, nhận 
được công thức tổng quát
)][()(
0
)1( rixcix
k
r
r
k
r
k −∑ −∇
=
= )!(!
!
rkr
k
c
r
k
−
=
Thí dụ, hiệu hữu hạn ngược bậc ba
)()()()()( 323133 −−−∇ −+−= ixixixixix
Phương trình hiệu số hữu hạn tuyến tính 
(phương trình sai phân)
Tương tự như PTVP trong HTĐKTĐ liên tục, ta 
đưa vào khái niệm PTHSHH. Khi sử dụng các 
hiệu hữu hạn ngược, PTHSHH có dạng
)(...)()( ˆˆˆ 110 iyaiyaiya nnn +++ ∇∇ −
)(...)()( ˆˆˆ 110 ixbixbixb mmm +++= ∇∇ −
(6.6)
Khái niệm HT dừng, không dừng, PTHSHH 
thuần nhất, không thuần nhất.
Nghiệm của phương trình (6.6) cũng gồm có hai 
thành phần
)()()( iyiyiy cbtd +=
Có thể viết lại phương trình (6.6) dưới dạng
)(...)()( 110 niyaiyaiya n −++−+
)(...)()( 110 mixbixbixb m −++−+=
(6.10)
Phương trình (6.10) có chứa lượng vào và 
lượng ra trước đó một số hữu hạn các chu kỳ
gián đoạn nên được gọi là các PTHSHH truy hồi 
(đệ quy). Có thể xác định được lượng ra y(i) từ
(6.10)
.1
1
1
)]}(...)([
)(...)()({)(
1
10
0
niyaiya
mixbixbixb
a
iy
n
m
−++−−
−−++−+=
Thí dụ 6.1. Biến đổi PTHSHH sau về dạng truy 
hồi
)()()()( 223 432 ixiyiyiy ∇∇∇∇ =+−
Khai triển các hiệu số hữu hạn ngược và thay 
thế vào phương trình trên, nhận được
)()()()( 3223143 −−−+−− iyiyiyiy
)()()( 212 −+−−= ixixix
6.2.2. Mô hình toán học quá trình lượng tử
hoá theo thời gian và phép biến đổi Laplace 
gián đoạn
Quá trình lượng tử hoá tín hiệu liên tục theo thời 
gian là giai đoạn đặc trưng trong hoạt động của 
bộ biến đổi AD. Tiến hành mô tả toán học quá
trình đó. Để thực hiện việc này, xem xét mô hình 
mạch xung đơn giản (H.6-9, a). Giả sử rằng quá
trình lượng tử hoá theo thời gian được thực hiện 
bằng một PTX lý tưởng có khả năng đóng mở
tức thì sau các khoảng thời gian bằng nhau T0 .
Nếu hàm liên tục x(t) có dạng được mô tả như 
trên H.6-9, b thì tín hiệu ra x*(t) của PTX là chuỗi 
các xung δ được điều chế bằng hàm x(t), tức là
các xung có độ rộng nhỏ vô hạn, có độ cao bằng 
x(t) tại các thời điểm thời gian gián đoạn iT0. Khi 
đó, x*(t) có thể được biểu diễn như sau:
H. 6-9. 
b)
x(t)
x*(t)
t
a)
0 
T0
x(t) x*(t)
,)()()(
0
* ttxtx Tδ= (6.13)
trong đó ∑ −
∞
=
=
0
0)()(0 i
iTttT δδ (6.14)
là chuỗi xung cách đều nhau, có độ cao bằng 1.
Có thể xem phương trình (6.13) như là biểu 
thức mô tả tín hiệu điều chế biên độ xung có
sóng mang là chuỗi xung δ và hàm điều chế
x(t). Biểu thức này chính là mô tả toán học quá
trình lượng tử hoá theo thời gian tín hiệu liên tục 
x(t) trong miền thời gian.
Nghiên cứu quá trình lượng tử hoá theo thời 
gian trong miền tần số. Thực hiện biến đổi 
Laplace phương trình (6.13), nhận được biến 
đổi Laplace gián đoạn tín hiệu x*(t):
∫
∞
−
==
0
** )()()]([)(
0 dtettxtxLsX
st
Tδ (6.15)
Biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier:)(
0
tTδ
,)(
0 ∑
∞
−∞=
Ω
=
i
tji
iectTδ
trong đó Ω=2π/T0-tần số đóng ngắt PTX;
hệ số của chuỗi 
∫
−
Ω−
=
2
2
)(
/
/0
0
0
0
1 T
T
T dtetTc
tji
i δ
∫ ∑ −
−
Ω−∞
−∞=
=
2
2
)(
/
/
0
0
0
0
.
