Xử lí tín hiệu số - Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số liên tục

FITA- HUA
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG 
TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC
3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER 
3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F
3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
FITA- HUA
• Ký hiệu:
x(n) X() hay X() = F{x(n)}
X() x(n) hay x(n) = F-1{X()} 
3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER
3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:
  F
 
 1F
Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc,  =  Ts
 - tần số của tín hiệu liên tục
Ts - chu kỳ lấy mẫu 
• Biến đổi Fourirer của x(n): 
n
njenxX  )()(
FITA- HUA• X() biểu diễn dưới dạng modun & argument:
• Nhận thấy X() tuần hoàn với chu kỳ 2 , thật vậy:
)()()(   jeXX 
Trong đó:
)(X - phổ biên độ của x(n)
)](arg[)(  X - phổ pha của x(n)

n
njenxX )2()()2(   )()(  Xenx
n
nj 
Áp dụng kết quả:
0 :0
0:2
k
k
dke jk
Biểu thức biến đổi F ngược:
 
deXnx nj)(
2
1
)(
FITA- HUA
Ví dụ 3.1.1: Tìm biến đổi F của các dãy:
1:)()(1 anuanx
n
Giải:
nj
n
n enuaX  
 )()(1 
0n
njae 
jae 
1
1
1:)1()(2 anuanx
n
nj
n
n enuaX  
 )1()(2 
1
1
n
njea 
 
1
1
m
mjea  1
0
1 
m
mjea 
jea 11
1
1
jae 
1
1
FITA- HUA

n
njenxX  )()(
3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER

n
njenx )( 
n
nx )(
Vậy, để X() hội tụ thì điều kiện cần là: 
 n
nx )(
• Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng, 
thậy vậy:

n
x nxE
2
)(
2
)( 
 
 n
nx
Nếu: 
 n
nx )( 
 n
x nxE
2
)(
FITA- HUA
Ví dụ 3.1.2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:
)()5.0()(1 nunx
n 
Giải:

 n
nx )(1
)(2)(2 nunx
n 
)()(3 nunx )()(4 nrectnx N 

n
n nu )()5.0( 
0
)5.0(
n
n 2
5.01
1

 n
nx )(2 
n
n nu )(2 
 0
2
n
n

 n
nx )(3 
n
nu )(

 n
nx )(4 
n
N nrect )(
 
 0
)(
n
nu

1
0
)(
N
n
N nrect N 
X2() không tồn tại
X3() không tồn tại
FITA- HUA
3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER
a) Tuyến tính
 )()( 11 Xnx
F 
)()()()( 22112211  XaXanxanxa
F   
Nếu:
Thì:
 )()( 22 Xnx
F 
b) Dịch theo thời gian
 )()( Xnx F Nếu:
Thì: )()( 0
n-j
0 
 Xennx F  
FITA- HUA
c) Liên hiệp phức
)2();( nn Ví dụ 3.2.1: Tìm biến đổi F của dãy:
Giải:
1)()()()(   
n
njF enXnnx 
 )()( Xnx F Nếu:
 )(*)(*    Xnx FThì:
Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:
  22 1)()2()2( jjF eXenxn   
FITA- HUA
d) Đảo biến số
 )()( Xnx F 
 )()(    Xnx F
Giải:
Nếu:
Thì:
Ví dụ 3.2.2: Tìm biến đổi F của dãy: )(2)( nuny n 
)(
2
1
)( nunx
n
 )(2)()( nunxny n 
Theo ví dụ 3.1.1, có kết quả:
suy ra: j
F
e
X
  
)2/1(1
1
)(


j
F
e
X
)2/1(1
1
)(
  
FITA- HUA
e) Vi phân trong miền tần số
1);()( anunang n
1a;
1
1
)()()( 
   
 

j
Fn
ae
Xnuanx
 )()( Xnx F 
 )(


d
)dX(
jnxn F 
)()( nnxng 
1;
1
)(
)(
2
  
a
ae
ae
d
dX
jG
j
j
F





Giải:
Theo ví dụ 3.1.1:
Nếu:
Ví dụ 3.2.3: Tìm biến đổi F của:
Suy ra:
Thì:
FITA- HUA
f) Dịch theo tần số
1);()cos()( 0 anunany
n 
1a;
1
1
)()()( 
   
 

j
Fn
ae
Xnuanx
 )()( Xnx F 
 )-()( 0
0  Xnxe Fnj  
Giải:
Theo ví dụ 3.1.1:
Nếu:
Ví dụ 3.2.4: Tìm biến đổi F của:
Thì:
)cos()()( 0nnuany
n   njnjn eenua 00
2
1
)(  
 njnj eenx 00)(
2
1  
FITA- HUA
g) Tích 2 dãy
 )()( 11 Xnx
F 
  

