Toán rời rạc - Chương 5: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị (Phần 1)

CHƯƠNG 5: CÁC KHÁI NIỆM CƠ 
BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 
PHẦN 1: 
- Các khái niệm cơ bản 
- Biểu diễn đồ thị 
- Một số đồ thị đặc biệt 
- Sự đẳng cấu của các đồ thị 
- Đồ thị có hướng 
- Đường đi và chu trình 
- Sự liên thông 
1 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Các khái niệm cơ bản 
 Đồ thị (Graph) 
 G = (V, E) với V≠ 
 V: tập các đỉnh 
 E: tập các cạnh 
 Cạnh e E 
 ứng với 2 đỉnh v, w V 
 v, w là 2 đỉnh kề (hay 
liên kết) với nhau, e liên 
thuộc với v và w 
 Ký hiệu: e = vw () 
 v w : e được gọi là 
vòng (khuyên) tại v 
2 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Các khái niệm cơ bản 
 Đồ thị (Graph) 
 Cạnh bội (song song) 
 Hai cạnh phân biệt 
cùng tương ứng với 
một cặp đỉnh 
 Đơn đồ thị 
 Đồ thị không có vòng và 
cạnh song song 
 Đa đồ thị 
 Các đồ thị không phải là 
đơn đồ thị 
x
y z 
A
B
C
D
3 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Các khái niệm cơ bản 
 Đồ thị (Graph) 
 Đồ thị đầy đủ 
 Đồ thị mà mọi cặp đỉnh 
đều kề nhau 
 Kn: đơn đồ thị đầy đủ 
 Đồ thị con 
 Đồ thị G’ = (V’, E’) 
 V’  V, E’  E 
 Đồ thị hữu hạn 
 E và V hữu hạn 
 Đồ thị vô hạn 
4 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Biểu diễn đồ thị 
 Biểu diễn hình học 
 Mỗi đỉnh  một điểm 
 Mỗi cạnh  một đường (cong hoặc thẳng) nối 2 
đỉnh liên thuộc với nó 
 Biểu diễn bằng ma trận 
 Thường được dùng để biểu diễn trên máy tính 
 2 cách biểu diễn thường dùng 
 Ma trận kề 
 Ma trận liên thuộc 
5 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Biểu diễn đồ thị 
 Biểu diễn bằng ma trận 
 Ma trận kề 
 Ma trận vuông cấp n (số đỉnh của đồ thị) 
 Các phần tử được xác định bởi 
 : Nếu là một cạnh của G 
 : Nếu không là một cạnh của G 
 Tính chất 
 Phụ thuộc vào thứ tự liệt kê của các đỉnh 
 Ma trận là đối xứng 
 Một vòng được tính là một cạnh (akk = 1) 
6 
ija
1 ija
0 ija
jivv
jivv
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Biểu diễn đồ thị 
 Biểu diễn bằng ma trận 
 Ma trận kề 
 Ví dụ 1 
7 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Biểu diễn đồ thị 
 Biểu diễn bằng ma trận 
 Ma trận kề 
 Ví dụ 2 
E 0 1 2 2 0
D 0 1 1 1 2
C 1 1 0 1 2
B 1 0 1 1 1
A 0 1 1 0 0
A B C D E
8 
A
B
C
D
E
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Biểu diễn đồ thị 
 Biểu diễn bằng ma trận 
 Ma trận liên thuộc 
 Ma trận M = ( )nxm 
 Các phần tử được xác định bởi 
 : Nếu cạnh liên thuộc với vi của G 
 : : Nếu cạnh không liên thuộc với vi của G 
 Tính chất 
 Các cột tương ứng với các cạnh bội là giống nhau trong ma 
trân liên thuộc 
 Các vòng ứng với một cột có đúng một phần tử bằng 1 ứng 
với đỉnh nối với vòng đó. 
9 
ija
ija
1 ija
0 ija
je
je
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Biểu diễn đồ thị 
 Biểu diễn bằng ma trận 
 Ma liên thuộc 
 Ví dụ 
10 
00110000
11000000
00011000
01101110
00000111
87654321
5
4
3
2
1
eeeeeeee
v
v
v
v
v
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Biểu diễn đồ thị 
 Biểu diễn bằng bảng 
(danh sách liền kề) 
 Lưu trữ các đỉnh liền kề 
với một đỉnh 
 Ví dụ 
 a
b
c
de
Đỉnh Đỉnh liền kề 
a b, c, e 
b a 
c a, c, d, e 
d c, e 
e a, c, d 
11 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Các khái niệm cơ bản 
 Bậc của đỉnh 
 Đỉnh của đồ thị G có bậc 
là n nếu nó kề với n đỉnh 
khác. 
