Luận án Dao động và chẩn đoán vết nứt trong dầm bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
----------------------------- 
Vũ Thị An Ninh 
DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT 
TRONG DẦM BẬC 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ 
KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT 
Hà Nội - 2018
ii 
 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC 
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM 
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ 
----------------------------- 
Vũ Thị An Ninh 
DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT 
TRONG DẦM BẬC 
 Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật 
 Mã số: 62 52 01 01 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ 
KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT 
 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 
 1. GS. TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm 
 2. TS. Trần Thanh Hải 
Hà Nội – 2018 
iii 
LỜI CÁM ƠN 
 Tôi xin chân thành cám ơn hai thầy hướng dẫn khoa học GS. TSKH. Nguyễn 
Tiến Khiêm và TS. Trần Thanh Hải, đã tận tình hướng dẫn khoa học, động viên và 
giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này. 
 Tôi xin bày tỏ sự biết ơn tới sự quan tâm của Khoa Đào tạo sau đại học – 
Viện Cơ học – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, sự ủng hộ của Bộ 
môn Cơ lý thuyết - Trường Đại học Giao thông Vận tải đã giúp đỡ và tạo điều kiện 
thuận lợi cho tôi trong quá trình làm luận án. 
 Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn tới bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã 
động viên, ủng hộ tôi trong thời gian làm luận án. 
iv 
LỜI CAM ĐOAN 
 Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết 
quả được đưa ra trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất 
kỳ công trình nào khác. 
 Tác giả luận án 
 Vũ Thị An Ninh 
v 
MỤC LỤC 
LỜI CÁM ƠN ......................................................................................................... III 
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... IV 
MỤC LỤC ................................................................................................................. V 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ CÁI VIẾT TẮT ............................... VIII 
DANH MỤC CÁC BẢNG ....................................................................................... X 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ................................................................................ XI 
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ CÁC MÔ HÌNH, PHƢƠNG PHÁP VÀ 
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÔNG BỐ ............................................................. 4 
1.1. Mô hình dầm đàn hồi có vết nứt .............................................................. 4 
1.1.1. Về mô hình dầm .............................................................................. 4 
1.1.2. Mô hình vết nứt trong dầm đàn hồi đồng chất.............................. 5 
1.1.3. Mô hình vết nứt trong dầm FGM .................................................. 8 
1.2. Mô hình dao động của dầm chứa vết nứt ................................................ 9 
1.2.1. Phương trình dao động .................................................................. 9 
1.2.2. Phương pháp ma trận truyền ....................................................... 15 
1.2.3. Phương pháp Rayleigh trong lý thuyết dao động [17] ................ 17 
1.3. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong dầm .................................................. 20 
1.4. Tổng quan về dao động của dầm bậc .................................................... 22 
1.4.1. Dao động của dầm bậc không có vết nứt ..................................... 22 
1.4.2. Dao động của dầm đa bậc có vết nứt ........................................... 23 
1.5. Một số nhận xét và đặt vấn đề nghiên cứu ............................................ 25 
CHƢƠNG 2. PHÁT TRIỂN PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN TRUYỀN CHO 
DẦM ĐA BẬC CÓ VẾT NỨT ............................................................................... 28 
2.1. Dầm bậc Euler – Bernoulli có vết nứt ................................................... 28 
2.1.1. Lời giải tổng quát cho phần tử dầm Euler – Bernoulli đa vết nứt28 
vi 
2.1.2. Phương pháp ma trận truyền ....................................................... 30 
2.1.3. Kết quả số ...................................................................................... 32 
2.2. Dầm đa bậc Timoshenko có vết nứt ....................................................... 37 
2.2.1. Lời giải tổng quát cho phần tử dầm Timoshenko có vết nứt ...... 37 
2.2.2. Phương pháp ma trận truyền ....................................................... 39 
2.2.3. Kết quả số ...................................................................................... 40 
2.3. Dao động của dầm bậc FGM có vết nứt ................................................ 41 
2.3.1. Phương pháp ma trận truyền ....................................................... 42 
2.3.2. Kết quả số ...................................................................................... 43 
Kết luận chƣơng 2 .......................................................................................... 49 
CHƢƠNG 3. PHƢƠNG PHÁP RAYLEIGH TRONG PHÂN TÍCH VÀ CHẨN 
ĐOÁN VẾT NỨT TRONG DẦM ĐA BẬC ......................................................... 50 
3.1. Công thức Rayleigh trong dao động của dầm đa bậc có vết nứt ........ 50 
3.2. Tính toán tần số riêng của dầm đa bậc có vết nứt bằng công thức 
Rayleigh ........................................................................................................... 52 
3.2.1 Công thức Rayleigh tính toán tần số riêng của dầm đa bậc có vết 
nứt ............................................................................................................ 52 
3.2.2. Kết quả số ...................................................................................... 57 
3.3. Chẩn đoán vết nứt trong dầm đa bậc sử dụng công thức Rayleigh ... 61 
3.3.1. Chẩn đoán số lượng hữu hạn vết nứt .......................................... 61 
3.3.2. Chẩn đoán số vết nứt chưa biết.................................................... 63 
3.3.3. Kết quả số ...................................................................................... 65 
Kết luận chƣơng 3 .......................................................................................... 70 
CHƢƠNG 4. THỰC NGHIỆM TRÊN DẦM ĐA BẬC CÓ VẾT NỨT ............ 71 
4.1. Phƣơng pháp thử nghiệm động .............................................................. 71 
4.2. Bố trí thực nghiệm ................................................................................... 71 
4.2.1. Mô hình thực nghiệm ................................................................... 72 
4.2.2. Thiết bị đo và đo đạc thực nghiệm ............................................... 73 
vii 
4.3. Xử lý số liệu đo và kết quả đo thực nghiệm .......................................... 77 
4.3.1. Xử lý số liệu đo .............................................................................. 77 
4.3.2. Kết quả đo thực nghiệm................................................................ 78 
Kết luận chƣơng 4 .......................................................................................... 88 
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................ 89 
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ...................................................... 91 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 92 
viii 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ CÁI VIẾT TẮT 
A Diện tích mặt cắt ngang (m2). 
