Toán cao cấp A2 - Chương 1: Ma trận - Định thức và ma trận nghịch đảo

10/10/2019
1
MA TRẬN - ĐỊNH THỨC & 
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO CHƯƠNG 1
10/10/2019 1
NỘI DUNG
Ma trận
 Các loại ma trận
 Phép toán ma trận:
 Cộng
 Trừ
 Nhân vô hướng
 Nhân hai ma trận
Ma trận nghịch đảo
Ứng dụng ma trận
10/10/2019 2
ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN
Một ma trận cấp
mxn là một bảng số
hình chữ nhật gồm
mxn phần tử, gồm m
hàng và n cột.
(m x n): cấp của ma
trận
A = [aij] // aij is called
(i, j)-entry
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
hay A
a a a
10/10/2019 3
VÍ DỤ
Một ma trận cấp 2x3 // 2 dòng, 3 cột
7 -3 1/2
3 -5 0
(1,3)-phần tử
a[1,3] = 1/2
a13 = 1/2
3 x 3matrix,
a square matrix
3 x 1 matrix
column matrix
A = 
10/10/2019 4
VÍ DỤ
Ký hiệu ma trận:
Ví dụ:
Đây là ma trận thực cấp 3x4. Gồm có 3 hàng và 4 cột
Các phần tử
ij m n
A a
1 2 7 0
4 5 7 1
0 2 8 9
A
11 12 13 14
22 32
1 2 7 0
5 ?
a a a a
a a
10/10/2019 5
CÁC LOẠI MA TRẬN
 Ma trận vuông
 Ma trận không
 Ma trận hàng - ma trận cột
 Ma trận tam giác trên – dưới
 Ma trận chéo
 Ma trận đơn vị 
 Ma trận chuyển vị
 Ma trận bậc thang
 Ma trận đối xứng
 Ma trận phản đối xứng
10/10/2019 6
10/10/2019
2
MA TRẬN VUÔNG
Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n.
Đường chéo chính gồm các phần tử:
11 12 1
21 22 2
ij
1 2
n
n
n n nn
n n
a a a
a a a
A a
a a a
11 22
, ,...,
nn
a a a
10/10/2019 7
MA TRẬN KHÔNG
Tất cả các phần tử đều bằng 0.
Ký hiệu: 0 hay 0mxn
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
m n
10/10/2019 8
MA TRẬN HÀNG, CỘT
Ma trận hàng: chỉ có một hàng
Ma trận cột: chỉ có một cột
1
2
1 2 3 4 5
4
5
A B
10/10/2019 9
MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN
Ma trận vuông
Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0 
1 2 3 4
1 2 3
0 0 2 1
0 4 5
0 0 8 9
0 0 6
0 0 0 4
A B
0
ij
a i j
10/10/2019 10
MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI
Ma trận vuông
Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 
1 0 0 0
1 0 0
2 0 0 0
3 4 0
0 6 8 0
5 0 6
9 3 1 4
A B
0
ij
a i j
10/10/2019 11
MA TRẬN CHÉO
Ma trận vuông
 Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0
 Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0
1 0 0 0
1 0 0
0 0 0 0 0
0 4 0
0 0 8 0 0
0 0 6
0 0 0 4
a
A B C
b
0
ij
a i j
10/10/2019 12
10/10/2019
3
MA TRẬN ĐƠN VỊ
Ma trận chéo
Các phần tử chéo đều bằng 1.
Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n
2 3 4
1 0 0 0
1 0 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
I I I
10/10/2019 13
MA TRẬN BẬC THANG – STAIRCASE MATRIX
Phần tử cơ sở của hàng: phần tử khác 0 đầu tiên của
một hàng kể từ bên trái.
Ma trận bậc thang:
Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới
cùng.
Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng
cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.
10/10/2019 14
VÍ DỤ 1
2 1 0 0
0 0 7 1
0 4 8 9
0 0 0 9
3 1 0 0 3
0 0 0 1 2
0 0 0 9 1
A
B
Không là bậc 
thang
Không là bậc 
thang
10/10/2019 15
VÍ DỤ 2
2 1 0 0
0 4 8 9
0 0 7 1
0 0 0 0
3 1 0 0 3
0 0 3 1 2
0 0 0 9 1
C
D
bậc thang
bậc thang
10/10/2019 16
MA TRẬN CHUYỂN VỊ
10/10/2019 17
MA TRẬN ĐỐI XỨNG – PHẢN ĐỐI XỨNG
10/10/2019 18
10/10/2019
4
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG
1. Đổi chỗ hai hàng với nhau
2. Thay một hàng bởi hàng đó nhân với một số khác 0
3. Thay một hàng bởi hàng đó cộng với hàng khác nhân với
một số.
