Xác định miền tần số dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng bằng phương pháp thực nghiệm

Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 514-525 
514 
Transport and Communications Science Journal 
DETERMINATION OF NATURAL FREQUENCY DOMAIN OF 
FREE VIBRATION OF A BEAM WITH AN ANISOTROPIC 
RESTRAINT THROUGH EXPERIMENT 
Do Xuan Quy1*, Luong Xuan Binh1, 
Hoang Van Tuan1, Ta Thi Hien1, Vu Thi Nga1 
1University of Transport and Communications, No 3 Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam. 
ARTICLE INFO 
TYPE: Research Article 
Received: 15/4/2020 
Revised: 3/5/2020 
Accepted: 12/5/2020 
Published online: 28/6/2020 
https://doi.org/10.25073/tcsj.71.5.5 
* Corresponding author 
Email: quysbvl@utc.edu.vn; Tel: 0989556088 
Abstract. Structures with anisotropic restraints are quite commonly used in civil engineering, 
for instance, beams or plates resting on elastic foundations, tunnel shells and cable structures. 
A dominant feature of these structures is that the reaction force of the restraint is changed 
depending on the value and direction of the displacement at the restraint point. This feature 
leads to the changes in the analytical model, replying virtually on the value of time-varying 
loads at a specific moment acting on the structures during serviceability. Therefore, the 
natural period of a beam with the anisotropic restraints is not a constant in comparison with 
the conventional one without the isotropic restraints. The natural period varies according to 
the working states of the beam. This paper presents some results of the experimental work 
to determine a natural frequency domain of the beam with an anisotropic restraint. 
Keywords: Nonlinear restraints, anisotropic restraints, experiment, finite element, dynamic 
response, natural frequency. 
© 2020 University of Transport and Communications 
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 514-525 
515 
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải 
XÁC ĐỊNH MIỀN TẦN SỐ DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM CÓ 
LIÊN KẾT DỊ HƯỚNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM 
Đỗ Xuân Quý1*, Lương Xuân Bính1, 
Hoàng Văn Tuấn1, Tạ Thị Hiền1, Vũ Thị Nga1 
1Trường Đại học Giao thông vận tải, Số 3 Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam. 
THÔNG TIN BÀI BÁO 
CHUYÊN MỤC: Công trình khoa học 
Ngày nhận bài: 15/4/2020 
Ngày nhận bài sửa: 3/5/2020 
Ngày chấp nhận đăng: 12/5/2020 
Ngày xuất bản Online: 28/6/2020 
https://doi.org/10.25073/tcsj.71.5.5 
* Tác giả liên hệ 
Email: quysbvl@utc.edu.vn; Tel: 0989556088 
Tóm tắt. Trong các kết cấu kỹ thuật công trình, kết cấu có liên kết dị hướng được sử dụng 
khá phổ biến như: kết cấu dầm hoặc tấm trên nền đần hồi, kết cấu vỏ hầm tựa vào nền, kết 
cấu dây, Đặc điểm làm việc của loại kết cấu này là phản lực liên kết thay đổi theo độ lớn 
cũng như chiều của chuyển vị của điểm tựa gối liên kết. Điều này dẫn đến sơ đồ tính của hệ 
thay đổi theo độ lớn của tải trọng tại từng thời điểm trong quá trình chịu tải. Do đó thời gian 
để dầm có liên kết dị hướng thực hiện một dao động tự do sẽ không còn là đại lượng bất biến 
như đối với dầm có liên kết thông thường mà nó thay đổi theo trạng thái làm việc của dầm. 
Trong bài báo này, tác giả trình bày một số kết quả nghiên cứu thực nghiệm xác định miền 
tần số dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng. 
Từ khóa: Liên kết phi tuyến, liên kết dị hướng, thực nghiệm, phần tử hữu hạn, ứng xử động, 
tần số dao động. 