')'()'(
2
1
)(.)( 2121 dXXnxnx
FThì:
Nếu:
 )()(
2
1
)( 00  XXY
 )1(
1
)1(
1
2
1
)(
)()( 00 

jj aeae
Y
 )()( 22 Xnx
F 

')'()'(
2
1
12 dXX
 F
FITA- HUAg) Tích chập 2 dãy
 )()( 11 Xnx
F 
)()()(*)( 2121  XXnxnx
F Thì:
Nếu: )()( 22 Xnx
F 
Ví dụ 3.2.4: Tìm y(n)=x(n)*h(n), biết: x(n)=h(n)=(n+2)+(n-2)
Giải:
 22 )()( jj eeHX 
Theo ví dụ 6.2.1, có kết quả:
222 )( )()()(  jj eeHXY  44 2 jj ee 
)]([)(*)()( 1 YFnhnxny 
)4()(2)4()( nnnny 
FITA- HUA
- gọi là phổ mật độ năng lượng
g) Quan hệ Parseval
 )()( 11 Xnx
F 

dXXnxnx
n
  
 )()(
2
1
)()( *21
*
21
Thì:
Nếu: )()( 22 Xnx
F 
(*)
Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval
Nhận xét:
Nếu: )()()( 21 nxnxnx 
Theo quan hệ Parseval, ta có: 

dXnx
n
  
22
)(
2
1
)(
Với:
2
)()(  XSxx 
FITA- HUA
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI 
F
x(n) X()
a1x1(n)+a2x2(n) a1X1()+a2X2()
x(n-n0) e
-jn0 X()
ej0n x(n) X(- 0)
nx(n) jdX()/d
x(-n) X(- )
x*(n) X*(- )
x1(n)x2(n)
x1(n)*x2(n) X1()X2()

dXXnxnx
n
  
 )()(
2
1
)()( *21
*
21
 ''2'1 )(
2
1

dXX
j C
FITA- HUA
3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER 
& Z

  
n
njF e)n(x)(X)n(x
Hay biến đổi Fourier chính là 
biến đổi Z được lấy trên vòng 
tròn đơn vị theo biến số 

  
n
nZ znxzXnx )()()(
 jezzXX )()(
/z/=
1
Re(z)
ROC X(z)
Im(z)
/z/=1

• Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1
 X()=X(z) với z=ej
• Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1
 X() không hội tụ
FITA- HUA
Ví dụ 3.3.1: Tìm biến đổi Z & F của các dãy:
Giải:
)(2)(2 nunx
n 
5.0;
5.01
1
)(
11
z
z
zX
)()5.0()(1 nunx
n 
Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên:


jez e
zXX j 
5.01
1
)()( 11
2;
21
1
)(
12
z
z
zX
Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2() không tồn tại
FITA- HUA
3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC
TRONG MIỀN TẦN SỐ
3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số
h(n)x(n) y(n)=x(n)*h(n)Miền n:
Miền : H()X() Y()=X()H()
F
h(n) F H()=Y()/X(): gọi là đáp ứng tần số hệ thống
)(je)(H)(H  
Nếu H() biểu diễn dạng môdun và pha:
)(H
)(
- Đáp ứng biên độ
- Đáp ứng pha
FITA- HUA
Ví dụ: 3.4.1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:
Giải:
Biến đổi Fourier của h(n):
h(n)=rect3(n)
nj
n
enrectH  
 )()( 3 


j
j
n
nj
e
e
e
 
1
1 32
0
)(
)(
2/2/2/
2/32/32/3


jjj
jjj
eee
eee


 je 
)2/sin(
)2/3sin(
)2/sin(
)2/3sin(
)(


 A
)2/sin(
)2/3sin(
)(


 H
   
  
 
0
0
)(A:
)(A:
)( Với
FITA- HUA
- -2 /3 0 2 /3 
 /2
argH()
- /2
- -2 /3 0 2 /3 
1
/H()/
FITA- HUA
3.4.2 Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối
a. Ghép nối tiếp
 Miền  :
h2(n)x(n) y(n)h1(n)
x(n) y(n)h(n)=h1(n)*h2(n)

 Miền n:
H2()X() Y()H1()
X() Y()H()=H1()H2()

Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n)
F H1()H2()
FITA- HUAb. Ghép song song
 Miền :

h2(n)
x(n) y(n)
h1(n)
+
x(n) y(n)h1(n)+h2(n)
 Miền n:

H2()
X() Y()
H1()
+
X() Y()H1()+H2()
FITA- HUA
3.4.3 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức
)()()(*)()(*)()( mnxmhnxnhnhnxny
m
 