4. Tổng hợp phép 2 và 3.
Tương tự ta có các phép bđsc trên cột.
i j
h h
. 0
i i
h k h k
.
i i j
h h h
. .
i i j
h k h h
10/10/2019 19
VÍ DỤ 3
Thực hiện phép biến đổi ma trận sau:
Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương hàng với ma trận A. 
Ký hiệu: A’ ~ A
2 2 1
3 3 1
3 3 29
2 3 2
8
1 2 3 4
8 7 5 3 ? ??
2 3 0 1
?? '
h h h
h h h
h h h
h h
A
A
10/10/2019 20
ĐƯA MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG
Định lý. Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang 
bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.
Chú ý. Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta 
thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau
'
,
elementary row operations
A A
arbitrary form staircase form not unique
10/10/2019 21
VÍ DỤ 4
10/10/2019 22
VÍ DỤ 4
10/10/2019 23
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
1. Ma trận bằng nhau
2. Cộng hai ma trận cùng cấp
3. Nhân một số với ma trận
4. Nhân hai ma trận
5. Lũy thừa của một ma trận
10/10/2019 24
10/10/2019
5
HAI MA TRẬN BẰNG NHAU
Hai ma trận A và B bằng nhau (ký hiệu A = B) khi và chỉ khi:
1. Chúng có cùng cấp.
2. Các phần tử tương ứng bằng nhau. 
Example. Given 
discuss the possibility that A = B, B = C, A = C
10/10/2019 25
PHÉP TOÁN MA TRẬN
Cộng hai ma trận A + B = [aij + bij]
Trừ hai ma trận A – B = [aij – bij]
Nhân vô hướng
Nhân hai ma trận
Hai ma trận
phải cùng cấp
10/10/2019 26
CỘNG HAI MA TRẬN
Cộng các phần tử tương ứng với nhau
Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp
1 2
4 5
2 1
4 5
a d
A B
b c
a d
A B
b c
10/10/2019 27
CỘNG HAI MA TRẬN
Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp
1 2 4 3 2 6
;
3 0 5 1 5 7
A B
)
)
)
a A B
b A B
c B A
10/10/2019 28
NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN
Nhân một số với ma trận ta lấy số đó nhân vào tất cả các
phần tử của ma trận.
Ví dụ.
1 2 2
2
2 2
2 10 6
2
4 5
a a
A A
b c b c
B B
x
10/10/2019 29
TÍNH CHẤT
) )
) 0 )
) )
a A B B A b A B C A B C
c A A d k A B kA kB
e k mA km A f k m A kA mA
. :
1 2 3 4 0 2 10 4
8 7 5 3 1 7 6 0
2 3 0 1 2 3 2 4
:
1 2
) )2 3 )
3 7
Example Given that
A B
Compute
a A B b A B c A B
use your
calculator
10/10/2019 30
10/10/2019
6
VÍ DỤ
Rút gọn biểu thức:
2(A + 3C) - 3(2C-B) - 3[2(2A +B - 4C) - 4(A - 2C)] 
Trong đó A, B, C là các ma trận cùng cấp.
Đáp án: 2A-3B
10/10/2019 31
ADDITION. DIFFERENCE 
SCALAR MULTIPLICATION 
day 1
day 2
110 230 280
300 155 389
35 117 201
day 1 + day 2?
day 1 – day 2?
2(day 1)?
addition
difference
Scalar multiplication
10/10/2019 32
PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN - INTRO
peanuts soda hot dogs
group A 8 5 12
group B 15 7 13
selling price store 1 store 2 store 3 store 4
peanuts 2 2.5 2 2.5
soda 2.5 2 2.75 2
hot dogs 3 3 2.5 3
store 1 store 2 store 3 store 4
group A 64.5 66 59.75 66
group B 86.5 87.5 81.75 90.5
8x2.5 + 5x2 + 12x3 = 66$ 
10/10/2019 33
PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN
Am n . Bn p = Cm p // cấp và thứ tự phải phù hợp
Phần tử cij = (hàng i của A).(cột j của B)
Q. Điều kiện để hai ma trận nhân được với nhau?
A. 
2
0121
2101
02
10
21 1.1+2.13 4 1
-1 -2 -1 0
-2 0 2 -4
10/10/2019 34
VÍ DỤ 5
Các ma trận nào nhân được với nhau?