© 2020 Trường Đại học Giao thông vận tải 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Các nghiên cứu về dầm có liên kết dị hướng chịu tác dụng của tải trọng động còn ít và chưa 
được đa dạng. Gần đây có: Nguyễn Xuân Đại [1], phân tích ứng xử động lực học kết cấu đường 
sắt không Ballast qua mô hình một và hai bậc tự do, trong đó các thành phần đế cao su, đệm tà 
vẹt, đệm ray đều được mô hình giống như các lò xo hai chiều có thêm thành phần cản nhớt 
Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 514-525 
516 
tham gia vào; Z. Celep và các cộng sự [2], tính tác dụng động của dầm dài hữu hạn trên nền dị 
hướng một chiều; Lin Lin và cộng sự [3], tính dầm trền nền đàn hồi chịu tác dụng của tải trọng 
di động bằng phương pháp giải tích có kể đến sự tách đáy dầm khỏi nền đàn hồi; Diego Froio 
và các cộng sự [4], phân tích dầm trên nền phi tuyến, dưới tác dụng của tải trọng thay đổi theo 
thời gian di động; P. Castro Jorge và các cộng sự [5], tính tác dụng của dầm hai đầu liên kết 
khớp trên nền đàn hồi, chịu tác dụng của tải trọng không đổi di động với mô hình nền Winkler, 
nền một chiều và nền phi tuyến bậc 3; Cristiano Viei Rodrigues [6], phân tích dầm trên nền phi 
tuyến, chịu tác dụng của bộ dao động di động bằng phương pháp phần tử hữu hạn; D. Froio và 
các cộng sự [7], phương pháp số tính dầm giản đơn trên nền phi tuyến bậc 3, dưới tác dụng của 
tải trọng thay đổi theo thời gian di động; S.M. Abdelghany và các cộng sự [8], ứng xử của dầm 
trên nền phi tuyến, chịu tác dụng của tải trọng di động bằng phương pháp Galerkin và Runge-
Kutta; Salih N Akour [9], Phân tích động dầm trên nền phi tuyến chịu tác dụng của tải trọng 
điều hòa phân bố trên bề mặt dầm, sử dụng phương pháp Runge-Kutta để giải toán; Đỗ Xuân 
Quý và các cộng sự [10], nghiên cứu ứng xử cơ học của thanh có liên kết dị hướng chịu tác 
dụng của tải trọng động; Đỗ Xuân Quý và các cộng sự [11], nghiên cứu thực nghiệm ứng xử 
của có liên kết dị hướng chịu tác dụng của tải trọng động. Các nghiên cứu chủ yếu tập trung 
vào phân tích lý thuyết từng trường hợp chịu lực cụ thể của dầm có liên kết dị hướng. 
Đối với kết cấu có liên kết thông thường, trong một mode dao động, tần số dao động riêng 
của kết cấu có giá trị không đổi. Nhưng đối với kết cấu dầm có liên kết dị hướng do tính chất 
thay đổi sơ đồ làm việc theo trạng thái chuyển vị [10] nên trong một mode dao động, tần số dao 
động tự do của dầm thay đổi theo trạng thái chuyển vị của dầm. Trong quá trình nghiên cứu về 
loại kết cấu này, nhóm tác giả phát hiện ra tần số dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng 
trong một mode dao động có giá trị thay đổi nhưng các giá trị đó chỉ nằm trong một khoảng 
giới hạn, tập hợp các giá trị này được gọi là miền tần số dao động tự do của dầm có liên kết dị 
hướng. 
Trong bài báo này, nhóm tác giả giới thiệu một thí nghiệm và kết quả xác định miền tần số 
dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng trong mode dao động thứ nhất. 
2. LIÊN KẾT DỊ HƯỚNG [12] 
Trong bài toán cơ học, một liên kết nào đó có thể phân tích thành tổ hợp của một hay nhiều 
liên kết đơn theo các phương khác nhau. Ở đây, khái niệm liên kết dị hướng được mô tả cho 
một liên kết đơn như vậy. 
Hình 1. Mô hình liên kết dị hướng. 
Liên kết dị hướng là loại liên kết mà theo một phương chịu lực, tính chất cơ học của liên 
kết khác nhau theo hai chiều của chuyển vị điểm liên kết. Quan hệ giữa phản lực liên kết và 
 
 O 
k+ 
  k
- 
a) 
 
 O 
kn 
ki+1 
 a1 a2 ai- ai ai+1 
Nan+1 
Nai+
1 
 an+1 
 0 
Nai 
ki 
k
k
2 
Nai-1 
Na2 
Na1 
b) c) 
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 514-525 
517 
chuyển vị của điểm liên kết được thể hiện trên hình 1 và công thức (1), công thức (2). 
Hình 1a làm mô hình liên kết dị hướng có độ cứng thay đổi khi đổi chiều của chuyển vị 
điểm liên kết. Hình 1b là mô hình liên kết dị hướng nhiều lần tuyến tính. Hình 1c là ký hiệu 
liên kết dị hướng. 
Quan hệ toán học giữa phản lực liên kết và chuyển vị của điểm liên kết được mô tả: 
- Liên kết dị hướng (tương ứng với hình 1a): 
N = 
k++ k-
2
(∆ - ∆0) -
k+- k-
2
|∆ - ∆0|. 
- Liên kết dị hướng nhiều lần tuyến tính (tương ứng với hình 1b): 
N = Nai + ki(∆ - ∆ai) 𝑣ớ𝑖 ∆ai≤ ∆ ≤∆ai+1 . 
Trong đó: 
N là phản lực liên kết; 
 là chuyển vị của điểm liên kết; 
 0 là độ lệch ban đầu của liên kết; 
k+, k- là độ cứng của liên kết ứng với chuyển vị dương và chuyển vị âm của điểm liên kết; 
 ai là các độ lệch (so với gốc tọa độ) của điểm đầu đoạn tuyến tính thứ i; 
ki là độ cứng của liên kết ứng với đoạn tuyến tính thứ i; 
Nai là phản lực liên kết ứng với chuyển vị điểm liên kết ai. 
3. MÔ HÌNH THÍ NGHIỆM 
Hình 2 là hình ảnh của mô hình thí nghiệm ứng xử động của dầm có liên kết dị hướng. 