 Ký hiệu: deg(v) hay d(v) 
 Mỗi vòng được kể là 2 
cạnh tới một đỉnh 
 Đỉnh cô lập  deg(v)=0 
 Đỉnh treo  deg(v)=1 
 Cạnh treo có đầu mút là 
một đỉnh treo 
 Đồ thị rỗng: deg(v)=0 v 
a b c d 
efg
12 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Các khái niệm cơ bản 
 Bậc của đỉnh 
 Định lý 1.1 
 Trong mọi đồ thị G = (V, E), tổng số bậc của các đỉnh 
của G bằng 2 lần số cạnh của nó 
 Hệ quả 
 Trong mọi đồ thị G = (V, E) ta có 
 Số đỉnh bậc lẻ là một số chẵn 
 Tổng bậc của đỉnh bậc lẻ là một số chẵn 
13 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Các khái niệm cơ bản 
 Bậc của đỉnh 
 Định lý 1.2 
 Trong mọi đơn đồ thị G = (V, E), nếu số đỉnh nhiều 
hơn 1 thì tồn tại ít nhất hai đỉnh cùng bậc. 
 Định lý 1.3 
 Trong mọi đơn đồ thị G = (V, E), nếu số đỉnh nhiều 
hơn 2 và có đúng hai đỉnh cùng bậc thì hai đỉnh này 
không đồng thời có bậc bằng 0 hoặc n-1. 
14 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Các khái niệm cơ bản 
 Chứng minh và giải toán bằng phương 
pháp đồ thị 
1. Xây dựng đồ thị mô tả đầy đủ thông tin của bài 
toán 
 Mỗi đỉnh v V  một đối tượng trong bài toán 
 Mỗi cạnh e E  mối quan hệ giữa hai đối tượng 
 Vẽ đồ thị mô tả bài toán 
2. Sử dụng các định nghĩa, tính chất, định lý,  suy 
ra điều cần phải chứng minh 
15 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Các khái niệm cơ bản 
 Một số bài toán ví dụ 
Chứng minh rằng trong một cuộc họp tùy ý có ít 
nhất 2 đại biểu tham gia trở lên, luôn có ít nhất hai 
đại biểu mà họ có số người quen bằng nhau trong 
các đại biểu đến dự họp. 
16 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Các khái niệm cơ bản 
 Một số bài toán ví dụ 
Chứng minh rằng số người mà mỗi người đã có một 
số lẻ lần bắt tay nhau trên trái đất là một con số 
chẵn. 
17 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Một số đồ thị đặc biệt 
 Đồ thị đầy đủ Kn 
 Đơn đồ thị 
 Số đỉnh: |V| = n 
 Bậc: deg(v) = n – 1, v V 
 Số cạnh: |E| = n(n - 1) / 2 
K5K4
K1 K2 K3 K6
18 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Một số đồ thị đặc biệt 
 Đồ thị vòng Cn 
 Đơn đồ thị 
 Số đỉnh: |V| = n  3 
 Bậc: deg(v) = 2, v V 
 Số cạnh: |E| = n 
19 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Một số đồ thị đặc biệt 
 Đồ thị hình bánh xe Wn 
 Nối các đỉnh của Cn với một đỉnh mới u ta được Wn 
 Số đỉnh: |V| = n + 1, n 3 
 Bậc: deg(v) = 3, v V \ {u}; 
 deg(u) = n 
 Số cạnh: |E| = 2n 
20 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Một số đồ thị đặc biệt 
 Đồ thị đều bậc k (Đồ thị k-đều) 
 Mọi đỉnh đều có cùng bậc k 
 Số đỉnh: |V| = n 
 Bậc: deg(v) = k, v V 
 Số cạnh: |E| = n.k/2 
21 
Ví dụ: 
 Cn là đồ thị đều bậc 2 
 Kn là đồ thị đều bậc (n-1) 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Một số đồ thị đặc biệt 
22 
 Các khối n-lập phương Qn 
 Có đỉnh, mỗi đỉnh được biểu diễn bằng một dãy số nhị 
phân với độ dài n. 
 Hai đỉnh là liền kề nếu và chỉ nếu các dãy nhị phân biểu 
diễn chúng chỉ khác nhau đúng 1 bit. 
 Số đỉnh: |V| = 
 Bậc: deg(v) = n, v V 
 Số cạnh: |E| = n. 
n2
n2
12 n
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Một số đồ thị đặc biệt 
23 
 Đồ thị bù 
 Hai đơn đồ thị G và G’ được gọi là bù nhau 
 chúng có chung các đỉnh 
 Cạnh nào thuộc G thì không thuộc G’ và ngược lại 
 Ký hiệu: G’ = G
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Một số đồ thị đặc biệt 
 Đồ thị lưỡng phân 
 Một đồ thị G được gọi là đồ thị lưỡng phân nếu tập các 
đỉnh của G có thể phân thành 2 tập hợp không rỗng, rời 
nhau sao cho mỗi cạnh của G nối một đỉnh thuộc tập này 
đến một đỉnh thuộc tập kia. 