1 2 3 4 0 2 10 4
8 7 5 3 1 7 6 0
2 3 0 1 2 3 2 4
1 2
2 4 1 2 3
0 1 2 4 1
3 7
A B
C D
10/10/2019 35
QUI TẮC NHÂN HAI MA TRẬN
Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của
ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau.
Ví dụ. Muốn tìm phần tử c23 ta lấy hàng 2 của A nhận với
cột 3 của B. (giống nhân tích vô hướng các vecto)
hang cot
ij
c i j
C A B
10/10/2019 36
10/10/2019
7
VÍ DỤ 6
10/10/2019 37
VÍ DỤ 7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN
10/10/2019 38
TÍNH CHẤT
10/10/2019 39
ỨNG DỤNG
A
(0, 0) (5, 0)
(3, 5)
(2, 3) (4, 3) 0 5 2 4 3
0 0 3 3 5
D=
Cho A = 
2 0
0 2
, 𝑇ì𝑚 𝐴𝐷.
0 10 4 8 6
0 0 6 6 10 A
10/10/2019 40
LŨY THỪA CỦA MA TRẬN
10/10/2019 41
VÍ DỤ 8
10/10/2019 42
10/10/2019
8
VÍ DỤ 9
10/10/2019 43
VÍ DỤ 10
10/10/2019 44
VÍ DỤ 11
10/10/2019 45
HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa. Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma 
trận bậc thang E. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số 
các hàng khác không của ma trận bậc thang
Ký hiệu: r(A) hay rank(A)
r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E
Ma trận bậc thang của A:
A→..bđsc theo dòng →A’ (có dạng bậc thang)
10/10/2019 46
VÍ DỤ 12
10/10/2019 47
VÍ DỤ 13
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp tìm hạng các ma trận 
sau.
1 0 3 2 2 0 1 2
0 1 2 1 0 1 2 3
2 0 6 4 5 0 6 4
1 2 3 3 2 3 1 4
2 4 6 9 3 4 2 9
2 6 7 6 2 0 1 3
A B
C D
10/10/2019 48
10/10/2019
9
VÍ DỤ 14
Tìm hạng của ma trận
3 21 0 9 0
1 7 1 2 1
2 14 0 6 1
6 42 1 13 0
A
10/10/2019 49
TÍNH CHẤT
)
)
) min ,
) 0 0
T
ij m n
i r A r A
ii A B thì r A r B
iii A a thì r A m n
iv r A A
10/10/2019 50
VÍ DỤ 15
10/10/2019 51
VÍ DỤ 16
10/10/2019 52
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Định nghĩa. Cho A là một ma trận vuông A, ma trận B
được gọi là ma trận nghịch đảo (inverse) của ma trận A
nếu:
Ma trận A có ma trận nghịch đảo thì được gọi là ma
trận khả nghịch (invertible matrix)
Ma trận nghịch đảo của A kí hiệu là A-1
Tính chất: 1
1
.
.
AA I
A A I
.
.
AB I
B A I
10/10/2019 53
VÍ DỤ
10/10/2019 54
10/10/2019
10
CHÚ Ý
 Chỉ ma trận vuông mới có thể khả nghịch (khả đảo) 
 Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch. 
Có rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch
Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến.
Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến.
10/10/2019 55
THE INVERSE OF 2X2 MATRICES
Example:
determinant of A, denoted 
by det(A)
1 1a b d bA A
c d c aad bc
1
1 2 3 21
4 14 3 5
A A
10/10/2019 56
MA TRẬN SƠ CẤP
Ma trận thu được từ ma trận đơn vị I bằng đúng 1 phép 
biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp.
Ví dụ.
10/10/2019 57
CHÚ Ý
Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A 
đồng nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương 
ứng.
Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A 
đồng nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương 
ứng.
10/10/2019 58
VÍ DỤ 17
10/10/2019 59
BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ta có:
10/10/2019 60
10/10/2019
11
VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
10/10/2019 61
VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
10/10/2019 62
CLASS WORK
Hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có.
10/10/2019 63
TÍNH CHẤT
Cho hai ma trận A, B đều khả nghịch. Ta có:
1
1
1 1 1
1
1
)
) . .
)
T
T
i A A
ii AB B A
iii A A
) . .
) . .
iv AB AC B C
v B A C A B C
10/10/2019 64
SỰ TỒN TẠI MA TRẬN KHẢ NGHỊCH
10/10/2019 65
VÍ DỤ 19
Tìm m để các ma trận sau khả nghịch.