Dầm làm bằng thép có mô đun đàn hồi E = 2.1011 N/m2, có khối lượng riêng = 7830 kg/m3, 
có chiều dài L = 0,778 m, có mặt cắt ngang dạng chữ nhật với chiều rộng b = 39,650.10-3 m và 
chiều cao h = 8,300.10-3 m. Tại mặt cắt cách ngàm 0,230 m bố trí thiết bị đo chuyển vị động 
của dầm theo thời gian. Tại mặt cắt cách ngàm 0,590 m được đặt một lò xo có độ cứng bằng 
3094,395 N/m, khe hở giữa đáy dầm và đỉnh lò xo là 0,004 m, mặt cắt đầu tự do được đặt một 
động cơ có trọng lượng Q = 13,734 N và khối lượng lệch tâm m = 13,350.10-3kg với bán kính 
lệch tâm r = 0,045 m. 
Hình 2. Mô hình thí nghiệm dầm có liên kết dị hướng. 
Trong đó: 1 - Bệ đỡ dầm, 2 – Dầm, 3 – Đầu đo chuyển vị động, 4 – Lò xo, 5 – Động cơ, 
(1) 
(2) 
Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 514-525 
518 
6 – Bộ điều chỉnh tốc độ động cơ, 7 – Máy động SDA 830C, 8 – Cáp chuyển tín hiệu từ đầu đo 
chuyển vị vào máy SDA 830C, 9 – Máy tính kết nối với máy động SDA 830C để lấy dữ liệu 
đo được. 
Kích thích cho dầm dao động, đỉnh lò xo và đáy dầm sẽ tiếp xúc với nhau khi dầm chuyển 
vị xuống dưới quá 0,004m và tách xa nhau khi dầm chuyển vị ngược lại. Lò xo lúc đó làm việc 
như một liên kết dị hướng có quan hệ giữa phản lực liên kết và chuyển vị điểm liên kết như 
công thức (1) với các thông số: độ cứng chuyển vị dương k+ = 3094,395 N/m, độ cứng chuyển 
vị âm k- = 0, độ lệch ban đầu 0 = -0,004 m. 
Theo [10], dầm có liên kết dị hướng sẽ dao động (trong môi trường không có lực cản) với 
các tần số khác nhau ứng với chuyển vị ban đầu khác nhau. Để xác định được tần số dao động 
tự do của dầm có liên kết dị hướng bằng thực nghiệm, tác giả thực hiện kích thích cho dầm dao 
động, dùng thiết bị đo dao động để đo được dao động của dầm theo thời gian. Sau đó sử dụng 
hàm FFT được cung cấp trong Matlab để chuyển đổi dao động từ miền thời gian sang miền tần 
số. Từ biểu đồ dao động biểu diễn trong miền tần số, tác giả xác định được tần số dao dộng tự 
do của dầm. 
Và cũng theo [10], chu kỳ dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng thay đổi trong 
một miền xác định, cũng có nghĩa là tần số dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng là một 
miền xác định. Để xác định được tần số dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng, tác giả 
kích thích cho dầm dao động ở các chuyển vị ban đầu khác nhau (trường hợp môi trường không 
có lực cản), thu được tập hợp các giá trị tần số dao động tự do, gọi là miền tần số dao động tự 
do của dầm có liên kết dị hướng. Do công tác thực nghiệm được thực hiện trên dầm thực, dao 
động trong không khí nên dao động của hệ bị cản trở do ma sát với không khí, do tính nhớt của 
vật liệu làm dầm. Năng lượng dao động của hệ nói chung, chuyển vị của hệ nói riêng bị giảm 
dần theo thời gian dẫn đến tần số dao động tự do của dầm thí nghiệm bị thay đổi. Theo đó, khi 
kích thích cho dầm thí nghiệm một chuyển vị ban đầu thật lớn, sau một khoảng thời gian đủ lớn 
dao động của hệ cũng sẽ bị tắt, thiết bị sẽ đo được dao động của hệ ở tất cả các chuyển vị khác 
nhau, chuyển biểu diễn sang miền tần số sẽ ghi nhận được miền tần số dao động tự do của dầm 
có liên kết dị hướng. 
Tuy nhiên do việc đo dao động của hệ là ghi nhận các số liệu rời rạc ở các thời điểm khác 
nhau, kết hợp với việc xử lý số khi chuyển biểu diễn dao động từ miền thời gian sang miền tần 
số dẫn đến sau mỗi lần thí nghiệm chỉ có thể xác định được một số tần số dao động tự do đặc 
trưng của dầm. Vì vậy, để tìm được miền tần số dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng, 
tác giả thực hiện một số thí nghiệm với các kích thích ban đầu khác nhau, miền tần số dao động 
tự do của hệ được coi là miền liên tục chứa tất cả các giá trị tần số dao động tự do thu được ở 
tất cả các lần thí nghiệm. 
