Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian véctơ

Chương 3. Không gian véctơ 
§1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉCTƠ 
1.1. Định nghĩa. Một tập V ≠ được gọi là không gian véctơ 
(không gian tuyến tính) trên (hay không gian véctơ) nếu: 

 Có 2 phép toán: 
• Phép cộng 2 véctơ: 
• Phép nhân 1 số với véctơ ( phép nhân vô hướng): 
∅
_ℝℝ
V V V (PhÐp céng khÐp kÝn) 
 (x, y) x y
× →
+֏
V V (PhÐp nh©n v« h−íng khÐp kÝn) 
( , x) x
× →
α α
ℝ
֏

 Hai phÐp to¸n trªn tháa m·n 8 tiªn ®Ò sau: 
x, y, z V; ,∀ ∈ ∀α β ∈ ℝ
( )
+ + = + +
+ = +
θ ∈ θ + =
θ
∀ ∈ ∃ − ∈ + − = θ
−
1) Céng kÕt hîp: (x y) z x (y z ) 
2) Céng giao ho¸n: x y y x
3) Tån t¹i phÇn tö V sao cho: x x. 
PhÇn tö ®−îc gäi lµ phÇn tö trung hßa.
4) Víi x V , x V sao cho: x ( x ) .
PhÇn tö x ®−îc gäi lµ
α + = α + α
α + β = α + β
αβ = α β
=
 phÇn tö ®èi cña x.
5) (x y) x y
6) ( )x x x
7) ( )x ( x )
8) T iªn ®Ò Unita: 1 .x x
Mỗi phÇn tö cña V ®ưîc gäi lµ mét vÐct¬. Mỗi phÇn tö trong ®ưîc 
gäi lµ v« hưíng. 
ℝ
VD1. 
{ }n 1 2 n i
1 1 2 2 n n
1 2 n 1 2 n
TËp gåm tÊt c¶ c¸c bé n sè thùc: (x ,x ,...,x ) x ;i 1,n
lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn víi 
 PhÐp céng 2 vÐct¬ : x y (x y ,x y ,...,x y )
víi x (x ,x ,...,x ); y (y ,y ,...,y )
 PhÐp nh©n v« h−ín
= ∈ =
+ = + + +
= =
ℝ ℝ
ℝ
i
i 1 2 n
1 2 n
g: x ( x , x ,..., x )
(0,0,...,0); x ( x , x ,..., x )
α = α α α
⇒θ= − = − − −
VD2. Ký hiÖu: R2 lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c vÐct¬ tù do trong mÆt ph¼ng 
víi phÐp céng vÐct¬ vµ phÐp nh©n 1 sè thùc víi vÐct¬ ®ưîc ®Þnh nghÜa 
như ë phæ th«ng. Khi ®ã R2 lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn ℝ
0; vÐct¬ ®èi cña x lµ x⇒ θ= −
  
Tư¬ng tù: R3 lµ tÊt c¶ c¸c vÐct¬ tù do trong kh«ng gian víi phÐp céng 
vµ nh©n v« hưíng như trªn còng lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn ℝ
VD3. Ký hiÖu: Pn[x] lµ tËp tÊt c¶ c¸c ®a thøc víi hÖ sè thùc cã bËc 
kh«ng qu¸ n (n ), tøc: 
víi phÐp céng 2 ®a thøc vµ phÐp nh©n 1 sè víi ®a thøc th«ng thưêng. 
Khi ®ã Pn[x] lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn 
 VD4. Ký hiÖu: lµ tËp tÊt c¶ c¸c ma trËn cì m×n trªn víi 
phÐp to¸n céng 2 ma trËn vµ nh©n 1 sè víi ma trËn. Khi ®ã 
lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn 
∗∈ℕ
[ ] { }2 nn o 1 2 n iP x a a x a x ... a x a ; i 0, n= + + + + ∈ =ℝ
ℝ
2 n
2 n
o 1 2 n
 0 0 .x 0 .x ... 0 .x
 p (x ) a a x a x ... a x
⇒ θ = + + + +
− = − − − − −
( )m nM × ℝ ℝ
( )m nM × ℝ
ℝ
 1.2. Các tính chất. 
Định lý. Trong không gian véctơ V ta có: 