1 1 2 1 1 1 1
2 1 2 3 1 4
3 2 1 3 3 1
A m B
m m
10/10/2019 66
10/10/2019
12
VÍ DỤ
10/10/2019 67
COROLLARY
If A and C are square matrices such that AC = I, then
also CA = I. In particular, both A and C are invertible:
C = A-1, and A = C-1.
Corollary above is false if A and C are not square matrices 
10/10/2019 68
TỔNG HỢP
Ma trận là gì? Phân loại?
Các phép toán với ma trận?
Hạng của ma trận?
Ma trận khả nghịch?
10/10/2019 69
BÀI 1
10/10/2019 70
BÀI 2
10/10/2019 71
BÀI 3
10/10/2019 72
10/10/2019
13
BÀI 4
10/10/2019 73
BÀI 5
10/10/2019 74
BÀI 6
10/10/2019 75
ĐỊNH THỨC
DETERMINANT 
10/10/2019 76
NỘI DUNG
 Cách tính định thức của một ma trận vuông
 Biến đổi định thức
Ứng dụng định thức
10/10/2019 77
ĐỊNH THỨC
Cho ma trận A vuông, cấp n.
Định thức của ma trận A, ký hiệu:
Đây là một số thực, được xác định dựa trên các phần tử
trong ma trận.
det A hay A
10/10/2019 78
10/10/2019
14
ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP 1, 2
Ma trận vuông cấp 1:
Ma trận vuông cấp 2:
111
22
2
21 2 2
a
A
a
a
a
11 11
det A a hay A a
11 1 1
A a
11 22 21 12
11 12
11 22 21 12
21 22
det . .
. .
A a a a a
a a
a a a a
a a
10/10/2019 79
ĐỊNH THỨC (MA TRẬN VUÔNG) CẤP 3
𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
det(A) = 
+a.det
𝑒 𝑓
ℎ 𝑖
- b.det
𝑑 𝑓
𝑔 𝑖
+ c.det
𝑑 𝑒
𝑔 ℎ
= aei – afh – (bdi – bgf) + cdh – cge
+ - +
10/10/2019 80
QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3
Ta có quy tắc Sarrus.
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
11 22 33 12 23 31 13 21 32
31 22 13 32 23 11 33 21 12
det . . . . . .
. . . . . .
A a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
10/10/2019 81
VÍ DỤ
Tính các định thức sau bằng quy tắc Sarrus
1 2 3 1 2 1
0 5 7 0 1 0
1 2 8 2 2 2
5 7 6 0 1 1
1 2 5 1 2 2
0 3 9 3 3
A C
m m
m
B D
m
10/10/2019 82
ĐỊNH THỨC CẤP N TỔNG QUÁT
Dùng phần bù đại số và khai triển theo hàng (cột)
Ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ
đi hàng thứ i và cột thứ j.
Phần bù đại số (cofactor) của phần tử aij ký hiệu và xác định
như sau:
11 12 1
21 22 2
1 2
......
......
.............................
......
n
n
n n nn n n
a a a
a a a
A
a a a
ij ij ij
1 det 1
i j i j
A M M
10/10/2019 83
Cho ma trận:
4 4
3 21 0 9
1 7 1 2
2 14 0 6
6 42 1 13
A
VÍ DỤ 1
M23=??? Cofactor(a23)= A23=???
Ma trậnGiá trị, số
10/10/2019 84
10/10/2019
15
VÍ DỤ 1
23 23
3 21 9
2 14 6
6 42 13
M Mboû haøng 2 vaø coät 3
23
???A
10/10/2019 85
KHAI TRIỂN THEO HÀNG/CỘT
Định thức của ma trận vuông cấp n:
Đây là khai triển theo dòng 1.
Ta có thể khai triển dòng bất kỳ hoặt cột bất kỳ.
11 11 12 12 1 1
det . . ...
n n
A a A a A a A
1 1 2 2 ij ij
1
det
n
i i i i in in
j
A a A a A a A a A
n
1j 1j 2j 2j nj nj ij ij
i=1
detA = a A + a A + a A = a A
10/10/2019 86
TỔNG QUÁT
11 111 1
11 12
11 22 21 12 11 11 12 12
21 22 2 2
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 13
31 32 33
) 1 : det
) 2 : det . . . .
