Toán cao cấp A2 - Chương 1: Giải tích vector

1Chương 1 1
1. Các hệ toạ độ
2. Các yếu tố vi phân
3. Phép tính vector
4. Tích phân
5. Các toán tử
CHƯƠNG 1: GIẢI TÍCH VECTOR
7:43 AM
7:43 AM Chương 1 2
Các hệ toạ độ
 Hệ toạ độ Descartes
z
x
yO
z
x
y
݅௬
݅௫
݅௭
݅௫ ൌ ݅௬ ൈ ݅௭
݅௬ ൌ ݅௭ ൈ ݅௫
݅௭ ൌ ݅௫ ൈ ݅௬
27:43 AM Chương 1 3
Các hệ toạ độ
 Hệ toạ độ trụ
r, ,z
rP, P,zP
 P
݅௥ ൌ ݅ఝ ൈ ݅௭
݅ఝ ൌ ݅௭ ൈ ݅௥
݅௭ ൌ ݅௥ ൈ ݅ఝ݅ఝ
7:43 AM Chương 1 4
Các hệ toạ độ
 Hệ toạ độ cầu ݅௥ ൌ ݅ఏ ൈ ݅ఝ
݅ఏ ൌ ݅ఝ ൈ ݅௥
݅ఝ ൌ ݅௥ ൈ ݅ఏ
݅ఝ
݅௥
݅ఝ
݅ఏ
37:43 AM Chương 1 5
Các hệ toạ độ
 Liên hệ giữa các hệ toạ độ
Descartes Trụ Cầu
Descartes
(x,y,z)
x = rcos 
y = rsin 
z = z
x = rsincos 
y = rsinsin 
z = rcos
Trụ
(r, ,z) ݎ ൌ ݔ
ଶ ൅ ݕଶ
߮ ൌ ܽݎܿݐܽ݊݃ ݕݔ
z = z
r = rsin
 = 
z = rcos
Cầu
(r,, ) ݎ ൌ ݔ
ଶ ൅ ݕଶ ൅ ݖଶ
ߠ ൌ ܽݎܿݐܽ݊݃ ݔ
ଶ ൅ ݕଶ
ݔ
߮ ൌ ܽݎܿݐܽ݊݃ ݕݔ
ݎ ൌ ݎଶ ൅ ݖଶ
ߠ ൌ ܽݎܿݐܽ݊݃ ݎݖ = 
7:43 AM Chương 1 6
Các hệ toạ độ
 Liên hệ giữa các hệ toạ độ
Toạ độ Vector đơn
vị
Hệ số Larmor
u1 u2 u3 ݅ଵ ݅ଶ ݅ଷ h1 h2 h3
Descartes
(x,y,z)
- < x < - < y < - < z < ݅௫ ݅௬ ݅௭ 1 1 1
Trụ
(r, ,z)
0 r < 0 <2 - < z < ݅௥ ݅ఝ ݅௭ 1 r 1
Cầu
(r,, )
0 r < 0  < 0 <2 ݅௥ ݅ఏ ݅ఝ 1 r rsin
47:43 AM Chương 1 7
Các yếu tố vi phân
݀ܵ௫ ݀ܵ௬
݀ܵ௭
 Hệ toạ độ Descartes
݈݀ ൌ ݀ݔ݅௫ ൅ ݀ݕ݅௬ ൅ ݀ݖ݅௭
݀ܵ௫ ൌ േ݀ݕ݀ݖ݅௫
݀ܵ௬ ൌ േ݀ݔ݀ݖ݅௬
݀ܵ௭ ൌ േ݀ݔ݀ݕ݅௭
ܸ݀ ൌ ݀ݔ݀ݕ݀ݖ
7:43 AM Chương 1 8
Các yếu tố vi phân
 Hệ toạ độ trụ
݀ܵ௭
݀ܵ௥
݀ܵఝ ݅ఝ
rdrd 
݈݀ ൌ ݀ݎ݅௥ ൅ ݎ݀߮݅ఝ ൅ ݀ݖ݅௭
݀ܵ௥ ൌ േݎ݀߮݀ݖ݅௥
݀ܵఝ ൌ േ݀ݎ݀ݖ݅ఝ
݀ܵ௭ ൌ േݎ݀ݎ݀߮݅௭
ܸ݀ ൌ ݎ݀ݎ݀߮݀ݖ 
57:43 AM Chương 1 9
Các yếu tố vi phân
 Hệ toạ độ cầu
݀ܵథ
݀ܵ௥
݀ܵఏ
݈݀ ൌ ݀ݎ݅௥ ൅ ݎ݀ߠ݅ఏ ൅ ݎݏ݅݊ߠ݀߮݅ఝ
݀ܵ௥ ൌ േሺݎ݀ߠሻሺݎݏ݅݊ߠ݀߮ሻ݅௥
݀ܵఏ ൌ േሺ݀ݎሻሺݎݏ݅݊ߠ݀߮ሻ݅ఏ
݀ܵఝ ൌ േሺ݀ݎሻሺݎ݀ߠሻ݅ఝ
ܸ݀ ൌ ሺ݀ݎሻሺݎ݀ߠሻሺݎݏ݅݊ߠ݀߮ሻ
rsind 
݅ఝ
7:43 AM Chương 1 10
Các yếu tố vi phân
Tìm khối lượng của vật thể hình cầu bán kính a, tâm tại gốc toạ độ có mật độ khối lượng
 (r,, ) = 0/r.
