Toán học - Chương 2 Biến ngẫu nhiên một chiều

2/14/2019
1
CHƯƠNG 2
BIẾN NGẪU NHIÊN
MỘT CHIỀU 
1
2.1 Khái niệm và phân loại
• Khái niệm. Biến số gọi là biến ngẫu nhiên (random
variable) nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ
nhận một và chỉ một giá trị có thể có của nó tùy
thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu
nhiên.
• Ký hiệu: X, Y, Z  hay X1,X2,
• Giá trị có thể có của bnn: chữ thường x, y, z, 
• {X≤x} {Y=y} là các biến cố ngẫu nhiên.
2
Ví dụ 1
• X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày
• Y: Tuổi thọ của một chiếc điện thoại
• Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. Gọi Z:
số mũ bảo hiểm được trả đúng người
• T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới
nhập về
• U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên
trong lớp này
3
Phân loại bnn
4
Phân loại
5
Rời rạc
- Hữu hạn giá trị
- Vô hạn đếm được giá
trị
- Xác suất tập trung tại
các điểm giá trị
Biến ngẫu nhiên
Liên tục
- Giá trị lấp đầy một hay vài
khoảng hữu hạn hoặc vô hạn
- Xác suất tại từng khoảng giá
trị
- Xác suất không tập trung tại
các điểm
P(X=a)=0 với mọi a
Ví dụ 2
• Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy ngẫu
nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bi vàng có
trong 2 viên lấy ra.
• Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.
• Ta có:
• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???
6
 0 1 2; ;Y 
2/14/2019
2
Hai biến ngẫu nhiên độc lập
• Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biến cố:
• Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y.
• Nói cách khác mọi biến cố liên quan đến hai biến
ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập nhau.
7
 X x Y y 
2.2 Quy luật phân phối xác suất
8
• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu
nhiên và xác suất tương ứng.
Luật phân phối xác suất
Hàm phân bố xác
suất (CDF)
Rời rạc
+ Liên
tục
Xác suất bên trái
Tỷ lệ bên trái
F(x)
Hàm khối xác suất
(PMF)
Rời rạc Xác suất tại điểm p(x)
f(x)
Hàm mật độ xác
suất (PDF)
Liên tục Mật độ xác suất f(x)
9
• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu
nhiên và xác suất tương ứng.
• Thường gặp 3 dạng:
Hàm phân phối xác suất
• Hàm phân phối xác suất (Cumulative Distribution
Function), viết tắt CDF của biến ngẫu nhiên X là
hàm xác định:
• {X≤x} : biến cố “bnn X nhận giá trị nhỏ hơn hay
bằng x”
• Đôi khi ta còn gọi là hàm phân bố xác suất hay
hàm tích lũy xác suất.
10
 ( ) ;X xF x P X x 
Tính chất
11
i) 0 1,XF x x R  
ii) XF x là hàm không giảm, liên tục bên phải. Nếu 
X là biến ngẫu nhiên liên tục thì F x là hàm liên tục 
trên R. 
iii) lim 0X X
x
F F x
 lim 1X X
x
F F x
iv) X XP a X b F b F a . 
Hàm phân phối xác suất
12
2/14/2019
3
Hàm khối xác suất
• Probability Mass Function (PMF)
• Tính chất:
13
 Xp x P X x 
) 0
) 1
)
X
X
x
X
x A
i p x
ii p x
iii P A p x


• Dạng bảng
• Dạng đồ thị
Bnn Rời rạc - Bảng ppxs
• Bảng phân phối xác suất của X.
• xi : giá trị có thể có của bnn X
• pi : xác suất tương ứng;
14
X x1 . x2 . xn
P p1 . p2 . pn
1
)) ( ) (
) 1
 
i X
n
i
i
i ii p p x
i
x
p
P X
i
PMF và CDF
15
PMF và CDF
• Hàm phân phối xác suất được xác định như sau:
16
1
1 1 2
1 2 2 3
1 1 1
0 ,
,
,
............................................
... ,
X
k k k
x x
p x x x
F x p p x x x
p p x x x 
k
X X k
x x
F x P X x p x
 