1 T
T
dteiTtT
tji
i
δ
Trong vùng lấy tích phân [-T0/2÷T0/2] chỉ có một 
xung δ=1. Như vậy
Tci 0
1
=
Do đó
∑
∞
−∞=
Ω
=
i
tji
eTtT 0
1)(
0δ (6.16)
Từ (6.15) và (6.16), nhận được
∫ ∑
∞
Ω−−∞
−∞=
==
0
)(
0
** )()]([)( 1 dtetxTtxLsX
tjis
i
∑ Ω−
∞
−∞=
=
i
jisXTsX )()( 0
* 1 (6.17)
dấu “*” trong ký hiệu X*(s) để phân biệt với phép 
biến đổi Laplace liên tục X(s) của hàm x(t).
Phương trình (6.17) có dạng chuỗi vô hạn. Từ 
đây suy ra rằng, tín hiệu ra của PTX ngoài phổ
của tín hiệu x(t) còn chứa các thành phần cao 
tần. Giả sử phổ của tín hiệu x(t) bị hạn chế và có
dạng như trên H.6-10 thì phổ của tín hiệu ra x*(t) 
của PTX trong dải [–Ω/2, Ω/2] có chứa phổ của 
tín hiệu vào, ngoài ra còn có các thành phần cao 
tần khác, như trên H.6-11.
H.6-10.
Ω/2 ω
-Ω/2 ωm-ωm 0
)( ωjX
Từ H.6-11 có thể nhận thấy rằng, nếu tín hiệu vào 
x(t) có độ rộng phổ tần số ωm<Ω/2 thì nó có thể 
được khôi phục lại hoàn toàn bằng cách mắc sau 
PTX một bộ lọc dải thông hẹp lý tưởng với ĐTTS 
biên độ (ĐTTSBĐ) A(ω). Đó chính là ý nghĩa của 
định lý Kachenhikốp, được phát biểu như sau:
Ω/2 ω-Ω/2 ωm-ωm 0 3Ω/2-3Ω/2 ΩΩ
)(* ωjX A(ω)
H.6-11
Để khôi phục được chính xác tín hiệu liên tục 
x(t) từ tín hiệu xung x*(t) thì PTX phải có tần số
làm việc lớn hơn hoặc bằng hai lần thành phần 
cao tần nhất của phổ tín hiệu x(t) (Ω≥2ωm).
Từ (6.13) và (6.14) nhận được
∑ −
∞
=
=
0
00
* )()()(
i
iTtiTxtx δ
Thực hiện biến đổi Laplace gián đoạn biểu thức 
trên, nhận được
(6.18)∑∑ ∫ −
∫ ∑ −
∞
=
−
∞
=
−
∞
∞
−
∞
=
==
==
00 0
00
0 0
000
*
0)()()(
)()()]([)(
ii
st
st
i
eixdteiTtiTx
dteiTtiTxiTxLsX
siTδ
δ
Một số tính chất của phép biến đổi Laplace 
gián đoạn
- Tính tuần hoàn )()( ** Ω+= jksXsX
Như vậy, trên mặt phẳng phức, hàm X*(s) có
tính tuần hoàn theo trục ảo với chu kỳ jΩ. Do đó, 
chỉ cần nghiên cứu nó trong dải [–jΩ/2, jΩ/2].
Để đơn giản hoá việc sử dụng phép biến đổi 
Laplace gián đoạn, đặt , nhận được 
phép biến đổi Z. Từ (6.18) nhận được
∑
∞
=
−
==
0
)()]([)(
i
zixixZzX i (6.19)
ez sT 0=
- Tính tuyến tính
Nếu các hàm x1(i), x2(i) có các ảnh biến đổi z 
tương ứng bằng X1(z), X2(z), a và b là các hằng 
số thì
)()()]()([ 2121 zXbzXaixbixaZ ±=±
- Chuyển dịch trong miền thời gian
Nếu hàm x(i) có ảnh biến đổi Z là X(z) và các 
ĐKBĐ x(0)=x(±1)==x[(±(k-1))]=x(±k)=0
thì
,)()]([ zXzkixZ k±=±
trong đó, k là số nguyên.