ܸ݀ ൌ ሺ݀ݎሻሺݎ݀ߠሻሺݎݏ݅݊ߠ݀߮ሻ
݉ ൌ න ߩ
௏
ܸ݀ ൌ න ߩ଴ݎ ݎ
ଶݏ݅݊ߠ݀ݎ݀ߠ݀߮
௏
ൌ න න න ߩ଴ݎݏ݅݊ߠ݀ݎ݀ߠ݀߮
௔
଴
గ
଴
ଶగ
଴
m = 2 0a2
Tìm tích phân ׬ ݔଶ ൅ ݕଶ ܸ݀௏ với V là nửa trên hình cầu bán kính R.
Áp dụng: r: 0 – R, : 0 - 2 , : 0 - /2
x = rsincos 
y = rsinsin 
67:43 AM Chương 1 11
Phép tính vector
 Biểu diễn vector
ܣԦ ൌ ܣଵ݅ଵ ൅ ܣଶ݅ଶ ൅ ܣଷ݅ଷ ܣԦ ൌ ܣଵଶ ൅ ܣଶଶ ൅ ܣଷଶ
 Tích vô hướng
ܣԦ. ܤ ൌ ܣଵܤଵ ൅ ܣଶܤଶ ൅ ܣଷܤଷ
 Tích có hướng
ܣԦ ൈ ܤ ൌ
݅ଵ ݅ଶ ݅ଷܣଵ ܣଶ ܣଷܤଵ ܤଶ ܤଷ
ൌ ܣଶܤଷ െ ܣଷܤଶ ݅ଵ ൅ ܣଷܤଵ െ ܣଵܤଷ ݅ଶ ൅ ሺܣଵܤଶ െ ܣଶܤଵሻ݅ଷ
7:43 AM Chương 1 12
Phép tính vector
 Đạo hàm vector
݀ܣԦ ൌ ߲ܣԦ߲ݔ ݀ݔ ൅
߲ܣԦ
߲ݕ ݀ݕ ൅
߲ܣԦ
߲ݖ ݀ݖ
߲ܣԦ
߲ݔ ൌ lim∆௫→଴
ܣԦ ݔ ൅ ∆ݔ, ݕ, ݖ െ ܣԦ ݔ, ݕ, ݖ
∆ݔ
ܣԦ ൌ 2ݔଶݕ݅௫ ൅ ݕݖ݅௬ ൅ ݔݕଶ݅௭ ߲ܣԦ߲ݔ ൌ 4ݔݕ݅௫ ൅ ݕ
ଶ݅௭
77:43 AM Chương 1 13
Tích phân
 Tích phân đường
න ܨԦ݈݀
஼
ൌ න ܨ. ݈݀. cos	ሺܨԦ݈݀ሻ
஼
C là đường cong kín:
ර ܨԦ݈݀
஼
: lưu số của ܨԦ theo C
 Tích phân mặt
න ܣԦ݀ݏ
ௌ
ൌ න ܣ. ݀ݏ. cos	ሺܣԦ݀ݏሻ
஼
S là mặt kín:
ර ܣԦ݀ݏ
ௌ
ൌ ර ܣԦ݊݀ݏ
ௌ
݊: vector pháp tuyến
đơn vị của mặt S
 Tích phân thể tích
න ߩܸ݀
௏
 : mật độ khối
7:43 AM Chương 1 14
Các toán tử
 Gradient
 Nabla
ߘ ൌ ݅௫ ߲߲ݔ ൅ ݅௬
߲
߲ݕ ൅ ݅௭
߲
߲ݖ
 Tác dụng lên hàm vô hướng, kết quả là vector
 Độ lớn bằng tốc độ tăng cực đại
 Hướng là hướng có tốc độ tăng cực đại (vuông góc với mặt V 
= const đi qua điểm đang xét)