 Véctơ là duy nhất 

 Véctơ đối của véctơ là duy nhất 

 ta có 

 ta có 

 ta có 

 Với ta có 
Định nghĩa. 
θ
x V∈
x V∀ ∈ 0.x = θ
x V∀ ∈ ( )1 .x x− = −
k∀ ∈ ℝ k.θ = θ
x V , k∈ ∈ ℝ
k 0
kx
x
 =
= θ ⇔
 = θ
( )x, y V : x y x y∀ ∈ − = + −
§2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC 
TUYẾN TÍNH 
2.1. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian vÐct¬ V vµ hÖ vÐct¬ a1, a2,..., an V ∈
=
= λ = λ + λ + + λ ∈ λ λ λ ∈
=
∑
i
ℝ
n
i i 1 1 2 2 n n 1 2 n
i 1
i
 Mét cña hÖ vÐct¬ ®· cho lµ 1 tæng cã d¹ng:
x a a a ... a V, tr
tæ hîp tuyÕn tÝnh (thtt)
biÓu thÞ tuyÕn t
ong ®ã: , ,...,
Khi ®ã ta nãi x quaÝnh c¸c vÐct¬ a , i 1, n
Nh− vËy, vÐct
{ }
θ
λ λ λ ∈
θ λ + λ + + λ
i
ℝ
1 2 n
1 2 n
1 1 2 2 n n
¬ lµ thtt cña mäi hÖ vÐct¬.
 HÖ vÐct¬ a ,a ,..., a ®−îc gäi lµ 
 nÕu tån t¹i c¸c sè , ,..., kh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao
 cho thtt cña hÖ b»ng tøc 
phô thuéc t
a a
uyÕn tÝnh (pt
...
tt
a
)
( )
{ }
= θ
λ + λ + + λ = θ
λ = ∀ =
i 1 2 n
1 1 2 2 n n
i
.
 HÖ vÐct¬ a ,a ,...,a ®−îc gäi lµ 
 nÕu nã kh«ng pttt, tøc lµ tõ a
®éc lËp 
a ... a
suy ra 
tuyÕn tÝnh 
0; i
(®ltt)
1, n
VD 1. 
= =
=− + = − − − + =
=
ℝ
31) Trong : x (1,2,3); y (4,5,6)
Ta cã: z 2x 3y ( 2, 4, 6) (12,15,18) (10,11,12)
Khi ®ã z (10,11,12) lµ thtt cña c¸c vÐct¬ x vµ y
= − ∈ℝ3 z (7, 3,0)2) Véctơ có phải là thtt của hệ hai véctơ 
 không ? = = −x (1,1,0); y (1, 1,0)
{ }
( ) ( )
= − =
λ + λ =λ +λ =θ⇔ λ −λ + λ λ = ⇔
−λ + λ =
λ =λ =
= ≠
−
ℝ
2
1 2
1 2 1 1 2 2
1 2
1 2
Trong : x (1, 1); y (2,3). HÖ x,y ®ltt v×:
2 0
XÐt x y , 2 ,3 (0,0)
3 0
Gi¶i hÖ suy ra 0 (hoÆc v× hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn 
1 2
nhÊt cã 5 0 nªn hÖ chØ cã 
1 3
nghiÖm tÇm th−êng).
VD 2. 
{ }
= − = =
−λ + λ =λ +λ +λ =θ ∗ ⇔ λ + λ =
 λ +λ + λ =
−
ℝ
3
1 2
1 2 3 1 3
1 2 3
 Trong : x ( 1,3,2); y (2,0,1); z (0,6,5).
2 0
HÖ x,y,z pttt v×: XÐt x y z ;( ) 3 6 0 
2 5 0
1 2 0
§©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cã 3 0 6 =
λ λ λ
∗
1 2 3
0 
2 1 5
nªn hÖ cã nghiÖm kh«ng tÇm th−êng, tøc tån t¹i c¸c sè , ,
kh«ng ®ång thêi b»ng 0 ®Ó ( ) ®óng. VËy hÖ pttt. 
2.2. §Þnh lý. HÖ vÐct¬ a1, a2,..., an trong kh«ng gian vÐct¬ V lµ pttt khi 
vµ chØ khi cã mét trong c¸c vÐct¬ cña hÖ lµ thtt cña c¸c vÐct¬ cßn l¹i. 
VD 3.
2.3. HÖ qu¶. 
 Mäi hÖ chøa vÐct¬ kh«ng ®Òu pttt 

 NÕu cã mét hÖ con cña hÖ pttt th× hÖ ®· cho còng pttt 
 Như vËy, nÕu hÖ ®ltt th× mäi hÖ con cña hÖ còng ®ltt 
VD. XÐt VD.1) ë trªn th× hÖ {x,y,z} pttt v× z = -2x +3y. 
Nhưng hÖ {x,y} ®ltt v×: 
⇒
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
 4 0
XÐt x y 2 5 0 0
3 6 0
 λ + λ =λ +λ =θ⇔ λ + λ = ⇒λ =λ =
 λ + λ =
§3. CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉCTƠ 
3.1. §Þnh nghÜa. 
Cho kh«ng gian vÐct¬ V. HÖ vÐct¬ E = {e1, e2,...,en} ®ưîc gäi lµ c¬ së 
cña V nÕu 

 HÖ E ®ltt. 