4. KẾT QUẢ THÍ NGHIỆM 
Các kịch bản thí nghiệm được thực hiện: 
- Xác định tần số dao động tự do của dầm không có liên kết dị hướng; 
- Xác định miền tần số dao động tự do của dầm bằng cách cho dầm dao động với các kích 
thích khác nhau ở đầu tự do của dầm; 
- Thí nghiệm ứng xử động của dầm có liên kết dị hướng khi chịu kích thích của lực có 
tần số nằm trong, nằm ngoài miền tần số dao động tự do. 
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 514-525 
519 
4.1. Xác định tần số dao động tự do của dầm thí nghiệm khi không có liên kết dị hướng 
- Để chứng tỏ phương pháp xác định tần số dao động tự do của dầm bằng thực nghiệm là 
đang tin cậy, tác giả thực hiện xác định tần số dao động tự do của dầm thí nghiệm như trên hình 
2 trong trường hợp không có lò xo 4. Khi không có lò xo 4 ở phía dưới, dầm thí nghiệm 2 làm 
việc như một dầm có liên kết thông thường. Tần số dao động tự do xác định được từ thí nghiệm 
sẽ được so sánh với kết quả phân tích số để thấy được độ tin cậy của phương pháp xác định tần 
số dao động tự do của dầm mà tác giả kiến nghị. 
- Xác định tần số dao động tự do của dầm thí nghiệm khi không có lò xo 4 bằng thực 
nghiệm: 
Trình tự xác định tần số dao động tự do của dầm được tác giả thực hiện như sau: 
+ Đo dao động của dầm khi cho một kích thích bất kỳ như hình 3.a; 
+ Dùng hàm FFT trong Matlab chuyển dao động đo được sang miền tần số như hình 3.b; 
+ Xác định tần số dao động tự do của dầm. 
Kết quả xác định tần số dao động tự do của dầm bằng phương pháp thực nghiệm được 
thể hiện trong hình 3. Hình 3.a là biểu đồ dao động của hệ theo thời gian, cho thấy biên độ dao 
động của dầm giảm dần theo thời gian do hệ dao động trong môi trường có lực cản. Tuy vậy, 
dầm thí nghiệm là một hệ đàn hồi tuyến tính nên tần số dao động tự do của hệ không đổi sau 
mỗi chu kỳ dao động. Hình 3.b là biểu đồ dao động của hệ trong miền tần số, cho thấy tần số 
dao động tự do của dầm thí nghiệm là fTN = 5,7 Hz. 
Hình 3. Kết quả đo dao động tự do của dầm có liên kết thông thường. 
- Xác định tần số dao động dầm thí nghiệm bằng phương pháp phần tử hữu hạn 
Theo [13], tần số dao động tự do của dầm thí nghiệm được xác định bằng cách giải phương 
trình trị riêng (3). 
|[𝐾] − 𝜔2[𝑀]| = 0. 
Trong đó: [K] – ma trận độ cứng tổng thể rút gọn của hệ; [M] – ma trận khối lượng tổng thể 
rút gọn của hệ;  – tần số góc của hệ. 
Dầm thí nghiệm được chia thành 1 phần tử, các thông số của dầm thí nghiệm được đưa 
vào phương trình (3), và biến đổi được phương trình (4). 
-4.0E-03
-3.0E-03
-2.0E-03
-1.0E-03
0.0E+00
1.0E-03
2.0E-03
3.0E-03
0 5 10 15 20
a) Dao động của dầm không có liên kết dị hướng theo 
thời gian
Đ
ộ
v
õ
n
g
 (
m
)
Thời gian (s)
-2.0E-04
0.0E+00
2.0E-04
4.0E-04
6.0E-04
8.0E-04
1.0E-03
0 2 4 6 8 10
b) Dao động của dầm không có liên kết dị hướng trong 
miền tần số
B
iê
n
đ
ộ
 (
m
)
Tần số (Hz)
f = 5,7 Hz
(3) 
Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 514-525 
520 
18,264. 10−3𝜔4 – 3691,566 𝜔2 + 4676439,228 = 0. 
Phương trình (4) có bốn nghiệm: 1,2 = ±35,7 ... động tự 
do được mở rộng hơn (bảng 1). Nguyên nhân là do khi chuyển vị ban đầu của đầu tự do dầm 
nhỏ, dẫn đến sự thay đổi chuyển vị của dầm là nhỏ trong cả quá trình dao động, kéo theo sự 
thay đổi về tần số dao động tự do của hệ nhỏ. Kết quả là chỉ tìm được một tần số dao động tự 
do như trường hợp hình 4, miền tần số dao động tự do nhỏ như trường hợp hình 5. Ngược lại, 
khi chuyển vị ban đầu của đầu tự do dầm lớn như hình 9, miền tần số dao động tự do lớn hơn 
rất nhiều. 
 Hình 4. Kết quả đo dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng với chuyển vị ban đầu ở đầu 
tự do dầm bằng 1cm. 