݃ݎܸܽ݀ ൌ 1݄ଵ ݅ଵ
߲ܸ
߲ݑଵ ൅
1
݄ଶ ݅ଶ
߲ܸ
߲ݑଶ ൅
1
݄ଷ ݅ଷ
߲ܸ
߲ݑଷ
87:43 AM Chương 1 15
Các toán tử
 Gradient
 Descartes
݃ݎܸܽ݀ ൌ ݅௫ ߲ܸ߲ݔ ൅ ݅௬
߲ܸ
߲ݕ ൅ ݅௭
߲ܸ
߲ݖ ൌ ߘܸ
 Trụ
݃ݎܸܽ݀ ൌ ݅௥ ߲ܸ߲ݎ ൅
1
ݎ ݅ఝ
߲ܸ
߲߮ ൅ ݅௭
߲ܸ
߲ݖ
 Cầu
݃ݎܸܽ݀ ൌ ݅௥ ߲ܸ߲ݎ ൅
1
ݎ ݅ఏ
߲ܸ
߲ߠ ൅
1
ݎݏ݅݊ߠ ݅ఝ
߲ܸ
߲߮
7:43 AM Chương 1 16
Các toán tử
 Gradient
Tìm vector đơn vị vuông góc với mặt r 2cos(2 ) = 1 tại điểm 2, గ଺ , 0 trong hệ toạ độ trụ.
Hướng vuông góc với mặt V = const là gradV cần tính gradV với V = r 2cos(2 )
݃ݎܸܽ݀ ൌ ݅௥ ߲ܸ߲ݎ ൅
1
ݎ ݅ఝ
߲ܸ
߲߮ ൅ ݅௭
߲ܸ
߲ݖ ൌ 2ݎܿ݋ݏ 2߮ ݅௥ െ 2ݎݏ݅݊ 2߮ ݅ఝ
Tại điểm 2, గ଺ , 0
݃ݎܸܽ݀ ൌ 2 2ܿ݋ݏ 2ߨ6 ݅௥ െ 2 2ݏ݅݊ 2
ߨ
6 ݅ఝ
߲ܸ
߲߮ ൌ 2	݅௥ െ 6	݅ఝ
Vector đơn vị:
݅௡ ൌ ݃ݎܸܽ݀݃ݎܸܽ݀ ൌ
2	݅௥ െ 6	݅ఝ
8 ൌ
1
2 ݅௥ െ 3	݅ఝ
97:43 AM Chương 1 17
Các toán tử
 Divergence
 Đặc trưng cho cường độ của nguồn
 Tác dụng lên hàm vector, kết quả là vô hướng
݀݅ݒܣԦ ൌ 1݄ଵ݄ଶ݄ଷ
߲ሺܣଵ݄ଶ݄ଷሻ
߲ݑଵ ൅
߲ሺܣଶ݄ଷ݄ଵሻ
߲ݑଶ ൅
߲ሺܣଷ݄ଵ݄ଶሻ
߲ݑଷ
 Descartes
݀݅ݒܣԦ ൌ ߲ܣ௫߲ݔ ൅
߲ܣ௬
߲ݕ ൅
߲ܣ௭
߲ݖ ൌ ߘܣԦ
7:43 AM Chương 1 18
Các toán tử
 Định lý Divergence (định lý Gauss – Ostrograsky)
 Divergence
න ݀݅ݒܣԦܸ݀
௏
ൌ ර ܣԦ݀ݏ
ௌ
S: mặt kín bất kỳ bao quanh thể tích V
10
7:43 AM Chương 1 19
Các toán tử
 Rotation (curl)
 Đặc trưng cho tính chất xoáy của vector
 Tác dụng lên hàm vector, kết quả là vector
ݎ݋ݐܣԦ ൌ 1݄ଵ݄ଶ݄ଷ