- Ảnh của hiệu hữu hạn bậc k
+ Đối với hiệu hữu hạn ngược bậc nhất (6.2)
)]()([)]([ 1−∇ −= ixixZixZ
Nếu ĐKBĐ bằng không thì nhận được
).()()]([ 11 zXzixZ −−=∇
)()()( 11 11 −−− +−= xzzXz
+ Tổng quát: ảnh của hiệu hữu hạn ngược bậc 
k với các ĐKBĐ bằng không
)(1)]([ )1( zXzixZ kk −= −∇
Các công thức nhận được của ảnh các hiệu 
hữu hạn thuận và ngược về mặt hình thức gợi 
nhớ các công thức tính ảnh các đạo hàm các 
hàm liên tục.
- Giá trị giới hạn của hàm chấn song
+ Khi sử dụng ảnh của hiệu hữu hạn ngược bậc 
nhất )].()[()( 1
1
1limlim zXzkx
zk
−
→∞→
−=
- Biến đổi Z tích chập của hàm chấn song
Nếu như
và
thì
)()]([ 11 zFifZ =
)()]([ 22 zFifZ =
.
)()(
])()([
)]()([
21
0
21
0
21
zFzF
kfkifZ
kifkfZ
i
k
i
k
=
= ∑
−
∑
−
=
=
6.2.3. Các tác động điển hình
6.2.3.1. Phương pháp tính toán hàm ảnh z 
của các hàm gián đoạn
- bước 1: xác định hàm ảnh X(s) của hàm liên 
tục x(t) tương ứng;
- bước 2: tìm X(z) theo công thức sau: 
∑
∀ 







−
=
s
Ts
sc c
sX
ez
z
szX )()(
0
Re
∑ −
−∀ 







−→
=
−
−
s
cTsssc c
sssX
ez
z
ds
d
k
k
k
k
])([)( )(lim!1
1
0)1(
)1( (6.27)
trong đó: sc là các điểm cực của X(s); Res là
thặng dư của hàm trong dấu ngoặc nhọn tại 
điểm cực sc của X(s); k là bội của cực sc.
Lưu ý: sau bước 1 có thể phân tích hàm X(s) 
thành các phân thức đơn giản, sau đó sử dụng 
B.6-1 để tìm ảnh X(z).
Thí dụ 6.2. Tìm hàm ảnh z của hàm gián đoạn 
x(i)=viT0.
Hàm liên tục x(t ... được HST tần số của HTĐKTĐGĐ 
từ biểu thức HST bằng cách thay ez Tjω 0=
ez
TjzWjW ωω 0)()(
*
=
= (6.48) 
Có thể viết biểu thức HST tần số dưới dạng
eAQjPjW j )(****
*
)()()()( ωϕωωωω =+=
trong đó P*(ω)-hàm tần số phần thực;
Q*(ω)-hàm tần số phần ảo;
A*(ω)-hàm tần số biên độ;
φ*(ω)-hàm tần số phần pha.
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của P*(ω) vào tần
số được gọi là ĐTTS phần thực.
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của Q*(ω) vào tần
số được gọi là ĐTTS phần ảo.
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của A*(ω) vào tần
số được gọi là ĐTTS biên độ.
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của φ*(ω) vào tần
số được gọi là ĐTTS pha.
Từ (6.42) và (6.48), ta có
∑
∞
=
−
=
0
* 0)()(
i
eigjW Tjiωω (6.49) 
Xét biểu thức ∑
∞
=
+− Ω
0
)( 0)(
i
j
eig iTkjω
trong đó Ω=2π/T0.
∑∑
∞
=
−−
∞
=
+− Ω
=
Ω
00
)( 000 )()(
i
j
i
j
eeigeig iTkiTjiTkj ωω
∑
∞
=
−−
=
0
2)( 0
i
j
eeig kiiTj piω
Do 1sincos )2()2(2 =−=− pipipi kikiki je j
Vì vậy
∑∑
∞
=
−
∞
=
+−
=
Ω
00
)( 00 )()(
ii
j
eigeig TjiiTkj ωω
Từ (6.49) và (6.50) suy ra rằng HST tần số của 
HTĐKTĐGĐ có tính tuần hoàn với chu kỳ jΩ. Dễ
dàng nhận thấy rằng, hàm tần số biên độ, hàm 
tần số phần thực là các hàm chẵn: 
A*(-ω)=A*(ω), P*(-ω)=P*(ω); các hàm tần số
phần ảo, hàm tần số pha là hàm lẻ: 
Q*(-ω)=-Q*(ω), φ*(-ω)=-φ*(ω). Từ tính chất này
(6.50)
và tính tuần hoàn của HST tần số suy ra rằng 
ĐTTS của HTĐKTĐGĐ hoàn toàn được xác 
định khi biết các giá trị của nó trong dải [0, π/T0].