-1.5E-03
-1.0E-03
-5.0E-04
0.0E+00
5.0E-04
1.0E-03
1.5E-03
2.0E-03
0 5 10 15 20
a) Dao động của dầm theo thời gian khi khe hở giữa dầm và 
lò xo bằng 0,4 cm và chuyển vị ban đầu ở đầu tự do dầm 
bằng 1cm
Đ
ộ
v
õ
n
g
 (
m
)
Thời gian (s)
-5.0E-05
0.0E+00
5.0E-05
1.0E-04
1.5E-04
2.0E-04
2.5E-04
3.0E-04
3.5E-04
0 2 4 6 8 10
b) Dao động của dầm trong miền tần số khi khe hở giữa dầm 
và lò xo bằng 0,4 cm và chuyển vị ban đầu ở đầu tự do của 
dầm bằng 1cm
B
iê
n
đ
ộ
 (
m
)
Tần số (Hz)
f = 5,659Hz
(4) 
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 514-525 
521 
Hình 5. Kết quả đo dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng với chuyển vị ban đầu ở đầu tự 
do dầm bằng 1,5cm. 
Hình 6. Kết quả đo dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng với chuyển vị ban đầu ở đầu tự 
do dầm bằng 2 cm. 
Hình 7. Kết quả đo dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng với chuyển vị ban đầu ở đầu tự 
do dầm bằng 2,5cm. 
-1.5E-03
-1.0E-03
-5.0E-04
0.0E+00
5.0E-04
1.0E-03
1.5E-03
2.0E-03
2.5E-03
0 5 10 15 20
a) Dao động của dầm theo thời gian khi khe hở giữa dầm và 
lò xo bằng 0,4 cm và chuyển vị ban đầu ở đầu tự do dầm 
bằng 1,5cm
Đ
ộ
v
õ
n
g
 (
m
)
Thời gian (s)
0.0E+00
5.0E-05
1.0E-04
1.5E-04
2.0E-04
2.5E-04
3.0E-04
3.5E-04
0 2 4 6 8 10
b) Dao động của dầm trong miền tần số khi khe hở giữa dầm 
và lò xo bằng 0,4 cm và chuyển vị ban đầu ở đầu tự do của 
dầm bằng 1,5cm
B
iê
n
đ
ộ
 (
m
)
Tần số (Hz)
f1 = 5,698Hz
f2 = 5,814Hz
f3 = 6,163Hz
-2.0E-03
-1.5E-03
-1.0E-03
-5.0E-04
0.0E+00
5.0E-04
1.0E-03
1.5E-03
2.0E-03
2.5E-03
3.0E-03
0 5 10 15 20
a) Dao động của dầm theo thời gian khi khe hở giữa dầm và 
lò xo bằng 0,4 cm và chuyển vị ban đầu ở đầu tự do dầm 
bằng 2cm
Đ
ộ
v
õ
n
g
 (
m
)
Thời gian (s)
-5.0E-05
0.0E+00
5.0E-05
1.0E-04
1.5E-04
2.0E-04
2.5E-04
3.0E-04
3.5E-04
0 2 4 6 8 10
b) Dao động của dầm trong miền tần số khi khe hở giữa dầm 
và lò xo bằng 0,4 cm và chuyển vị ban đầu ở đầu tự do của 
dầm bằng 2cm
B
iê
n
đ
ộ
 (
m
)
Tần số (Hz)
f1 = 5,676Hz
f2 = 6,000Hz
f3 = 6,216Hz
f4 = 6,541Hz
-2.0E-03
-1.0E-03
0.0E+00
1.0E-03
2.0E-03
3.0E-03
4.0E-03
0 5 10 15 20
a) Dao động của dầm theo thời gian khi khe hở giữa dầm và 
lò xo bằng 0,4 cm và chuyển vị ban đầu ở đầu tự do dầm 
bằng 2,5cm
Đ
ộ
v
õ
n
g
 (
m
)
Thời gian (s)
0.0E+00
5.0E-05
1.0E-04
1.5E-04
2.0E-04
2.5E-04
3.0E-04
0 2 4 6 8 10
b) Dao động của dầm trong miền tần số khi khe hở giữa dầm 
và lò xo bằng 0,4 cm và chuyển vị ban đầu ở đầu tự do của 
dầm bằng 2,5cm
B
iê
n
đ
ộ
 (
m
)
Tần số (Hz)
f1 = 5,679Hz
f2 = 5,926Hz
f4 = 6,296Hz
f5 = 6,667Hz
f3 = 6,111Hz
Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 514-525 
522 
Hình 8. Kết quả đo dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng với chuyển vị ban đầu ở đầu tự 
do dầm bằng 3cm. 
Hình 9. Kết quả đo dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng với chuyển vị ban đầu ở đầu tự 
do dầm bằng 3,5cm. 
Hình 10. Biểu đồ biểu diễn sự thay đổi của biên trên miền tần số dao động tự do của hệ theo độ 
lớn của chuyển vị ban đầu ở đầu tự do dầm. 