)()()( mnj
m
Aemhny 
  )(H)n(xe)m(hAe
mj
m
nj  

Ví dụ: 3.4.3: Tìm y(n) biết:
nj
enx 32
 )( )()( nunh
n
2
1
3
2
1
1
1
2)()()( 3



 j
nj
e
eHnxny
3
3
2
1
1
2
j
nj
e
e
Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Aejn
FITA- HUA
3.4.4 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin
 njnj eeA)ncos(A)n(x 00
2
0
   
 njnj e)(He)(HA)(H)n(x)n(y 00 000
2
     
  njnjnj e)(HRe.Ae)(*He)(HA)n(y 000 000
2
     
Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:
Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:
)(je)(H)(H  
FITA- HUA
   )(ncos)(HAe)(HRe.A)n(y nj 0000 0    
 njnj ee
j
A
)nsin(A)n(x 00
2
0
   
Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin:
Ta cũng được kết quả:
   )(nsin)(HAe)(HIm.A)n(y nj 0000 0    
FITA- HUA3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HiỆU
3.5.1 Khái niệm lấy mẫu tín hiệu
Mã hóa xd(n)
Rời rạc 
hóa
xa(t)
x(n) Lượng 
tử hóa
xq(n)
Chuyển xung 
-> mẫu
xa(nTs)
= x(n)
xa(t) X
sa(t)
xs(t)
Quá trình lấy mẫu tín hiệu
FITA- HUA
Tín hiệu tương tự
xa(t)
t
0
xa(nTs)
n
0 Ts 2Ts 
Tín hiệu rời rạcTín hiệu được lấy mẫu
xs(t)
n
0 Ts 2Ts 
t
0
Chuỗi xung lấy mẫu
Ts 2Ts 

n
sa nTtts )()( 
Tốc độ lấy mẫu càng lớn -> khôi phục tín hiệu càng chính xác
FITA- HUA3.5.2 Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự
 tAtxa  cos )cos( ssa TnAnTx  
Lấy mẫu
t = nTs
 )cos()cos()( nATnAnTxnx ssa   sT  
Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc
 - tần số của tín hiệu tương tự
Ts - chu kỳ lấy mẫu 
FITA- HUA
3.5.3 Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và
phổ tín hiệu tương tự
 
m
sas
s
)mFF(XF
F
F
XfX
Ví dụ: 3.5.1: Hãy vẽ phổ biên độ
tín hiệu rời rạc, biết phổ biên độ
tín hiệu tương tự cho như hình
vẽ, với các tốc độ lấy mẫu:
a)Fs>2FM b) Fs=2FM c) Fs<2FM
Trong đó: X(f) – phổ của tín hiệu rời rạc
Xa(F) – phổ của tín hiệu tương tự
/Xa(F)/
F
0-FM FM
1
FITA- HUA
/X(F/Fs)/
F
0-FM FM-Fs Fs
Fs
a)
F
0-FM FM-Fs Fs
/X(F/Fs)/
Fs
b)
F
0-FM FM-Fs Fs
/X(F/Fs)/
Fs
2Fs-2Fs
c)
FITA- HUA3.5.4 Định lý lấy mẫu
“Tín hiệu tương tự xa(t) có dải phổ hữu hạn (-FM ,FM) chỉ
có thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu xa(nTs)
nếu tốc độ lấy mẫu thỏa Fs ≥ 2FM”
Ví dụ 3.5.2: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự:
• Fs =2FM=FN: Tốc độ (tần số) Nyquist
ttttxa 12000cos106000sin52000cos3)( 
ttttxa 12000cos106000sin52000cos3)( 
Giải:
Tín hiệu có các tần số: F1=1 kHz, F2=3 kHz, F3=6 kHz
FM=max{F1, F2, F3}=6 kHz FN =2FM = 12 kHz
FITA- HUA3.5.5 Khôi phục lại tín hiệu tương tự
• Để khôi phục lại tín hiệu tương tự xa(t) thì phổ của tín hiệu
được khôi phục phải giống với phổ ban đầu của xa(t).
• Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vô hạn của phổ tín
hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách người ta
cho các mẫu xa(nTs) đi qua mạch lọc thông thấp lý tưởng
trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu có đáp ứng tần số:
laïi coøn soá taàn caùc ôû : 
2
f
2
f
 - : ss
0
)(
fT
fH slp
FITA- HUA
)(
])(sin[
)()()()(
ss
ss
n
salpsaa
nTtF
nTtF
nTxthnTxtx
 
Low pass Filter
hlp(t)
xa(nTs) xa(t)=xa(nTs)*hlp(t)
tf
tf
dfefHdeHth
s
sftj
lp
tj
lplp 
 sin)()(
2
1
)( 2  

Công thức nội suy, cho phép khôi phục xa(t) từ xa(nTs)