 HÖ E lµ hÖ sinh (hay tËp sinh) của V, tøc víi V th× x lµ thtt cña 
hÖ E, nghÜa lµ 
Khi ®ã ta còng nãi E sinh ra V. 
Bé sè ®ưîc gäi lµ täa ®é cña vÐct¬ x ®èi víi c¬ së E vµ 
ký hiÖu lµ 
x∀ ∈
i
1 1 n n
tån t¹ i c¸c sè x , i 1, n sao cho 
x x e ... x e
∈ =
= + +
ℝ
∈ℝn1 2 n(x,x ,...,x )
E 1 2 nx (x ,x ,...,x ) =
Bæ ®Ò. Víi mçi vÐct¬ V th× täa ®é ®èi víi mét c¬ së E lµ duy nhÊt 
§Þnh lý. 
x ∈
E 1 n E 1 n
E 1 1 n n
E 1 n
 NÕu x (x ,...,x ) vµ y (y ,..., y ) th×
 (x y) (x y ,...,x y )
 ( x) ( x ,..., x ); 
= =
+ = + +
λ = λ λ λ ∈
i
i ℝ
VD. 
( ) ( )
( )
2
1 2 1 2
2 2
1 1 2 2 1 2
1 2 1 2
1) Trong : XÐt e (1,0); e (0,1). HÖ E {e ,e } lµ mét c¬ së 
cña vµ ®−îc gäi lµ c¬ së chÝnh t¾c cña . ThËt vËy:
 E ®ltt v×: XÐt e e ,0 0, (0,0)
( , ) 0,0 0.
 E lµ hÖ sinh
= = =
λ +λ =θ⇔ λ + λ =
⇔ λ λ = ⇒λ =λ =
ℝ
ℝ ℝ
i
i
2
1 2 1 2 1 1 2 2
 v×: x ta cã
x (x ;x ) x (1,0) x (0,1) x e x e . VËy x lµ mét thtt cña E.
∀ ∈
= = + = +
ℝ
( ) ( )
2
1 2
1 1 2 2 1 1 2
1
1 2
1 2
2
1 2
1
2) Trong : XÐt hÖ F {e (1, 1); e (0,1). Ta cã
 HÖ F ®ltt v×: XÐt e e , 0, (0,0)
0
0.
0
 HÖ F lµ hÖ sinh v×: LÊy bÊt kú x (x ;x ) , t×m a, b sao cho
x ae b
= = − =
λ +λ =θ⇔ λ −λ + λ =
λ =⇔ ⇒λ =λ =
−λ +λ =
= ∈
= +
ℝ
i
i ℝ
2 1 2
1 1
1 1 1 2 2
2 1 2
2
e (x ;x ) a(1, 1) b(0,1) (a,b a)
a x a x
x x e (x x )e
b a x b x x
x lµ mét thtt cña F.
VËy F lµ mét c¬ së cña .
⇔ = − + = −
 = =  ⇔ ⇒ ⇒ = + + 
 − = = +  
⇒
ℝ
n
1
2
3) Hoµn toµn t−¬ng tù, trong : XÐt hÖ vÐct¬ e (1,0,...,0)
 e (0,1,...,0)
=
=
ℝ
n
n
1 2 n
 ....................... 
 e (0,0,...,1)
HÖ E {e ,e ,...,e } lµ mét c¬ së cña vµ ®−îc gäi lµ 
=
⇒ = ℝ
n
c¬ së
chÝnh t¾c cña .
ℝ
NhËn xÐt. Mét kh«ng gian vÐct¬ cã thÓ cã nhiÒu c¬ së. 
3.2. H¹ng cña hÖ vÐct¬ 
Trong kh«ng gian vÐct¬ V cho hÖ vÐct¬ S = {a1,a2, ... ,am}. Gi¶ sö 
kh«ng gian vÐct¬ V cã c¬ së E = {e1,e2, ... ,en}. BiÓu diÔn mçi vÐct¬ 
cña hÖ S theo c¬ së E ta cã 
1 11 1 12 2 1n n
2 21 1 22 2 2n n
m m1 1 m2 2 mn n
a a e a e ... a e
a a e a e ... a e
............................................
a a e a e ... a e
= + + +
= + + +
= + + +
      =      
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a ... a
a a ... a
Ma trËn A 
a a ... a
®ưîc gäi lµ ma trËn täa ®é 
cña hÖ vÐct¬ S ®èi víi c¬ së E 
§Þnh nghÜa . H¹ng cña hÖ vÐct¬ S (ký hiÖu: r(S)) lµ sè r sao cho: 

 Cã r vÐct¬ cña S ®ltt. 