-2.0E-03
-1.0E-03
0.0E+00
1.0E-03
2.0E-03
3.0E-03
4.0E-03
5.0E-03
0 5 10 15 20
a) Dao động của dầm theo thời gian khi khe hở giữa dầm và 
lò xo bằng 0,4 cm và chuyển vị ban đầu ở đầu tự do dầm 
bằng 3cm
Đ
ộ
v
õ
n
g
 (
m
)
Thời gian (s)
0.0E+00
5.0E-05
1.0E-04
1.5E-04
2.0E-04
2.5E-04
3.0E-04
0 2 4 6 8 10
b) Dao động của dầm trong miền tần số khi khe hở giữa dầm 
và lò xo bằng 0,4 cm và chuyển vị ban đầu ở đầu tự do của 
dầm bằng 3cm
B
iê
n
đ
ộ
 (
m
)
Tần số (Hz)
f1 = 5,657Hz
f2 = 5,943Hz
f4 = 6,229Hz
f5 = 6,457Hz
f3 = 6,057Hz
f6 = 6,857Hz
-3.0E-03
-2.0E-03
-1.0E-03
0.0E+00
1.0E-03
2.0E-03
3.0E-03
4.0E-03
5.0E-03
6.0E-03
0 5 10 15 20
a) Dao động của dầm theo thời gian khi khe hở giữa dầm và 
lò xo bằng 0,4 cm và chuyển vị ban đầu ở đầu tự do dầm 
bằng 3,5cm
Đ
ộ
v
õ
n
g
 (
m
)
Thời gian (s)
0.0E+00
5.0E-05
1.0E-04
1.5E-04
2.0E-04
2.5E-04
3.0E-04
3.5E-04
4.0E-04
0 2 4 6 8 10
b) Dao động của dầm trong miền tần số khi khe hở giữa dầm 
và lò xo bằng 0,4 cm và chuyển vị ban đầu ở đầu tự do của 
dầm bằng 3,5cm
B
iê
n
đ
ộ
 (
m
)
Tần số (Hz)
f1 = 5,688Hz
f2 = 5,875Hz
f4 = 6,188Hz
f5 = 6,313Hz
f3 = 6,000Hz
f6 = 6,563Hz
f7 = 6,875Hz
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 1.5 2 2.5 3 3.5
Sự thay đổi biên trên miền tần dao động tự do của hệ 
theo chuyển vị ban đầu ở đầu tự do dầm
B
iê
n
 t
rê
n
 m
iề
n
 t
ần
 s
ố
 d
ao
 đ
ộ
n
g
 t
ự
 d
o
 c
ủ
a 
h
ệ 
(H
z)
Chuyển vị ban đầu ở đầu tự do dầm (cm)
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 514-525 
523 
Bảng 1. Kết quả xác định miền tần số dao động tự do của hệ bằng thực nghiệm. 
Độ rộng của miền tần số dao động tự do của dầm tăng theo chiều tăng của chuyển vị ban 
đầu của đầu tự do dầm nhưng nó cũng có giới hạn. Biên dưới của miền tần số dao động tự do 
gần như không đổi giữa các lần thí nghiệm, sai số lớn nhất chỉ là 0,689% (bảng 1). Biên trên 
của nó có tốc độ tăng giảm dần, có xu thế tiệm cận với một giá trị không đổi (hình 10). Khi biên 
trên của miền tần số dao động tự do đạt đến trị số không đổi, miền giá trị thu được là miền tần 
số dao động tự do của hệ. Trên hình 10 và bảng 1 cho thấy ở hai lần thí nghiệm với chuyển vị 
ban đầu của đầu tự do dầm là 3 cm và 3,5 cm, biên trên của miền tần số dao động tự do xác 
định được có chênh lệch chỉ còn 0,263%. 
Như vậy, miền tần số dao động tự do của hệ tìm được là từ 5,688 Hz đến 6,875 Hz. 
4.3. Ứng xử của dầm có liên kết dị hướng khi chịu tác dụng của lực kích có tần số nằm 
trong, ngoài miền tần số dao động tự do 
Từ kết quả nghiên cứu ở trên, tác giả thu được miền tần số dao động tự do của dầm thí 
nghiệm là từ 5,688 Hz đến 6,875 Hz. Để kiểm nghiệm ứng xử của dầm thí nghiệm dưới tác 
dụng của tải trọng kích thích có tần số nằm trong và ngoài miền tần số dao động riêng của hệ, 
tác giả cho động cơ được gắn ở đầu tự do của dầm quay với các tần số f = 5 Hz và 6,25 Hz. Kết 
quả thực nghiệm được thể hiện trong hình 11 và hình 12. 
Hình 11 cho thấy, khi tần số của lực kích thích (tốc độ của động cơ) nằm ngoài miền tần 
số dao động tự do của dầm, không xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Biên độ dao động của dầm 
không có sự tăng lên sau mỗi chu kỳ dao động. Hình 11.b cho thấy độ lớn của biên độ dao động 
có được chủ yếu là do lực kích thích. 
Hình 11. Dao động của dầm thí nghiệm khi chịu tác dụng của lực kích thích có tần số nằm ngoài 
miền tần số dao động tự do của nó. 