 Ký hiệu: Km,n 
24 
3,3K
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Sự đẳng cấu giữa các đồ thị 
 Định nghĩa 
 G(V, E) đẳng cầu với G’(V’, E’), (G G’) nếu 
 Tồn tại song ánh f: V V’ 
 Bảo toàn quan hệ liền kề: 
u,v V, uv E  f(u)f(v) E’ 
 G đẳng cấu với G’ thì 
 |V| = |V’| 
 |E| = |E’| 
 deg(v) = deg(f(v)),  v V 
25 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Sự đẳng cấu giữa các đồ thị 
 Định nghĩa 
 Chứng minh 2 đồ thị đẳng cấu 
 Điều kiện cần 
 Xét số cạnh, số đỉnh, bậc của đỉnh 
 Điều kiện đủ 
 Xây dựng song ánh bảo toàn quan hệ liền kề 
 Ví dụ 1: 
H = (W,F) G = (V,E)
v4v3u3u4
v2v1u2u1
26 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Sự đẳng cấu giữa các đồ thị 
 Định nghĩa 
 Chứng minh 2 đồ thị đẳng cấu 
 Ví dụ 2 
27 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Sự đẳng cấu giữa các đồ thị 
 Đồ thị tự bù 
 Định nghĩa 
 Đồ thị G tự bù nếu G đẳng cấu với phần bù của nó 
 Ví dụ 
 Định lý 1.4 
 Hai đồ thị có ma trận liền kề (theo một thứ tự nào đó 
của các đỉnh) bằng nhau thì đẳng cấu với nhau 
28 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Đồ thị có hướng 
29 
ab
 Định nghĩa 
 G = (V, E) 
 Tập đỉnh V 
 Tập cạnh (cung) E = { (a, b) | a,b V } 
 e = (a, b) E 
 Ký hiệu: e = 
 e có hướng từ a đến b 
 a: đỉnh đầu; b: đỉnh cuối 
 e là khuyên (vòng) ab 
 G được gọi là đầy đủ nếu đồ thị vô hướng của nó là đầy đủ 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Đồ thị có hướng 
 Bậc của đỉnh 
 Bậc vào 
 deg - (v) = | { u | (u, v) E } | = số cạnh có đỉnh cuối là v 
 Bậc ra 
 deg + (v) = | { u | (v, u) E } | = số cạnh có đỉnh đầu là v 
30 
 Chú ý: Một khuyên (vòng) tại một đỉnh sẽ góp thêm một 
đơn vị vào bậc vào và bậc ra của đỉnh này. 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Đồ thị có hướng 
 Bậc của đỉnh 
 Định lý 1.5 
 Tổng bậc vào của các đỉnh bằng tổng bậc ra và bằng 
số cạnh của đồ thị 
 Đồ thị cân bằng 
||)(deg)(deg
||
1
||
1
Evv
V
i
V
i

Vvvv  ),(deg)(deg
31 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 
Đồ thị có hướng 
 Bậc của đỉnh 
 Ví dụ 
 Có một nhóm gồm 9 đội bóng bàn thi đấu vòng tròn 
một lượt. 
 Hỏi sau khi có kết quả thi đấu của tất cả các đội có thể 
có trường hợp bất kỳ đội nào trong 09 đội này cũng 
đều thắng đúng 05 đội khác trong nhóm được không? 