 Mäi vÐct¬ cña hÖ S ®Òu lµ thtt cña r vÐct¬ ®ã. 
NhËn xÐt. 

 H¹ng cña hÖ vÐct¬ S lµ sè r khi vµ chØ khi tån t¹i r vÐct¬ cña hÖ S ®ltt 
vµ mäi hÖ gåm (r + 1) vÐct¬ cña S ®Òu pttt. 

 H¹ng cña hÖ vÐct¬ S lµ sè tèi ®a c¸c vÐct¬ ®ltt cña hÖ. 

 Cã thÓ xÐt sù ®ltt hay pttt cña hÖ S gồm m vÐct¬ th«ng qua xÐt h¹ng 
cña hÖ, nếu r(S) = m th× hÖ S ®ltt, nÕu r(S) < m th× hÖ S pttt 
§Þnh lý 1. NÕu V lµ kh«ng gian vÐct¬ cã mét c¬ së h÷u h¹n th× h¹ng 
cña mét hÖ vÐct¬ trong V b»ng h¹ng cña ma trËn täa ®é cña hÖ ®ã ®èi 
víi mét c¬ së bÊt kú cña V. 
NhËn xÐt. Xét hệ S có m véctơ. Khi đó: 
• NÕu r(A) = m th× hÖ S ®ltt. 
• NÕu r(A) < m th× hÖ S pttt 
VD. T×m h¹ng cña hÖ vÐct¬ S = {a1, a2, a3, a4} víi a1 = (1,3,0), 
a2 = (0,2,4), a3 = (1,5,4), a4 = (1,1,-4). 
§Þnh lý 2. NÕu trong kh«ng gian vÐct¬ V cã mét c¬ së gåm n vÐct¬ 
th× mäi hÖ gåm (n+1) vÐct¬ trong V ®Òu pttt. 
HÖ qu¶. NÕu kh«ng gian vÐct¬ V cã mét c¬ së gåm n vÐct¬ th× sè 
vÐct¬ cña mét c¬ së bÊt kú cña V còng b»ng n. 
3⊂ℝ
3.3. §Þnh nghÜa. Mét kh«ng gian vÐct¬ V ®ưîc gäi lµ kh«ng gian 
vÐct¬ h÷u h¹n chiÒu nÕu tån t¹i mét c¬ së trong V gåm mét sè h÷u 
h¹n vÐct¬. Sè vÐct¬ trong c¬ së cña V gäi lµ sè chiÒu cña V vµ ký 
hiÖu lµ: dimV 
VD. 1) lµ kh«ng gian vÐct¬ h÷u h¹n chiÒu, dim = n 
2) Trong Pn[x]: HÖ vÐct¬ {1, x, x
2,..., xn} lµ c¬ së chÝnh t¾c cña Pn[x], 
do đó Pn[x] là không gian véctơ hữu hạn chiều, dimPn[x] = n + 1. 
3) Trong kh«ng gian vÐct¬ : 
XÐt hÖ vÐct¬ {eij} mµ eij, lµ ma trËn cì m×n mµ 
phÇn tö ë vÞ trÝ (i,j) bằng 1 vµ c¸c phÇn tö ë vÞ trÝ kh¸c b»ng 0, tøc 
n
ℝ
n
ℝ
m nM ( )× ℝ
1 i m, 1 j n≤ ≤ ≤ ≤
                           = = =                             
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
11 12 mn
1 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 ... 0
0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0
e ; e ;...; e
0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 1
HÖ E = {e11, e12,..., emn} lµ c¬ së chÝnh t¾c cña . VËy 
lµ kh«ng gian vÐct¬ h÷u h¹n chiÒu, dim = m.n 
m nM ( )× ℝ m nM ( )× ℝ
m nM ( )× ℝ
§Þnh lý. NÕu V lµ kh«ng gian vÐct¬ n chiÒu th× mäi hÖ gåm n vÐct¬ 
®ltt trong V ®Òu lµ c¬ së cña V. 
VD. Hệ 
có là cơ sở của không? 
( ) ( ) ( ){ }= = = − =1 2 3S a 1,1, 2 , a 1, 1, 0 , a 2 , 0 ,1
ℝ
3
3.4. Không gian véctơ con 
3.4.1. §Þnh nghÜa. 
Cho kh«ng gian vÐct¬ V. TËp con ®ưîc gäi lµ kh«ng gian 
vÐct¬ con (hay kh«ng gian con) cña V nÕu A còng lµ kh«ng gian vÐct¬ 
víi hai phÐp to¸n trªn V. 
3.4.2. §Þnh lý. (Tiªu chuÈn kh«ng gian con) 
Cho kh«ng gian vÐct¬ V. TËp con lµ kh«ng gian vÐct¬ con 
cña V khi vµ chØ khi: 
A V∅≠ ⊂
A V∅≠ ⊂
 a,b A th× a b A
 , a A th× a A
 ∀ ∈ + ∈
 ∀α ∈ ∀ ∈ α ∈
i
i ℝ
VD1. 
Cho V lµ mét kh«ng gian vÐct¬. Khi ®ã 