1 1,5 2 2,5 3 3,5
Trị số (Hz) 5,659 6,163 6,541 6,667 6,857 6,875
 (%) 8,906 6,133 1,926 2,85 0,263
Trị số (Hz) 5,659 5,698 5,676 5,679 5,657 5,688
 (%) 0,689 0,386 0,053 0,387 0,548
Biên trên
Biên dưới
Các trường hợp thí nghiệm có chuyển vị ban đầu ở đầu dầm tự do dầm 
khác nhau (cm)Miền tần số
-2.0E-04
-1.5E-04
-1.0E-04
-5.0E-05
0.0E+00
5.0E-05
1.0E-04
1.5E-04
2.0E-04
0 10 20 30 40
a) Dao động của dầm thí nghiệm theo thời gian khi cho cho 
động cơ quay với tần số f = 5 Hz.
Đ
ộ
v
õ
n
g
 (
m
)
Thời gian (s)
-1.0E-05
0.0E+00
1.0E-05
2.0E-05
3.0E-05
4.0E-05
5.0E-05
6.0E-05
7.0E-05
8.0E-05
0 2 4 6 8 10
b) Dao động của dầm thí nghiệm trong miền tần số khi cho 
động cơ quay với tần số f = 5 Hz.
B
iê
n
đ
ộ
 (
m
)
Tần số (Hz)
Tần số lực kích 
thích f = 4,971Hz
Miền tần số dao 
động tự do của hệ
Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 514-525 
524 
Hình 12. Dao động của dầm thí nghiệm khi chịu tác dụng của lực kích thích có tần số nằm trong 
miền tần số dao động tự do của nó. 
Hình 12 là trường hợp động cơ được quay với tần số f = 6,25 Hz, nằm trong miền tần số 
dao động tự do của dầm thí nghiệm. Trên hình cho thấy dao động của dầm thí nghiệm đã xảy 
ra hiện tưởng cộng hưởng. Tuy nhiên so với kết cấu thông thường có sự khác biệt lớn, đối với 
dầm có liên kết thông thường chỉ xảy ra hiện tưởng cộng hưởng khi tần số lực kích thích bằng 
tầnsố dao động riêng của hệ, khi chuyển sang miền tần số thì biên độ dao động lớn nhất sẽ ứng 
với dao động có tần số bằng tần số của lực kích thích, biên độ của của dao động cũng liên tục 
tăng cho đến khi tác dụng tăng biên độ của lực kích thích bằng tiêu hao do lực cản của hệ. 
Ngược lại với kết cấu dầm có liên kết dị hướng, ngay khi xảy ra cộng hưởng biên độ dao động 
của hệ bị tăng lên, ngay khi đó tần số dao động tự do của hệ bị thay đổi, mất hiện tượng cộng 
hưởng, tác dụng tăng biên độ do lực kích thích bị giảm, dẫn đến biên độ dao động của dầm tăng 
giảm lặp đi lặp lại như hình 12.a và khi chuyển sang miền tần số thì dao động có biên độ lớn 
nhất có tần số không bằng tần số lực kích thích. 
Như vậy, một lần nữa có thể khẳng định rằng dầm có liên kết dị hướng có tần số dao động 
tự do thay đổi nằm trong một miền giá trị gọi là miền tần số dao động tự do của hệ. Và hệ xảy 
ra hiện tượng cộng hưởng khi tần số lực kích thích bằng tần số dao động tự do của hệ. Sự cộng 
hưởng tự mất đi sau một khoảng thời gian ngắn do kết cấu tự thay đổi tần số dao động tự do 
của nó. 
5. KẾT LUẬN 
- Tác giả đã xây dựng được mô hình thí nghiệm ứng xử động của dầm có liên kết dị 
hướng. 
- Tác giả đã giới thiệu phương pháp cũng như kết quả xác định miền tần số dao động tự 
do của dầm có liên kết dị hướng. 
- Thông qua thí nghiệm tác giả đã chứng tỏ tính hợp lý của một kết luận mà tác giả đã 
nghiên cứu ở phương diện lý thuyết được công bố trong [14]: 
+ Tần số dao động tự do của dầm có liên kết dị hướng phụ thuộc vào chuyển vị ban đầu 
gây ra cho dầm dao động trong môi trường không có cản (cũng đồng nghĩa với biên độ hay 
năng lượng dao động); 
+ Tập hợp các giá trị tần số dao động tự do của dầm trong một mode dao động là một 
miền giá trị được gọi là miền tần số dao động tự do của hệ; 
-3.0E-03
-2.0E-03
-1.0E-03
0.0E+00
1.0E-03
2.0E-03
3.0E-03
0 10 20 30 40
a) Dao động của dầm thí nghiệm theo thời gian khi cho cho 
động cơ quay với tần số f = 6,25 Hz.
Đ
ộ
v
õ
n
g
 (
m
)
Thời gian (s)
-1.0E-04
0.0E+00
1.0E-04
2.0E-04
3.0E-04
4.0E-04
5.0E-04
6.0E-04
7.0E-04
8.0E-04
9.0E-04
0 2 4 6 8 10
b) Dao động của dầm thí nghiệm trong miền tần số khi cho 
động cơ quay với tần số f = 6,25 Hz.