Các đặc tính tần số giả
Việc xây dựng các ĐTTS logarit tiệm cận được 
thực hiện với hàm của tần số giả tương đối
hay tuyệt đối λ. 
Để chuyển sang tần số giả tương đối hay 
tuyệt đối λ người ta sử dụng phép thay thế song 
tuyến tính
ϑ
ϑ
(6.51)
w
w
z
−
+
=
1
1
hay thay thế ngược (6.52)1
1
+
−
=
z
z
w
được gọi là phép biến đổi w.
Biến đổi (6.52) như sau
1sincos
1sincos
1
1
1
1
)()(
)()(
00
00
0
0
++
−+
=
+
−
=
+
−
=
TjT
TjT
e
e
z
z
w Tj
Tj
ωω
ωω
ω
ω
ϑω jTtgj == )(
2
0
Phép biến đổi (6.51) thực hiện một ánh xạ phía 
trong đường tròn bán kính đơn vị, tâm tại gốc 
toạ độ ( |z|<1) của mặt phẳng phức z vào nửa 
trái mặt phẳng phức w, phía ngoài đường tròn 
bán kính đơn vị ( |z|>1) vào nửa phải mặt phẳng 
phức w, đường tròn bán kính đơn vị ( |z|=1) 
thành trục ảo mặt phẳng phức w (H.6-26). CM:
Nếu w nằm ở nửa trái mặt phẳng phức, tức là
w=-α±jβ (trong đó α>0), từ (6.51) nhận được
βα
βα
j
j
z
m+
±−
=
1
1
1
)1(
)1(
22
22
<
+
+
=
+
−
βα
βα
z
Real
j1 jIm
Mặt phẳng z Mặt phẳng w
H. 6-26. Ý nghĩa toán học của phép biến đổi w
Real
jIm
w
w
z
−
+
=
1
1
Bằng cách chứng minh tương tự, nhận thấy 
rằng khi w nằm ở nửa bên phải mặt phẳng phức 
thì |z|>1, còn khi w nằm trên trục ảo thì |z|=1.
1
0 0 
1
3
1
2 23
Khi xây dựng ĐTTS logarit tiệm cận của các 
HTĐKTĐGĐ, người ta thường sử dụng tần số
giả tuyệt đối λ hơn sử dụng tần số giả tương đối 
Tần số giả tuyệt đối λ được xác định như sau:
ϑ
ω
λ T
T
tg
T 0
0
0
2
2
2 )( ==
Tương ứng với nó, phép biến đổi w, lúc này có
dạng
w
T
w
T
z
21
21
0
0
−
+
= (6.53)
1
12
0 +
−
=
z
z
Tw
(6.54)
Khi tần số ω nhỏ, tần số giả
tuyệt đối λ≈ω vì , 
tức là ĐTTS ở vùng tần số
thấp thực tế trùng với ĐTTS 
tương ứng của
)()(
22
00 TTtg
ωω
≈
)( ωjW
HTĐKTĐ liên tục. Khi tần số ω thay đổi trong dải 
[0, π/T0] các tần số giả , λ thay đổi trong dải 
[0, ∞[.
0 π/T0ω
λ,
ϑ
ϑ
Sử dụng Control System Toolbox để thực 
hiện biến đổi song tuyến tính:
bước 1: khai báo KĐHGĐ bằng lệnh tf;
bước 2: Sử dụng lệnh d2c để tìm HST w của 
KĐHLT. Cú pháp của lệnh này như sau:
d2c(sys,'tustin')
trong đó sys-KĐHGĐ đã được khai báo bằng 
lệnh tf; ‘tustin’-sử dụng phương pháp tích phân 
tustin.