 V lµ kh«ng gian con cña V. 

 TËp lµ kh«ng gian con cña V. 
Hai kh«ng gian con vµ V lµ hai kh«ng gian con tÇm thưêng cña V 
VD2. 
Cho tËp hîp . 
Chøng minh r»ng A lµ kh«ng gian vÐct¬ con cña 
 VD3. 
Chøng minh r»ng tËp hîp lµ kh«ng 
 gian con cña kh«ng gian vÐct¬ 
{ }Vθ
{ }Vθ
{ }31 2 3 1 2 3A x (x ,x ,x ) 2x x x 0= = ∈ + + =ℝ
3
ℝ
0 a
A a,b
b 0
     = ∈      
ℝ
2M ( )ℝ
3.4.3. Kh«ng gian con sinh bëi hÖ vÐct¬. 
§Þnh nghÜa 1. Cho kh«ng gian vÐct¬ V vµ S = {a1, a2, ... , an} lµ mét 
hÖ vÐct¬ cña V. Ta gäi tËp tÊt c¶ c¸c thtt cña hÖ S lµ bao tuyÕn tÝnh 
cña S, ký hiÖu lµ spanS. Như vËy 
§Þnh lý 1. SpanS lµ mét kh«ng gian con cña V 
§Þnh nghÜa 2. SpanS ®ưîc gäi lµ kh«ng gian vÐct¬ con sinh bëi hÖ 
vÐct¬ S vµ ký hiÖu lµ = = SpanS 
{ }1 1 2 2 n n i iSpanS a a ... a ;a V= λ +λ + +λ λ ∈ ∈ℝ
VD1. XÐt A lµ kh«ng gian con cña như trong VD2 trong môc 4.2. 
Ta cã: 
Do ®ã: 
Suy ra A = víi S = {(1,0,-2); (0,1,-1)}. VËy S lµ hÖ sinh cña A. 
KiÓm tra thÊy S ®ltt. Do ®ã S lµ c¬ së cña A. VËy dimA = 2 
§Þnh lý 2. NÕu S lµ kh«ng gian vÐct¬ con cña kh«ng gian vÐct¬ h÷u 
h¹n chiÒu V th× S lµ kh«ng gian vÐct¬ h÷u h¹n chiÒu vµ dimS ≤ dimV. 
DÊu “=“ x¶y ra khi vµ chØ khi S = V. 
MÖnh ®Ò. NÕu {e1, ... , ek} lµ c¬ së cña kh«ng gian vÐct¬ con S cña 
kh«ng gian vÐct¬ n chiÒu V th× tån t¹i c¸c vÐct¬ ek+1, ... , en thuéc V sao 
cho {e1, ... , ek, ek+1, ... , en } lµ c¬ së cña V. 
3
ℝ
( )1 2 3 1 2 3 3 1 2x x ,x ,x A 2x x x 0 x 2x x∀ = ∈ ⇔ + + = ⇔ =− −
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2x x ,x , 2x x x 1,0, 2 x 0,1, 1= − − = − + −
§Þnh lý 3. 
1) lµ kh«ng gian con nhá nhÊt chøa S. 
2) dim = r(S). 
NhËn xÐt. NÕu dim = k th× mäi hÖ gåm k vÐct¬ ®ltt cña S ®Òu 
lµ c¬ së cña 
VD2. XÐt hÖ vÐct¬ S trong VD môc 3.2. T×m dim vµ mét c¬ 
së cña 
3.5. Kh«ng gian nghiÖm cña hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt 
XÐt hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt m phư¬ng tr×nh, n Èn: 
 AX = O (1) 
Ký hiÖu: TËp hîp nghiÖm cña hÖ (1) lµ N 
§Þnh lý 1. N lµ mét kh«ng gian con cña , nã ®ưîc gäi lµ kh«ng gian 
nghiÖm cña hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (1) vµ dimN = n – r; 
víi r = r(A) 
§Þnh nghÜa. Mçi c¬ së cña kh«ng gian nghiÖm cña hÖ phư¬ng tr×nh 
tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (1) ®ưîc gäi lµ mét hÖ nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ 
phư¬ng tr×nh ®ã. 
n
ℝ
NÕu lµ mét hÖ nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ (1) th× 