Ví dụ 3
Xét phép thử tung hai đồng xu phân biệt.
Không gian mẫu là: Ω = {𝑆𝑆; 𝑆𝑁;𝑁𝑆;𝑁𝑁}
Gọi X là số lần mặt sấp xuất hiện, X là bnn rời rạc.
Hàm khối xác suất:
17
1/ 4 ; 0 2
1/ 2 ; 1
0 ; 0; 1; 2
X
x hay x
p x x
x
Ví dụ 3
• Hàm phân phối xác suất:
18
X 0 1 2
P 1/4 1/2 1/4
0 , 0
1/ 4 ,0 1
3 / 4 ,1 2
1 ,2
X
x
x
F x
x
x
2/14/2019
4
Ví dụ 4
• Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm
đạt loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm.
• Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm
loại A lấy ra?
• Xác định PMF, CDF?
19
Ví dụ 5
Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản
phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm
xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ
kiện 2 ra 1 sản phẩm.
a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm tốt
trong 3 sản phẩm lấy ra?
b) Xác định PMF, CDF
20
Ví dụ 6
• Luật Benford phát biểu rằng trong một lượng rất
lớn các số thực ngoài đời, chữ số đầu tiên tuân
theo luật phân phối với 30% là số 1, 18% là số 2 và
nói chung:
• Với D là chữ số đầu tiên của một phần tử chọn
ngẫu nhiên.
• Luật phân phối trên có hợp lý không?
21
 10
1
log , {1,2,3...,9}
j
P D j j
j
Chú ý về BNN liên tục
• Nếu X là bnn liên tục thì:
22
) 0,)
)
( 
X a a
ii P a X b P a
i
X
P
b
Hàm mật độ xác suất
23
• Probability Density Function
• Viết tắt: PDF
24
) 0
) 1
  