) 3 : det . .
a k A a thì A a
a a
b k A thì A a a a a a A a A
a a
a a a
c k A a a a thì A a A a A a A
a a a
10/10/2019 87
VÍ DỤ 3
Tính định thức sau:
Khai triển theo dòng 1:
Khai triển theo cột 1.
Nên chọn cột có nhiều số 0 để khai triển.
1 2 3
0 5 7
0 2 8
A
1+1 1+2 1+35	7 0	7 0	5
detA=1. -1 +2. -1 +3. -1
2	8 0	8 0	2
detA=1. 5.8-2.7 -2 0.8-0.7 +3 0.2-5.0 =26
1+1
21 31
5	7
detA=1. -1 +0.A +0.A 1. 5.8-2.7 =26
2	8
10/10/2019 88
ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC
DETERMINANT = a11.a22ann
10/10/2019 89
ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC
Ví dụ. Tính định thức của hai ma trận sau:
1 2 3 4 21 0 0 0
0 5 7 6 2 5 0 0
0 0 61 5 3 9 6 0
0 0 0 2 4 8 1 2
A B
10/10/2019 90
10/10/2019
16
VÍ DỤ
Tìm det(A), det(B), det(AB), det(A+B) biết rằng:
𝐴 =
−2 1
3 2
𝑣à 𝐵 =
5 −2
1 4
det(A.B) = det(A).det(B)
det(A+B) det(A) + det(B)
10/10/2019 91
VÍ DỤ
Tìm det(A), det(3A), det(A2) nếu:
𝐴 =
−2 3
1 5
o det(cA) = cndet(A) 
o det(Ak) = [det(A)]k
10/10/2019 92
TÍNH CHẤT
Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Ta có:
o det(A.B) = det(A).det(B)
o det(kA) = kndet(A)
o det(AT) = det(A)
o det(A-1) = 1/det(A)
o det(Ak) = [det(A)]k
10/10/2019 93
VÍ DỤ
o Tính các định thức sau:
|𝐴| =
−1 2 3
0 3 2
0 0 −2
= −1.3. −2 = 6,
0 3 2
−1 2 3
0 0 −2
= −6 // đổi dòng 1 với dòng 2 từ ma trận A,
2 −4 −6
0 3 2
0 0 −2
= −12 // nhân hàng 1 của ma trận A với số -2
10/10/2019 94
VÍ DỤ
o Tính định thức sau:
−1 2 −2
0 5 1
2 −4 5
= −5
và
−1 2 −2
0 5 1
0 0 1
= −5
Ma trận trong định thức sau có được từ ma trận ban đầu bằng
cách thay dòng 3 bằng (2* dòng2 + dòng 3)
Chúng có cùng định thức
10/10/2019 95
BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ GIÁ TRỊ ĐỊNH THỨC
10/10/2019 96
10/10/2019
17
ELEMENTARY OPERATIONS AND DETERMINANTS 
10/10/2019 97
EXAMPLE
10/10/2019 98
VÍ DỤ 4
10/10/2019 99
TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG BĐSC
10/10/2019 100
VÍ DỤ 5
10/10/2019 101
VÍ DỤ 5
10/10/2019 102
10/10/2019
18
NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC
1.
2. 
3. 
10/10/2019 103
VÍ DỤ 6 – SINH VIÊN TỰ LÀM
Tính định thức ma trận sau:
1 2 3 4
1 2 3
0 5 7 6
0 5 7
1 2 8 5
1 2 8
0 0 0 2
A B
1 2 1 5
0 6 4 3
C= 
1 3 4 6
1 2 4 5
10/10/2019 104
VÍ DỤ
10/10/2019 105
ĐỊNH THỨC – HẠNG – KHẢ NGHỊCH
Định thức con của ma trận:
Cho A là ma trận cấp mxn. Chọn các phần tử nằm trên 
giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận 
vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k này ta 
gọi là định thức con cấp k của A.
Hỏi. Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A 
cấp mxn
- Số cách chọn k dòng
- Số cách chọn k cột
 Số định thức con cấp k???
10/10/2019 106
VÍ DỤ 8
Cho ma trận A.
Hãy lập tất cả các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3?
Định thức con cấp mấy lớn nhất?
1 0 1 2
0 1 2 1
1 1 3 3
A
10/10/2019 107
HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp m.n khác O. Hạng
của ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp cao
nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A.
Nếu rank(A)=r thì:
a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A .
b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì
phải bằng 0.