B
iê
n
đ
ộ
 (
m
)
Tần số (Hz)
Xảy ra cộng hưởng 
tức thời f = 6,25 
Miền tần số dao 
động tự do của hệ
Biên độ dao động 
lớn nhất f = 6,45 
Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 514-525 
525 
+ Dầm có liên kết dị hướng chỉ bị cộng hưởng khi chịu tác dụng của lực kích thích có tần 
số bằng tần số dao động tự do của hệ và sự cộng hưởng tự mất đi sau một khoảng thời gian 
ngắn do kết cấu tự thay đổi tần số dao động tự do của nó. 
LỜI CẢM ƠN 
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường đại học Giao thông vận tải trong đề tài mã số 
T2019-CT-019. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô Bộ môn Sức bền vật liệu đã tư vấn 
về mặt khoa học và hỗ trợ công tác thí nghiệm trong quá trình thực hiện đề tài. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Nguyễn Xuân Đại, Phân tích ứng xử động lực học kết cấu đường sắt không Ballat qua mô hình 1 và 
2 bậc tự do, Tạp chí KHCN Xây dựng(2), 2014, tr. 10-18. 
[2]. Z. Celep, K. Güler và F. Demir, Response of a completely free beam on a tensionless Pasternak 
foundation subjected to dynamic load, Structural Engineering and Mechanics. 37(1), 2011, pp. 61-77. 
[3]. Lin Lin và G.G Adams, Beam on Tensionless Elastic Foundation, Journal of Engineering 
Mechanics(113), 1987, pp. 542-553. 
[4]. Diego Froio, Egidio Rizzi, Fernando M.F. Simões, A. Pinto da Costa, Critical velocities of a beam 
on nonlinear elastic foundation under harmonic moving load, Procedia Engineering(199), 2017, pp. 
2585-2590. 
[5]. P. Castro Jorge, F.M.F. Simões, A. Pinto da Costa, Finite element dynamic analysis of beams on 
non-uniform nonlinear viscoelastic foundations under moving loads, Proceedings of the 9th 
International Conference on Structural Dynamics, EURODYN 2014, Portugal, 2014, pp.841-845. 
[6]. C. Rodrigues, F.M.F. Simões, A. Pinto da Costa, D. Froio, E. Rizzi, Finite element dynamic analysis 
of beams on nonlinear elastic foundations under a moving oscillator, European Journal of Mechanics - 
A/Solids. 68, 2018, pp. 9-24. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2017.10.005. 
[7]. D. Froio, R. Moioli, E. Rizzi, Numerical dynami analysis of beams on nonlinear elastic foundation 
under harmonic moving load, ECCOMAS Congress 2016, VII European Congress on 
ComputationalMethods in Applied Sciences and Engineering, Greece, 2016, pp. 4794-4809. 
https://doi.org/10.7712/100016.2149.7515. 
[8]. S. M. Abdelghany, K.M. Ewis, A.A. Mahmoud, M.M. Nassar, Dynamic response of non-uniform 
beam subjected to moving load and resting on non-linear viscoelastic foundation, Beni-Suef University 
Journal of Basic and Applied Sciences. 4(3), 2015, pp. 192-199. 
https://dx.doi.org/10.1016/j.bjbas.2015.05.007. 
[9]. Salih N Akour, Dynamics of Nonlinear Beam on Elastic Foundation, Proceedings of the World 
Congress on Engineering 2010, London, U.K, 2010. ISSN : 2078-0966 (online). 
[10]. Đỗ Xuân Quý, Lương Xuân Bính, Hà Văn Quân, Hoàng Văn Tuấn, Nghiên cứu ứng xử cơ học của 
thanh có liên kết dị hướng chịu tác dụng của tải trọng động, Tuyển tập công trình khoa học toàn quốc 
Cơ học vật rắn lần thứ XIV, TP. HCM, 2018, tr. 549-556. ISBN: 978-604-913-832-4. 
[11]. Do Xuan Quy, Ta Thi Hien, Luong Xuan Binh, Hoang Van Tuan and Le Thanh Tam, Experimental 
research on dynamic response of beams with anisotropic restraints, The 5th international Conference on 
Enginneering Mechanics and Automation, Ha Noi, 2019, tr. 98-104. 
[12]. Lương Xuân Bính, Đỗ Xuân Quý và Nguyễn Xuân Lựu, Tính toán kết cấu có liên kết dị hướng 
bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 8, NXB 
Bách Khoa Hà Nội, Hà Nội, 2007, tr. 57-68. 
[13]. Nguyễn Xuân Lựu, Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Giao Thông Vận Tải, Hà Nội, 2007. 
[14]. Đỗ Xuân Quý, Tính toán kết cấu thanh có liên kết dị hướng chịu tác dụng của tải trọng động, Đề 
tài nghiên cứu khoa học cấp trường MS: T2018-CT-018, Đại học Giao thông vận tải, 2018. 
[15]. Vũ Đình Lai, Sức Bền Vật Liệu, NXB Giao Thông Vận Tải, Hà Nội, 2010.