i f x x R
ii f x dx
Hàm mật độ xác suất
2/14/2019
5
PDF và CDF
25
 f x
x
 F x
x
F x f t dt
 f x F x
Ví dụ 7
• Cho biến ngẫu nhiên X có CDF dạng:
• A) Xác định hệ số k
• B) Tìm PDF
26
 2
0 , 0
,0 1
1 ,1
x
F x kx x
x
Ví dụ 8
• Cho biến ngẫu nhiên X có PDF dạng:
• A) Xác định hệ số k
• B) Tìm hàm CDF
• C) Tính P(2<X<3)
• D) Thực hiện 4 lần phép thử độc lập với bnn X.
Tính xác suất bnn X không nhận giá trị trong
khoảng (2;3)
27
 2 1
k
f x x
x
2.3 Các tham số của biến ngẫu nhiên
• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)
• Phương sai (Variance) V(X), Var(X)
• Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)
• Mốt (Mode) m0
• Trung vị (Median) me
• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV
• Hệ số bất đối xứng (Skewness)
• Hệ số nhọn (Kurtosis)
• Giá trị tới hạn
28
Kỳ vọng (Expected Value)
• Kỳ vọng toán học của bnn X được ký hiệu là E(X)
hay  và tính theo công thức sau:
• E(X) là trung bình theo xác suất của X
• E(X) là số xác định và có cùng đơn vị với X
29
Tính chất
30
2/14/2019
6
Ví dụ 9
• Tung một cục xúc sắc nhiều lần. Gọi X là số chấm
mặt ngửa của cục xúc sắc.
• Tính kỳ vọng của X
• Về lâu dài (in a long run) giá trị trung bình của
những lần tung là bao nhiêu?
Ý nghĩa kỳ vọng
• Là giá trị trung bình của bnn (trong một quá trình
lâu dài); phản ánh giá trị trung tâm của ppxs của
bnn
• Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, nếu cần
chọn phương án cho năng suất cao ta chọn
phương án cho năng suất kì vọng cao
32
Ví dụ 10
• Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1
ngày. Với cuộc hẹn thứ nhất, khả năng thành công
(ký được hợp đồng) là 0,7 và lợi nhuận dự kiến là
1000$. Với cuộc hẹn thứ 2, khả năng thành công
là 0,4 và lợi nhuận là 1500$. Giả sử kết quả các
cuộc hẹn độc lập nhau. Lợi nhuận kỳ vọng của
nhân viên bán hàng là bao nhiêu?
33
Ví dụ 11
• X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử
• Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này.
34
 3
20.000
100f x x
x
Ví dụ 12
• Nhu cầu hàng ngày của một loại thực phẩm tươi sống ở
1 khu vực là bnn rời rạc có ppxs:
• Giả sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và cửa hàng này
nhập mỗi ngày 100kg thực phẩm.
• Giá nhập là 40 ngàn/kg; bán ra là 60 ngàn/kg. Nếu thực
phẩm không bán được trong ngày thì phải bán với giá
20/kg ngàn mới hết hàng.
• Muốn có lãi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nên
nhập thêm 20kg mỗi ngày hay không
35
X 80 100 120 150
P 0,2 0,4 0,3 0,1
Ví dụ 13
• Cho bnn X có hàm mật độ:
• A) Kiểm tra lại tính hợp lý của PDF trên
• B) Tính E(X)
• Biến ngẫu nhiên X như trên gọi là có phân phối mũ
với tham số λ. Ký hiệu: X~E(λ)
36
 0xf x e x   
2/14/2019
7
Ví dụ 14
• Tính kỳ vọng của bnn X rời rạc có hàm mật độ:
37
 2 1 2 3
C
P X k p k k
k
 , , , ,...
Kỳ vọng của hàm của bnn
• Cho bnn X và hàm (x). Đặt Y= (X) là bnn
• Kỳ vọng toán học của Y:
38
𝐸 𝜑 𝑋 =
𝑖
𝜑 𝑥𝑖 𝑝 𝑥𝑖 , nếu X rời rạ𝑐
−∞
+∞
𝜑 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , nếu X liên tục
Ví dụ 15
• Xét hai bnn sau:
• So sánh E(X) và E(Y)
• Vẽ đồ thị và nhận xét về mức độ biến thiên của X,
Y
39
X 3 4 5
P 0,3 0,4 0,3
Y 1 2 6 8
P 0,4 0,1 0,3 0,2
Phương sai
• Định nghĩa. Phương sai (variance) của bnn X, ký
hiệu là V(X) được tính theo công thức:
• Rút gọn:
40
2
V X E X E X 
22V X E X E X 
Ý nghĩa của phương sai
• Phương sai đo độ dao động của các giá trị của X
xung quanh kỳ vọng toán E(X)
• Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của X
• Nếu X, Y cùng đơn vị, cùng ý nghĩa, V(X)>V(Y) thì:
– X biến động, dao động, phân tán hơn Y
– Y ổn định, đồng đều hơn X
• Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho sai số
của thiết bị. Trong kinh tế, phương sai đo độ rủi ro
của các quyết định.
41
Tính chất của phương sai
42
2/14/2019
8
Ví dụ 16
• Tiền lãi khi đầu tư 1 tỷ đồng vào các ngành A, B là
các bnn độc lập X, Y:
• Muốn lãi trung bình cao hơn thì đầu tư vào ngành
nào?
• Muốn rủi ro thấp hơn thì đầu tư vào ngành nào?
• Muốn rủi ro thấp nhất thì chia vốn đầu tư theo tỷ
lệ nào?
43
X 0 15 30
P 0,3 0,5 0,2
Y -2 15 35
P 0,2 0,45 0,35
Ví dụ 17
• Đầu tư a tỷ vào ngành A và b tỷ vào ngành B trong 1
tháng. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi
trong 1 tháng?
• Đầu tư 2 tỷ vào ngành A trong một tháng. Tìm trung
bình và phương sai của tiền lãi thu được.
• Mỗi tháng đầu tư vào ngành A 1 tỷ, độc lập nhau. Tìm
trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong 2
tháng. Tính xác suất tổng tiền lãi không dưới 50 triệu.
• Tìm xác suất đầu tư vào A được lãi cao hơn B?
44
X 0 15 30
P 0,3 0,5 0,2
Y -2 15 35
P 0,2 0,45 0,35
Độ lệch chuẩn
• Định nghĩa. Độ lệch chuẩn (standard deviation)
của bnn X, ký hiệu (X) hay X, là căn bậc hai của
phương sai.
• Độ lệch chuẩn cũng đo mức độ phân tán, dao
động của bnn X và có ý nghĩa tương tự phương
sai.
• Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với bnn X.
45
 X V X 
Ví dụ 18
46
Ví dụ 19
47
Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên
• Cho X là bnn có kỳ vọng  và độ lệch chuẩn >0.
• Đặt:
• Ta có:
• Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X.
48
X
Z


 0 1E Z V Z 
2/14/2019
9
Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫu nhiên
X (đơn vị: tháng) với PDF như sau:
• Tìm hằng số k?
• Xác định CDF?
• Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên.
49
 2 4 , 0 4f x kx x x 
Ví dụ 20 Hệ số biến thiên
• Định nghĩa. Hệ số biến thiên (coefficient of variation)
của X ký hiệu là CV(X) được tính theo công thức:
• Kí hiệu: CV(X).
• Hệ số biến thiên có đơn vị là %.
• Hệ số biến thiên đo độ phân tán tương đối.
• Có thể so sánh hệ số biến thiên của nhiều bnn khác
nhau, không cần cùng đơn vị, ý nghĩa, không có cùng
kỳ vọng.
50
 .100% 0XCV X E X
E X