Thí dụ 6.5. Sử dụng Control System Toolbox để
thực hiện biến đổi song tuyến tính hai chiều 
KĐHGĐ có HST như sau (T0=0.1s):
.1
05,005,0
)(
−
+
=
z
z
zW
clear all; clc;
T0=0.1;
sys1=tf([0.05 0.05],[1 -1],T0) 
sys2=d2c(sys1,'tustin')
sys3=c2d(sys2,T0,'tustin')
Sử dụng Control System Toolbox để dựng 
ĐTTS logarit của HTĐKTĐGĐ
Mô tả HTĐKTĐGĐ hở mà HT kín có phản hồi
âm đơn vị. Tiếp theo sử dụng lệnh bode hoặc
margin để dựng ĐTTS logarit (lưu ý rằng khi này
sử dụng tần số ω như trong HTĐKTĐ liên tục).
6.4. CÁC KHÂU GIÁN ĐOẠN ĐIỂN HÌNH
6.4.1. Khâu tổng
Khái niệm
Khâu tổng là KĐHGĐ có PTHSHH
)()( ˆˆ 110 ixbiya =∇
hoặc dưới dạng
)()(1 ixkiy =∇ (6.55) 
a
bk
ˆ
ˆ
0
1
=
trong đó: x(i)-lượng vào; y(i)-lượng ra
hệ số biến đổi (hay hệ số truyền). 
Hàm số truyền
Thực hiện biến đổi Z hai vế phương trình (6.55) 
khi ĐKBĐ bằng không, nhận được
)()()( 11 zXkzYz =− −
Vì vậy, HST của khâu tổng có dạng: 
)()(
)(
)(
11 z
k
zX
zY
zW
−
−
== (6.56) 
hay dưới dạng
)(
)(
1−
=
z
zk
zW (6.57) 
HST của khâu tổng (6.56) có dạng giống với
HST của khâu tích phân liên tục.
Đặc tính tần số
Đặc tính tần số biên độ
Thay vào biểu thức HST (6.56) hoặc
(6.57), nhận được HST tần số của khâu tổng
ez Tjω 0=
)(
)(
01
*
e
kjW Tjωω −
−
=
Để dựng ĐTTS biên độ (ĐTTSBĐ) của các 
KĐHGĐ có thể sử dụng công thức Euler
)()( 00 sincos0 TjTe Tj ωωω −=−
và thực hiện các biến đổi tiếp theo. Tuy nhiên, 
công việc này phức tạp, và từ biểu thức giải tích
nhận được cũng khó đưa ra phán xét về dạng 
ĐTTSBĐ của chúng, nhất là với các KĐHGĐ có
HST phức tạp.
Dưới đây, giới thiệu phương pháp dựng 
ĐTTSBĐ của các KĐHGĐ bằng Matlab. 
Đặc tính tần số logarit
Để nhận được HTSBĐ logarit và HTS pha
logarit của khâu tổng có thể sử dụng phép biến
đổi song tuyến tính (6.51) hoặc công thức (6.53) 
để biến đổi công thức (6.56) về dạng cần thiết, 
sau đó dựng các ĐTTS giả. Dưới đây, sử dụng
công cụ Control System Toolbox trong Matlab
để dựng các ĐTTS logarit. Khi đó cần sử dụng
HST dưới dạng (6.57).
Các đặc tính thời gian
- Đặc tính quá độ
Đưa vào đầu vào khâu tổng hàm chấn song bậc
thang đơn vị 1(i) và tính toán giá trị của hàm quá
độ h(i) khi ĐKBĐ bằng không. Từ (6.55) và
(6.2), nhận được
h(i)=h[(i-1)]+k.1(i)
i=0 h(0)=h(-1)+k.1(0) =k;
i=1 h(1)=h(0)+k.1(1)=k+k=2.k=(i+1).k;
i=2 h(2)=h(1)+k.1(2)=2.k+k=(i+1).k;
Tổng quát, hàm quá độ của khâu tổng có dạng
.1 )()( kiih +=
- Đặc tính quá độ xung
Đưa vào đầu vào của khâu tổng hàm chấn song 
xung đơn vị δ(i) và tính toán giá trị hàm quá độ 
xung g(i) khi ĐKBĐ bằng không.
Thực hiện biến đổi như trên, nhận được hàm 
quá độ xung
.
)( kig =
6.5. CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 
LIÊN TỤC-GIÁN ĐOẠN
6.5.1. Khái niệm và phân loại
Đa số các thiết bị chấp hành và ĐTĐK trong các 
HTĐKTĐ là các phần tử hoạt động liên tục. Việc
sử dụng các tính năng ưu việt của phương pháp
xử lý tín hiệu gián đoạn để ĐK các phần tử này
tạo ra một lớp các HTĐKTĐ liên tục-gián đoạn. 