 ®ưîc gäi lµ 
mét nghiÖm tæng qu¸t cña (1). Do ®ã 
1 1 2 2 n r n r ic c ... c ; víi c ; i 1,n r− −β + β + + β ∈ = −ℝ
NhËn xÐt. NÕu (1) lµ hÖ phư¬ng t×nh Cramer th× hÖ chØ cã duy nhÊt 
nghiÖm tÇm thưêng. Tøc N = {(0,0,...,0)}, do ®ã dimN = 0 
{ }1 2 n r, ,..., −β β β
{ }1 1 2 2 n r n r iN c c ... c ; víi c ; i 1,n r− −= β + β + + β ∈ = −ℝ
VD1. T×m mét hÖ nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ phư¬ng tr×nh sau vµ gi¶i 
hÖ phư¬ng tr×nh ®ã 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
 x 7x 8x 9x 0
2x 3x 3x 2x 0
5x x 2x 5x 0
3x 13x 14x 13x 0
 + − + = − + − =
 + − + = − + − =
Dùa vµo mèi liªn hÖ gi÷a nghiÖm cña hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 
tæng qu¸t vµ nghiÖm cña hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt 
tư¬ng øng ta suy ra: NÕu biÕt mét nghiÖm nµo ®ã cña hÖ phư¬ng 
tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t vµ tËp hîp N c¸c nghiÖm cña hÖ phư¬ng 
tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt tư¬ng øng th× ta suy ra tËp tÊt c¶ c¸c 
nghiÖm cña hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t lµ: 
λ
{ }N u u Nλ+ = λ+ ∈
VD2. Gi¶i hÖ phư¬ng tr×nh sau: 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
 x 7x 8x 9x 3
2x 3x 3x 2x 5
5x x 2x 5x 13
3x 13x 14x 13x 7
 + − + = − + − =
 + − + = − + − =
3.6. §æi c¬ së vµ phÐp biÕn ®æi täa ®é. 
Cho V lµ kh«ng gian vÐct¬ n chiÒu cã c¸c c¬ së lµ 
Gi¶ sö biÓu diÔn c¸c phÇn tö cña c¬ së E’ qua c¬ së E ta ®ưîc: 
{ } { }1 2 n 1 2 nE e , e , . . . , e ; E e , e , . . . , e′ ′ ′ ′= =
1 1 1 1 2 1 2 n 1 n
2 1 2 1 2 2 2 n 2 n
n 1 n 1 2 n 2 n n n
e a e a e .. . a e
e a e a e .. . a e
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e a e a e .. . a e 
′ = + + +
′ = + + +
′ = + + +
 Ma trËn 
      =      
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a ... a
a a ... a
A 
a a ... a
®ưîc gäi lµ ma trËn chuyÓn cơ sở tõ c¬ 
së E sang c¬ së E’ vµ ký hiÖu lµ 
E E'A →
Khi ®ã A-1 ®ưîc gäi lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E’ sang c¬ së E. 
Cho V. Gi¶ sö 
Khi ®ã ta cã c«ng thøc chuyÓn tõ täa ®é sang täa ®é 
 lµ 
x ∈ ( ) ( )E 1 2 n 1 2 nEx x , x ,..., x vµ x x , x ,..., x′ ′ ′ ′= =
( )1 2 nx , x , ..., x′ ′ ′
( )1 2 nx , x ,..., x [ ] [ ]E Ex A x ′=
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
E E
1 1
TT2 2
1 2 n 1 2 nE E
n n
Trong ®ã: x vµ x lµ c¸c ma trËn cét täa ®é
x x
x x
x x x ... x ; x x x ... x
x x
′
′
   ′
  