݄ଵ݅ଵ ݄ଶ݅ଶ ݄ଷ݅ଷ
߲
߲ݑଵ
߲
߲ݑଶ
߲
߲ݑଷ
ܣଵ݄ଵ ܣଶ݄ଶ ܣଷ݄ଷ
7:43 AM Chương 1 20
Các toán tử
 Rotation (curl)
 Descartes
ݎ݋ݐܣԦ ൌ
݅௫ ݅௬ ݅௭
߲
߲ݔ
߲
߲ݕ
߲
߲ݖ
ܣ௫ ܣ௬ ܣ௭
ൌ ߘ ൈ ܣԦ
 Định lý Stokes
න ݎ݋ݐܣԦ݀ݏ
ௌ
ൌ ර ܣԦ݈݀
஼
C: đường cong kín bất kỳ bao
quanh diện tích S
11
7:43 AM Chương 1 21
Các toán tử
 Laplace
 Tác dụng lên hàm vô hướng, kết quả là vô hướng
 f = div(gradf) = ..f = 2f
∆݂ ൌ 1݄ଵ݄ଶ݄ଷ
߲
߲ݑଵ
݄ଶ݄ଷ
݄ଵ
߲݂
߲ݑଵ ൅
߲
߲ݑଶ
݄ଷ݄ଵ
݄ଶ
߲݂
߲ݑଶ ൅
߲
߲ݑଷ
݄ଵ݄ଶ
݄ଷ
߲݂
߲ݑଷ
 Tác dụng lên hàm vector, kết quả là vector
∆ܣԦ ൌ ߘ. ߘ. ܣԦ െ ߘ ൈ ߘ ൈ ܣԦ ൌ ݃ݎܽ݀ ݀݅ݒܣԦ െ ݎ݋ݐሺݎ݋ݐܣԦሻ
7:43 AM Chương 1 22
Các biểu thức cơ bản
1. (f + g) = f + g
2. ߘ. ܣԦ ൅ ܤ ൌ ߘ. ܣԦ ൅ ߘ. ܤ
3. ߘ ൈ ܣԦ ൅ ܤ ൌ ߘ ൈ ܣԦ ൅ ߘ ൈ ܤ
4. (fg) = gf + fg
5. ߘ ݂ܣԦ ൌ ܣԦߘ݂ ൅ ݂ߘܣԦ
6. ߘ ܣԦ ൈ ܤ ൌ ܤ. ߘ ൈ ܣԦ െ ܣԦ. ߘ ൈ ܤ	݄ܽݕ	݀݅ݒ ܣԦ ൈ ܤ ൌ ܤ. ݎ݋ݐܣԦ െ ܣԦ. ݎ݋ݐܤ
7. ߘ ܣԦ. ܤ ൌ ܣԦ ൈ ߘ ൈ ܤ ൅ ܤ ൈ ߘ ൈ ܣԦ ൅ ܣԦ. ߘ ܤ ൅ ሺܤ. ߘሻܣԦ
8. ߘ ൈ ݂ܣԦ ൌ ߘ݂ ൈ ܣԦ ൅ ݂ߘ ൈ ܣԦ
9. ߘ ൈ ܣԦ ൈ ܤ ൌ ܣԦߘ. ܤ െ ܤߘ. ܣԦ ൅ ܤ. ߘ ܣԦ െ ሺܣԦ. ߘሻܤ
10. ߘ. ߘ ൈ ܣԦ ൌ ݀݅ݒ ݎ݋ݐܣԦ ൌ 0
11. ߘ. ߘ ൈ ݂ ൌ ݎ݋ݐ ݃ݎ݂ܽ݀ ൌ 0
12
7:43 AM Chương 1 23
ܣԦ ൌ 2ݔݖ݅௫ ൅ ݔଶݕଶ݅௬ ൅ ݔݕ݅௭
ܤ ൌ 2݅௫ ൅ 3݅௬ ൅ ݅௭
Tính: 
1. ܣԦ. ܤ
2. ܣԦ ൈ ܤ
3. ݀ܣԦ
4. gradV
5. ݀݅ݒܣԦ
6. ݎ݋ݐܣԦ
7. ∆ܣԦ
8. ∆ܸ
9. ݀݅ݒܥԦ
10.gradU
ܸ ൌ 2ݔଶሺݕ ൅ 1ሻሺݖଶ ൅ 1ሻ
ܥԦ ൌ ݎଶ݅௥ ൅ 2ݎݏ݅݊߮݅ఝ ൅ ݖ݅௭
ܷ ൌ ݎଷ ൅ ݎݏ݅݊߮ܿ݋ݏߠ ൅ ݎଶݏ݅݊ߠ