Trong HTĐKTĐ này, như trên H.6-2 ta thấy có
các phần tử đặc trưng sau:
- máy tính số thực hiện chức năng lưu giữ
chương trình, tính toán và hiệu chỉnh;
- phần tử AD thực hiện biến đổi tín hiệu từ dạng
liên tục về dạng số;
- phần tử DA thực hiện biến đổi tín hiệu từ dạng
số về dạng liên tục;
- các phần tử chức năng liên tục cần thiết khác.
HTĐKTĐ liên tục-gián đoạn về cấu trúc có thể
được chia ra thành hai loại:
- đo sai lệch gián đoạn, xử lý tín hiệu gián đoạn
Xử lý
tín hiệu
Phần
liên tụcAD
x(t) e(t) DA y(t)
Xử lý
tín hiệu
Phần
liên tụcAD
x(t)
e(i)
DA
y(t)
AD
- đo sai lệch liên tục, xử lý tín hiệu gián đoạn
x(i)
y(i)
6.5.2. Mô tả toán học khâu ghi nhớ (ngoại
suy)
Trong phần 6.2.2 đã chỉ ra rằng, phổ tần số của
tín hiệu gián đoạn có chứa phổ tần số của tín
hiệu liên tục và các thành phần cao tần bổ sung. 
Để khôi phục hình dáng gần đúng của tín hiệu
một chiều thì trước phần tử liên tục phải đặt một
khâu ghi nhớ. ĐTTSBĐ của khâu này phải có
dạng của bộ lọc thấp tần để loại trừ các thành
phần phổ cao tần không mong muốn của tín
hiệu gián đoạn.
Hiện nay có nhiều dạng và sơ đồ khâu ghi nhớ. 
Ở đây chúng ta nghiên cứu khâu ghi nhớ bậc
không. Khâu ghi nhớ này biến đổi chuỗi xung lý
tưởng (các mã) thành hàm bậc thang η(t). 
η(t)a) b)
T0 2T03T0 t0 T0
1
-1 t
0
η(t)
Khi đưa tới đầu vào khâu ghi nhớ tín hiệu
x(i)=δ(i), ở đầu ra nhận được xung vuông có độ
rộng T0. Hàm η(t) có thể được biểu diễn như
sau
)()()( 011 Tttt −−=η
Thực hiện biến đổi Laplace hai vế phương trình
trên với ĐKBĐ bằng không, nhận được hàm ảnh
tín hiệu ra của khâu ghi nhớ
)]([)( tLs ηη =
s
e
e
ss
sT
sT
−
−
=
−
−=
0
0
111
Từ đây nhận được HST của khâu ghi nhớ
)(
)(
)(
sX
s
sW ghn
η
= .
0
0
111
s
e
e
ss
sT
sT
−
−
=
−
−=
ĐTTSBĐ của khâu ghi nhớ
ejWA Tjghnghn ωωωω
−
−== 01
1)()(
)(0 0
22
sin)]cos(1[1 TT ωω
ω
+= −
)(
)(
2
2
sin
0
0
0 T
T
T ω
ω
=
ĐTTS pha của khâu ghi nhớ
0
T0
ω2π/T0 4π/T0 6π/T0
φghn(ω)
Wghn(jω)
))(()( arg ωωϕ jW ghnghn =
22cos1
sin 0
0
0
)(
)( T
T
T
arctg
ωpi
ω
ω
−=−
−
=
Các thành phần phổ cao tần của tín hiệu gián 
đoạn bị giảm đi đáng kể khi đi qua khâu ghi nhớ.
Khâu ghi nhớ đưa vào HT độ trễ pha tỉ lệ với 
T0/2. Các mạch ngoại suy bậc cao hơn đưa vào 
HT độ trễ pha nhiều hơn.
6.5.3. HST z HTĐKTĐ liên tục-gián đoạn
Xét khâu động học liên tục (KĐHLT) với HST 
W(s). PTX với chu kỳ gián đoạn T0 mô tả thao tác 
lượng tử hoá theo thời gian tín hiệu x(t). Tín hiệu 
đã được lượng tử hoá x(iT0) đi qua khâu ghi nhớ
và được đưa đến KĐHLT với HST W(s). Tại đầu 
ra của nó nhận được tín hiệu liên tục y(t).
x(t)
y(t)T0
x(iT0) ghi nhớ W(s)
T0 y(iT0)
W1(s)
Nếu chỉ xem xét lượng ra ở các thời điểm trùng 
với thời điểm lượng tử hoá theo thời gian của 
lượng vào x(t), thì để nhận được hàm chấn 
song y(iT0) cần đưa vào đầu ra của KĐHLT một 
PTX giả định làm việc đồng bộ với PTX ở đầu 
vào.