 (Lưu ý trong thi bóng bàn không có trận hòa) 
32 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 33 
Đường đi và chu trình 
 Đường đi 
 Định nghĩa 
 Đường đi có độ dài n từ v0 đến vn với n là một số nguyên dương 
là một dãy các cạnh liên tiếp v0v1, v1v2, , vn-1vn 
 v0: đỉnh đầu; vn: đỉnh cuối 
 Ký hiệu: v0v1v2  vn-1vn 
 đường đi v0 - vn 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 34 
Đường đi và chu trình 
 Đường đi 
 Định nghĩa 
 Đường đi đơn giản (đường đi đơn) 
 Đường đi không qua cạnh nào quá một lần 
 Đường đi sơ cấp 
 Đường đi không qua đỉnh nào quá một lần 
 Đường đi sơ cấp Đường đi đơn giản 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 35 
Đường đi và chu trình 
 Chu trình 
 Định nghĩa 
 Chu trình 
 đường đi khép kín (v0v1v2  vn-1vnv0) 
 độ dài ít nhất là 3 
 Chu trình đơn giản 
 Chu trình không đi qua cạnh nào quá 1 lần 
 Chu trình sơ cấp 
 Chu trình không đi qua đỉnh nào quá 1 lần (trừ đỉnh đầu, 
đỉnh cuối) 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 36 
Đường đi và chu trình 
 Chu trình 
 Định lý 1.6 
 G = (V, E) là một đồ thị vô hướng 
 Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng 3 
 Bậc của mọi đỉnh đều lớn hơn hoặc bằng 2 
thì trong G luôn tồn tại một chu trình sơ cấp 
 Định lý 1.7 
 G = (V, E) là một đồ thị vô hướng 
 Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng 4 
 Bậc của mọi đỉnh đều lớn hơn hoặc bằng 3 
thì trong G luôn tồn tại một chu trình sơ cấp có độ dài chẵn 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 37 
Tính liên thông 
 Tính liên thông trong đồ thị vô 
hướng 
 Định nghĩa 
 Hai đỉnh v, u trong đồ thị G 
được gọi là liên thông nếu 
tồn tại một đường đi nối 
chúng với nhau. 
 Đồ thị G gọi là liên thông nếu 
hai đỉnh phân biệt bất kỳ 
trong đồ thị đều liên thông. 
Ngược lại thì ta gọi là đồ thị 
không liên thông. 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 38 
Tính liên thông 
 Tính liên thông trong đồ thị vô hướng 
 Định nghĩa 
 Cho G = (V,E), v V . 
 V’ là tập con của V gồm đỉnh v và tất cả các đỉnh liên thông với v 
trong G. 
 E’ là tập con của E gồm tất cả các cạnh nối các đỉnh thuộc V’. 
Khi đó G’ = (V’, E’) gọi là thành phần liên thông của G chứa v. 
Chú ý: Nếu v và u liên thông trong G thì thành phần liên thông 
 của G chứa v cũng là thành phần liên thông của G chứa u. 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 39 
Tính liên thông 
 Tính liên thông trong đồ thị vô hướng 
 Định lý 1.8 
 Đồ thị G=(V, E) là liên thông khi và chỉ khi G có 
duy nhất một thành phần liên thông. 
 (Sv tự chứng minh) 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 40 
Tính liên thông 
 Tính liên thông trong đồ thị vô hướng 
 Đỉnh cắt và cầu 
 u là đỉnh cắt (điểm khớp) số thành phần liên 
thông tăng lên nếu bỏ u và các cạnh liên thuộc 
với nó. 
 e là cầu số thành phần liên thông tăng lên nếu 
bỏ cạnh e. 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 41 
Tính liên thông 
 Tính liên thông trong đồ thị vô hướng 
 Định lý 1.9: 
 Đơn đồ thị G = (V , E) có 
 |V| = n 2 
 deg(u) + deg(v) n,  u,v V 
thì G là đồ thị liên thông 
 Hệ quả: 
 Đơn đồ thị G = (V , E), |V| = n có 
 deg(v) n/2, v V 
thì G là đồ thị liên thông 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 42 
Tính liên thông 
 Tính liên thông trong đồ thị có hướng 
 Liên thông mạnh 
 Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông mạnh nếu giữa 2 đỉnh 
u,v bất kỳ trong G luôn có đường đi từ v đến u và từ u đến v. 
 Liên thông yếu 
 Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô 
hướng tương ứng của nó là liên thông 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 43 
Tính liên thông 
 Tính liên thông trong đồ thị có hướng 
 Định lý 1.10 
 Nếu đồ thị G có đúng 2 đỉnh bậc lẻ thì 2 đỉnh này phải 
liên thông với nhau 
 Định lý 1.11 
 Đồ thị G là một đồ thị lưỡng phân khi và chỉ khi mọi 
chu trình của nó đều có độ dài chẵn 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 44 
Một số phép biến đổi đồ thị 
 Hợp của 2 đồ thị 
 G = (V, E) 
 G’ = (V’, E’) 
 G’’ = G  G’ = (V’’, E’’) 
 V’’ = V  V’ 
 E’’ = E  E’ 
Chương 1. Đại cương về đồ thị 45 
Một số phép biến đổi đồ thị 
 Phép phân chia sơ cấp 
 Phép thay thế cạnh e = uv của G bởi một đỉnh mới w cùng 
với 2 cạnh uw và vw 
 Đồng phôi 
 G và G’ gọi là đồng phôi nếu chúng có thể nhận được từ 
cùng một đồ thị bằng một dãy các phép phân chia sơ cấp 
 Hai đồ thị đồng phôi chưa chắc đẳng cấu với nhau