Median (Trung vị)
• Định nghĩa. Trung vị của bnn X, ký hiệu MedX, me
là giá trị nằm ở chính giữa phân phối xác suất
• Nếu X rời rạc:
• Nếu X liên tục:
51
0,5
0,5
e
e
P X m
P X m
 0,5
em
f x dx
Mode X
• Định nghĩa. Mốt (mode) của bnn X, ký hiệu mo là
giá trị ứng với xác suất lớn nhất (X rời rạc) hoặc
hàm mật độ f(x) lớn nhất (X liên tục).
• BNN X có thể có 1 mod, nhiều mod hoặc không
có mod
• Nếu X rời rạc:
• Nếu X liên tục:
52
 0
x R
f m max f x
 0 i
i
P X m maxP x x 
Ví dụ 21
Cho bnn X
Ta có:
Vậy
53
X 1 2 3 4 5
P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25
X 1 2 3 4 5
F(X) 0,1 0,3 0,45 0,75 1
 4Med X Mod X 
Ví dụ 22
• Cho bnn X có hàm mật độ xác suất
• Tìm MedX và ModX?
54
 
3
2 ,0 2
4
0 , 0,2
x x x
f x
x
2/14/2019
10
Phân vị mức (1-𝛼) 
• Định nghĩa. Với bnn X liên tục, phân vị (percentile)
mức 1 − 𝛼 ký hiệu là 𝑥1−𝛼 là số thực thỏa mãn:
55
 1 1 P X x
Giá trị tới hạn
• Định nghĩa. Với bnn X liên tục, giá trị tới hạn
(critical value) mức 𝛼 (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) ký hiệu là 𝑥𝛼 là
số thực thỏa mãn:
56
 P X x 
 x
𝛼
Ví dụ 23
Tuổi thọ một loại côn trùng là X (tháng) có hàm mật
độ
a) Tìm hằng số k
b) Tìm Mod(X)
c) Tìm xác suất côn trùng chết trước khi nó được 1
tháng tuổi
57
  
 
2 4 , 0;4
0 , 0;4
kx x x
f x
x
Ví dụ 24
Cho bnn X có hàm mật độ
và E(X)=0,6; V(X)=0,06
a) Tìm a,b,c?
b) Đặt Y=X3. Tính E(Y)
58
 
 
2 , 0;1
0 , 0;1
ax bx c x
f x
x
Ví dụ 25
• Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số
cuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm về loại
sách này như sau:
• Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bán ra
với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối năm phải
hạ giá với giá 5USD một cuốn.
59
Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33
P 0,3 0,15 0,3 0,25
Ví dụ 25
• Nếu nhập về 32 cuốn thì lợi nhuận bán được
trung bình là bao nhiêu?
• Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kì vọng
là lớn nhất.
60
Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33
P 0,3 0,15 0,3 0,25
2/14/2019
11
Bài tập chương 2
• 2.1; 2.2; 2.6; 2.7; 2.9;
• 2.10; 2.11; 2.14; 2.15; 2.17;
• 2.18; 2.10; 2.23; 2.24; 2.25
• 2.26; 2.27; 2.30; 2.31; 2.32
• 2.33; 2.34; 2.37
• Tất cả 23 bài.
61
Anscombe's quartet
62
Anscombe's quartet
I II III IV
x y x y x y x y
10.0 8.04 10.0 9.14 10.0 7.46 8.0 6.58
8.0 6.95 8.0 8.14 8.0 6.77 8.0 5.76
13.0 7.58 13.0 8.74 13.0 12.74 8.0 7.71
9.0 8.81 9.0 8.77 9.0 7.11 8.0 8.84
11.0 8.33 11.0 9.26 11.0 7.81 8.0 8.47
14.0 9.96 14.0 8.10 14.0 8.84 8.0 7.04
6.0 7.24 6.0 6.13 6.0 6.08 8.0 5.25
4.0 4.26 4.0 3.10 4.0 5.39 19.0 12.50
12.0 10.84 12.0 9.13 12.0 8.15 8.0 5.56
7.0 4.82 7.0 7.26 7.0 6.42 8.0 7.91
5.0 5.68 5.0 4.74 5.0 5.73 8.0 6.89
Anscombe's quartet
63
Anscombe's quartet
64
Property Value Accuracy
Mean of x 9 exact
Sample variance of x 11 exact
Mean of y 7.50 to 2 decimal places
Sample variance of y 4.125 ±0.003
Correlation between x and y 0.816 to 3 decimal places
Linear regression line y = 3.00 + 0.500x to 2 and 3 decimal places, respectively
Coefficient of 
determination of the linear 
regression
0.67 to 2 decimal places