Thực hiện biến đổi Laplace gián đoạn hàm 
y(iT0) và x(iT0), nhận được các hàm ảnh Y(z) và
X(z). Từ đây nhận được HST tương đương của 
khâu ghi nhớ và KĐHLT W(z)
(6.70) 
trong đó F(s)=W(s)/s-HST quy đổi;
)].([)( sFZzF =
)]([
)]()([)(
)(
)](
01
sW
s
e
Z
sWsWZ
zX
zY
zW
sT
gnh
−
−
=
==
)()]([])([)( 111
)(
)(
zF
z
z
sFZ
z
z
s
sWZ
z
z
zW
zF
sF
−−−
===
43421
43421
Phương pháp tính HST z W(z) của KĐHLT:
a) Phương pháp thặng dư
- bước 1: tìm HST quy đổi F(s)=W(s)/s;
- bước 2: tìm tất cả các cực sc của F(s);
-bước 3: tìm F(z) theo công thức (6.27), như
sau: 
∑
∀ 







−
=
s
Ts
sc c
sF
ez
z
szF )()(
0
Re
∑ −
−∀ 







−→
=
−
−
s
cTs
ssc c
sssF
ez
z
ds
d
k
k
k
k
])([)( )(lim!1
1
0)1(
)1(
trong đó: sc-
các điểm cực
của F(s); k là
bội của cực sc;
- bước 4: tìm W(z) theo công thức (6.70).
Thí dụ 6.6. Tìm HST z của khâu tích phân liên
tục W(s)=k/s.
s
k
s
sW
sF 2
)(
)( ==
Hàm F(s) có một cực kép s=0, vì vậy








−→
= −
−
−
−
][
0)(
)( )0(lim!12
1 2
2)12(
)12(
0
s
s
k
ez
z
ds
d
zF Ts
s
)1( 2
0)(
−
=
z
zkT
zF )1(
1 0)()(
−
−
==
z
kT
zF
z
z
zW
b) Phương pháp tra bảng
Thí dụ 6.7. Tìm HST z của KĐH liên tục
)()( 1+
=
Tss
k
sW
bằng phương pháp tra bảng.
))(()(
)(
1
1
1
2
22 ++
+−==
Ts
T
s
T
s
k
Tss
k
sF
][)(
01)1( 2
0
ez
Tz
z
Tz
z
zT
kzF
T
T
−
−− −
+−=
Từ B.6.1 nhận được
Phương pháp sử dụng Control System Toolbox 
để tính HST z của khâu động học liên tục:
bước 1: khai báo KĐHLT bằng lệnh tf;
bước 2: Sử dụng lệnh c2d để tìm HST z của 
KĐHLT. Cú pháp của lệnh này như sau:
c2d(sys,T0,'zoh')
trong đó sys-KĐH đã được khai báo bằng lệnh 
tf; T0-chu kỳ gián đoạn, ‘zoh’-sử dụng khâu ghi 
nhớ bậc không.
Thí dụ 6.8. Sử dụng Control System Toolbox 
để tính HST z trong thí dụ 6.4 khi k=12, T0=0,1 
s.
k=12;
sys=tf(k,[1 0]);
T0=0.1;
c2d(sys,T0,'zoh')
6.5.4. Các quy tắc biến đổi SĐCT của các HT 
điều khiển tự động liên tục-gián đoạn
Các quy tắc biến đổi SĐCT trong các HTĐKTĐ 
liên tục-gián đoạn cũng giống các quy tắc tương 
ứng trong các HTĐKTĐ liên tục. Sự khác biệt 
liên quan đến sự có mặt của PTX và khâu ghi 
nhớ. Quy tắc cơ bản được phát biểu như sau: 
các KĐHLT được mắc nối tiếp trong HT mà
không bị cách ly bằng PTX cần phải được xem 
xét như một KĐHLT. 