10/10/2019 108
10/10/2019
19
ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT
Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có:
Nếu ma trận A khả nghịch thì:
det 0
det 0
n
A A I
A r A n
A A
A A
i) khaû nghòch
ii) khaû nghòch
iii) khaû nghòch
iv) khoâng khaû nghòch
11 1) det )det det
det
n
A
a A b P A
A
10/10/2019 109
MA TRẬN PHỤ HỢP (CONJUGATE MATRIX)
Ma trận phụ hợp của ma trận A, ký hiệu adj(A) hay PA
 Là ma trận chuyển vị của ma trận chứa các phần bù đại
số của ma trận A.
11 12 1 1
21 22
11
12
21
2
1
22
21
2
2
...
...
... ... ... ...
...
T
T
ij
n n
n n
A
nnn nn n nn
A
A
A
adjA A
A A A A
A A A A
P
AA A A A
A
A
10/10/2019 110
VÍ DỤ
Cho ma trận
A) Tìm ma trận phụ hợp của A
B) Tính các ma trận tích sau:
.
.
A
A
A P
P A
10/10/2019 111
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO – MA TRẬN PHỤ HỢP
1 1
det A
A P
A
Định lý. Nếu A là ma trận vuông thì:
Nếu detA≠0 thì ma trận A khả nghịch và ma trận
nghịch đảo của A cho bởi công thức sau:
 A A detA.P =P .A=k.I, k A
10/10/2019 112
VÍ DỤ
1
1 1 2 2 1 3
0 2 1 det 2, 0 1 1
0 0 1 0 0 2
2 1 3 1 1 / 2 3 / 2
1 1
0 1 1 0 1 / 2 1 / 2
det 2
0 0 2 0 0 1
A
A
A A P
A P
A
Chú ý: 
10/10/2019 113
VÍ DỤ 9
Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có
3 4 6
0 1 1
2 3 4
A
det ???A
10/10/2019 114
10/10/2019
20
VÍ DỤ 9
Bước 1. Tính detA
Ta có:
detA≠0 nên ma trận A khả nghịch.
Ta tìm các phần bù đại số và lập ma trận phụ hợp PA
3 4 6 3 4 2
3 2
det 0 1 1 0 1 0 1
2 1
2 3 4 2 3 1
A
10/10/2019 115
VÍ DỤ 9
Ta có:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1 0 1 0 1
1 2 2
3 4 2 4 2 3
4 6 3 6 3 4
2 0 1
3 4 2 4 2 3
4 6 3 6 3 4
2 3 3
1 1 0 1 0 1
A A A
A A A
A A A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 2 2 1 2 2
2 0 1 2 0 1
2 3 3 2 3 3
T
A
A A A
A A A P
A A A
10/10/2019 116
VÍ DỤ 13
Ta có:
1 2 2 1 2 2
2 0 1 2 0 3
2 3 3 2 1 3
1 2 2 1 2 2
1 1
2 0 3 2 0 3
det 1
2 1 3 2 1 3
T
A
A
P
A P
A
10/10/2019 117
BÀI 1
Tính định thức của các ma trận sau:
B
10/10/2019 118
BÀI 2
10/10/2019 119
BÀI 3
10/10/2019 120
10/10/2019
21
BÀI 3
10/10/2019 121
BÀI 4
10/10/2019 122
BÀI 5
10/10/2019 123
BÀI 6
10/10/2019 124
BÀI 7
10/10/2019 125
GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES
1. Nhập ma trận.
Nhấn Mode 6 (Matrix) Chọn 1( matA) Chọn matrix 
có số dòng và cột tương ứng cần tính toán. 
Nhập kết quả vào bằng phím =,
Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B 
bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix) 1 (Dim) 2 (MatB)
Lập lại tương tự cho MatC.
Lưu ý: nên nhập qua Shift +4 +1 để đỡ bị lỗi
10/10/2019 126
10/10/2019
22
GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES
2. Tính định thức
Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4 
(Matrix) 7 (Det) Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) =
3. Tìm ma trận nghịch đảo
Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA: 
Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) x-1
(x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode)
4. Giải phương trình: AX = B
Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA x-1 x 
 MatB để cho kết quả của X.
10/10/2019 127
KIỂM TRA 20PH
Bài 1. Cho hai ma trận:
Tìm:
Bài 2. Tìm r(A) và ma trận nghịch đảo của A nếu có:
3 4 6
0 1 1
2 3 4
A
3 4 6 1 2 3
0 1 1 2 4 9
2 3 4 2 16 5
A B
2) 3 2 ) 2 ) .Ta A B I b A B c AB
10/10/2019 128