   ′
    ′ ′ ′= = = =    
  
   ′      
⋮ ⋮
V× ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E’ sang c¬ së E lµ A-1 nªn c«ng thøc 
chuyÓn tõ täa ®é sang täa ®é lµ 
( )1 2 nx , x , ..., x ( )1 2 nx , x ,..., x′ ′ ′
[ ] [ ]1
E E
x A x−
′
=
NhËn xÐt. Cho lµ c¸c c¬ së 
cña kh«ng gian vÐct¬ n chiÒu V 
NÕu A lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E sang c¬ së E’ 
 B lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E’ sang c¬ së E’’ 
th× AB lµ ma trËn chuyÓn tõ c¬ së E sang c¬ së E’’ 
VD1. Trong , cho c¸c c¬ së 
a) T×m ma trËn chuyÓn c¬ së 
b) T×m nÕu 
VD2. Trong , cho c¸c c¬ së 
T×m biÕt 
{ } { } { }i i iE e , E e , E e′ ′ ′′ ′′= = =
2
ℝ { }
{ }
1 2
1 2
E e (1, 0); e (0,1) 
E e (1,1); e (2,1)
= = =
′ ′ ′= = =
E E'A →
[ ]
E
x
′ E
x (7,2)=
2
ℝ { }
{ }
1 2
1 2
E e (1, 0); e (0, 1) 
E e (2, 1); e (1,1)
= = = −
′ ′ ′= = − =
[ ]
E
x Ex (1,2)′ =
§4. KHÔNG GIAN EUCLIDE 
4.1. Định nghĩa. Cho kh«ng gian vÐct¬ V trªn , lÊy bÊt kú x, y V. 
TÝch v« hưíng cña x vµ y lµ mét sè thùc, ký hiÖu lµ tháa m·n 
c¸c tÝnh chÊt sau: 
▪ Kh«ng gian vÐct¬ V h÷u h¹n chiÒu trªn cïng víi mét tÝch v« 
hưíng ®· cho trªn V ®îc gäi lµ mét kh«ng gian Euclide. 
VD. Kh«ng gian vÐct¬ lµ kh«ng gian Euclide víi tÝch v« hưíng 
th«ng thưêng (tÝch v« hưíng Euclide) tư¬ng tù như trong vµ 
ℝ ∈
1) x, x 0 vµ x, x 0 x
2) x, y y, x
3) x y, z x, z y, z ; z V
4) x, y x, y ;
≥ = ⇔ = θ
=
+ = + ∀ ∈
λ = λ ∀λ ∈ ℝ
ℝ
n
ℝ
2
ℝ
3
ℝ
( ) ( )1 n 1 n 1 1 n nx, y x , ..., x , y , ..., y x y ... x y= = + +
4.2. §é dµi cña vÐct¬ 
§Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian Euclide V vµ x V. §é dµi (hay chuÈn) 
cña vÐct¬ x, ký hiÖu lµ sè thùc ®ưîc x¸c ®Þnh bëi 

 NÕu = 1 th× x ®ưîc gäi lµ vÐct¬ ®¬n vÞ. 

 d(x,y) = ®ưîc gäi lµ kho¶ng c¸ch gi÷a x vµ y. 

 ViÖc chia mét vÐct¬ kh¸c cho ®é dµi cña nã ®ưîc gäi lµ chuÈn 
hãa vÐct¬ ®ã. Khi ®ã ta sÏ ®ưîc vÐct¬ ®¬n vÞ. Tøc 
∈
x x,x=x
x
x y−
θ
x
y y 1
x
= ⇒ =
VD. Trong kh«ng gian Euclide , cho ta cã 
 gäi lµ ®é dµi Euclide cña x 
2 2
1 nx x, x x ... x= = + +
n
ℝ ( )1 nx x ,..., x=
n∈ℝ
≥ = ⇔ = θ
λ = λ ∀λ ∈
+ ≤ +
≤
i
i ℝ
i
i
 x 0 vµ x 0 x 
 x x ;
 x y x y ; (bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c)
 BÊt ®¼ng thøc Cauchy-Schwartz: x, y x y 
TÝnh chÊt. 
VD. 
Trong kh«ng gian Euclide víi tÝch v« hưíng th«ng thưêng, bÊt 
®¼ng thøc C-S lµ: 
n
ℝ
n n n
2 2
i i i i
i 1 i 1 i 1
x y x y
= = =
≤∑ ∑ ∑
4.3. VÐct¬ trực giao 
§Þnh nghÜa. Trong mét kh«ng gian Euclide V, hai vÐct¬ x, y 
®ưîc gäi lµ trùc giao (hay vu«ng gãc) nÕu vµ ký hiÖu 
VD. Trong với tích vô hướng Euclide cho 
Khi đó: 
Vậy x, y là hai véctơ trực giao 
NhËn xÐt. VÐct¬ ®ưîc coi lµ trùc giao víi mäi vÐct¬ cña V 
≠θ
x,y 0= x y⊥
θ
2
ℝ
( ) ( )= − =x 2, 1 ,y 2,4
( )= + − =x,y 2.2 1 .4 0
4.4. HÖ vÐct¬ trùc giao, trùc chuÈn 
§Þnh nghÜa 1. 