Mắc nối tiếp các khâu động học được cách ly 
bằng các phần tử xung
Giả sử có hai KĐHLT được mắc bị cách ly bởi 
PTX. Ta tìm HST tương đương của chúng.
x(t)
T0
x(iT0)
GN W1(s)
y(iT0)
r(t) r(iT0)GN W2(s)
y(t)T0
T0
Các PTX làm việc đồng bộ với nhau. Ta có
)()()( 1 zWzXzR =
]
)(
[)( 11
1
s
sW
Z
z
z
zW
−
=
)()()( 2 zWzRzY =
]
)(
[)( 22
1
s
sW
Z
z
z
zW
−
=
)()()()()()( 21 zWzXzWzWzXzY td==⇒
]
)()(
[)()()(
)(
)( 2121
1
s
sWsW
Z
z
z
zWzW
zX
zY
zW td
−
≠==
Mắc nối tiếp các khâu động học không được 
cách ly bằng các phần tử xung
Giả sử có hai KĐHLT được mắc không bị cách 
ly bởi PTX. Ta tìm HST tương đương của 
chúng.
x(t)
T0
x(iT0)
GN W1(s)
y(iT0)
W2(s)
y(t)
T0
Các PTX làm việc đồng bộ với nhau. Ta có
)()()( zWzXzY td=
)()(]
)()(
[)(
)(
)( 21
211
zWzW
s
sWsW
Z
z
z
zX
zY
zW td ≠==
−
HT kín có rời rạc tín hiệu sai số
Xét HTĐKTĐGĐ có SĐCT như sau.
e(t)
T0
e(iT0) GN W(s)
y(iT0)
y(t)
T0
W1(s)→W1(z)
H(s)
W2(s)→W2(z)
x(t)
)]([)( 11
1
sFZ
z
z
zW
−
=
)]([)( 22
1
sFZ
z
z
zW
−
=
s
sW
sF
)(
)(1 =
s
sHsW
sF
)()(
)(2 =
Khi này xảy ra hai trường hợp.
Trường hợp 1. Nếu hàm F2(s) có bậc của mẫu 
số lớn hơn bậc của tử số từ hai đơn vị trở lên, 
thì hàm quá độ xung của nó liên tục tại thời 
điểm t=0 (khi PTX làm việc), tức là
0lim0 )]([)( 22 ==
∞→
sFsg
s
Khi đó HST kín của HT được xác định như sau
(6.72)
)()()()( 2 zWzEzXzE −=
)(
)(
)(
21 zW
zX
zE
+
=⇒
)(
)()(
)()()(
2
1
1 1 zW
zWzX
zWzEzY
+
==
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
1 zW
zW
zX
zY
zW k +==⇒
Khi H(s)=1 công thức trên có dạng
)(
)(
)]([
)]([
)(
11
1
1
1
1
zW
zW
zF
z
z
zF
z
z
zW
h
h
k +
=
+
=
−
−
(6.73)
Thí dụ 6.9. Tìm HST của HTĐKTĐ có sơ đồ như
sau
e(t)
T0
e(iT0)
GN W(s)
y(t)
x(t)
s
k
sW =)(
Ta có
s
k
sFsF 221 )()( ==
Hàm F2(s) có bậc của mẫu số lớn hơn bậc của
tử số hai đơn vị, vì vậy HST kín được xác định
theo (6.73)
)(
)(
)(
1 zW
zW
zW
h
h
k +
=
trong đó
1
1 0
1 )]([)(
−
−
==
z
Tk
zF
z
z
zW h
10
0)(
−+
=⇒
Tkz
Tk
zW k
Trường hợp 2. Nếu hàm F2(s) có bậc của mẫu
số lớn hơn bậc của tử số một đơn vị thì hàm
quá độ xung của nó sẽ đột biến
(gián đoạn) tại thời điểm t=0 (khi PTX làm việc), 
tức là
)]([)( 212 sFLtg −=
0lim0 )]([)( 22 ≠=
∞→
sFsg
s
Sự đột biến tín hiệu này dẫn đến sự không đơn
trị của sai lệch tác động lên PTX, đến lượt mình
nó gây ra các tính chất khác nhau của các quá
trình trong HTĐKTĐGĐ kín.
Để xác định đơn trị các quá trình trong HTĐKTĐ 
gián đoạn kín người ta đưa thêm một khâu giữ
chậm một chu kỳ gián đoạn z-1 vào mạch phản
hồi. Như vậy, HST của HTĐKTĐGĐ kín trong
trường hợp này được xác định như sau
)(
)(
)(
2
1
1
1 zWz
zW
zW k
−+
=⇒ Tuy nhiên, trường
hợp này ít xảy ra.