 Mét hÖ vÐct¬ trong kh«ng gian Euclide ®ưîc gäi lµ hÖ trùc giao 
nÕu c¸c vÐct¬ cña hÖ trùc giao tõng ®«i mét. 

 Mét hÖ vÐct¬ trong kh«ng gian Euclide ®ưîc gäi lµ hÖ trùc chuÈn 
nÕu hÖ nµy trùc giao vµ mäi vÐct¬ cña hÖ ®Òu cã chuÈn b»ng 1. 
VD1. Trong víi tÝch v« hưíng th«ng thưêng 
3
ℝ
( ) ( ) ( ){ } 1,1,0 ; 1,1,2 ; 1, 1,1 : hÖ vÐct¬ trùc giao
1 1 1 1 2 1 1 1
 , ,0 ; , , ; , , : hÖ vÐct¬ trùc chuÈn
2 2 6 6 6 3 3 3
− −
            − −                   
i
i
§Þnh lý. Trong kh«ng gian Euclide nÕu u1, u2, ...,uk lµ mét hÖ vÐct¬ 
trùc giao vµ c¸c vÐct¬ ui th× hÖ vÐct¬ nµy ®ltt. 
NhËn xÐt. Trong mét kh«ng gian Euclide n chiÒu, mäi hÖ gåm n vÐct¬ 
kh¸c trùc giao ®Òu lµ mét c¬ së cña kh«ng gian ®ã. 
§Þnh nghÜa 2. C¬ së trong NhËn xÐt trªn ®ưîc gäi lµ c¬ së trùc giao 
cña kh«ng gian Euclide. NÕu ®é dµi cña mçi vÐct¬ trong c¬ së trùc giao 
b»ng 1 th× ta gäi nã lµ mét c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian Euclide. 
VD2. HÖ c¸c vÐct¬ trong VD1 cho ta mét c¬ së trùc giao vµ mét c¬ së 
trùc chuÈn trong 
4.5. Qu¸ tr×nh trùc giao hãa Gram - Schmidt 
Dïng ®Ó x©y dùng c¬ së trùc giao vµ c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian 
Euclide tõ mét c¬ së cho trưíc. 
,i 1,k≠θ =
θ
3
ℝ
ThuËt to¸n. 
B1. Chän {e1, ...,en} lµ mét c¬ së bÊt kú cña kh«ng gian Euclide n 
chiÒu V. 
B2. X©y dùng c¬ së trùc giao {u1, ...,un} cña V như sau: 
§Æt 1 1
2 1
2 2 12
1
3 1 3 2
3 3 1 22 2
1 2
n 1
n i
n n i2
i 1 i
u e
e ,u
u e u
u
e ,u e ,u
u e u u
u u
 ...............
e ,u
u e u
u
−
=
=
= −
= − −
= −∑
B3. X©y dùng c¬ së trùc chuÈn {v1, ...,vn} cña V b»ng viÖc chuÈn hãa 
c¸c vÐct¬ ë B2. Tøc: 
VD1. Trong kh«ng gian Euclide , h·y trùc chuÈn hãa c¬ së 
 E = {e1 = (1,-1,0); e2 = (0,1,-1); e3 = (1,1,-1)} 
VD2. Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian con của sau 
1 2 n
1 2 n i
1 2 n
u u u
v ,v ,...,v v 1; i 1,n
u u u
= = = ⇒ = ∀ =
3
ℝ
3
ℝ
( ){ }= ∈ = +ℝ31 2 3 1 2 3W x ,x ,x x x 2x
 §Þnh lý 1. Mäi kh«ng gian Euclide n chiÒu ®Òu tån t¹i c¬ së trùc chuÈn 
§Þnh lý 2. NÕu E = {e1, ...,en} lµ c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian 
Euclide n chiÒu V th× mäi x , x cã thÓ biÓu diÔn duy nhÊt dưíi d¹ng 
VD 3. XÐt c¬ së trùc chuÈn {v1, v2, v3} cña ë VD1. H·y biÓu 
diÔn x = (1,2,3) thµnh mét thtt cña c¸c vÐct¬ cña c¬ së trùc chuÈn ®ã 
V∈
n
i i
i 1
x x,e e
=
=∑
3
ℝ