a Độ sâu vết nứt (m). 
b Chiều rộng của mặt cắt ngang hình chữ nhật (m). 
BU Dầm có tiết diện không đổi. 
B1S,B3S Dầm hai bậc có đoạn giữa mỏng hơn hai đoạn còn lại. 
B2S,B4S Dầm hai bậc có đoạn giữa dày hơn hai đoạn còn lại. 
C Véc tơ hằng số. 
E Mô đun đàn hồi (GPa). 
e Vị trí vết nứt (m). 
EI Độ cứng chống uốn (Nm2). 
f Tần số dao động riêng của dầm (Hz). 
FEM Phương pháp phần tử hữu hạn – Finite Element Method. 
FGM Vật liệu cơ tính biến thiên – Functionally Graded Material. 
G Mô đun trượt (GPa). 
H Ma trận truyền cho phần tử dầm. 
h Chiều của mặt cắt ngang hình chữ nhật (m). 
0h Khoảng cách từ trục trung hòa đến trục giữa của dầm. 
I, I0 Mô men quán tính hình học mặt cắt ngang (m
4
) của dầm có và không có 
nứt . 
K Độ cứng của lò xo xoắn tương đương. 
KI Hệ số tập trung ứng suất. 
L Chiều dài phần tử dầm (m). 
M Mô men uốn (Nm). 
N Lực dọc trục (N). 
ix 
n Chỉ số phân bố vật liệu (số mũ trong quy luật hàm lũy thừa). 
Q Lực cắt (N). 
t Đại diện cho vật liệu (E, G, ) ở trên của dầm. 
b Đại diện cho vật liệu (E, G, ) ở dưới của dầm. 
r= t / b Tỷ số vật liệu (E, G, ). 
T Ma trận truyền cho toàn bộ dầm. 
TMM Phương pháp ma trận truyền - Transfer Matrix Method. 
0 ( , )u x t Chuyển vị dọc trục của điểm thuộc mặt trung hòa. 
V Véc tơ trạng thái. 
W(x) Hàm riêng. 
w(x,t) Độ võng của dầm. 
0w ( , )x t Chuyển vị ngang của điểm thuộc mặt trung hòa. 
 Độ lớn vết nứt. 
 Góc xoay (rad). 
κ Hệ số điều chỉnh biến dạng trượt. 
λ Trị riêng. 
 Tham số hư hỏng. 
υ Hệ số Poisson. 
 Mật độ khối (kg/m3). 
( )z Mô tả phân bố biến dạng trượt do uốn theo chiều cao. 
ω Tần số dao động riêng của dầm (rad/s). 
x 
DANH MỤC CÁC BẢNG 
Bảng 2. 1. Điểm nút tần số của năm dạng dao động đầu tiên đối với dầm có tiết 
diện không đổi và dầm bậc........................................................................................ 33 
Bảng 2. 2. Tần số của dầm FGM có các đoạn bị nứt khác nhau với các điều kiện 
biên cố điển. .............................................................................................................. 44 
Bảng 3. 1. So sánh các tần số riêng tính được với tần số riêng đo được bằng thực 
nghiệm cho dầm công xôn một bậc (hai đoạn). ........................................................ 58 
Bảng 3. 2. So sánh tần số riêng tính bằng tỷ số Rayleigh với FEM [60] cho dầm 
công xôn một bậc (có một vết nứt tại đoạn thứ nhất). .............................................. 59 
Bảng 3. 3. So sánh tần số riêng tính bằng tỷ số Rayleigh với TMM và FEM [50] cho 
dầm công xôn hai bậc (ba đoạn). .............................................................................. 59 
Bảng 3. 4. Kết quả chẩn đoán vết nứt trong dầm công xôn một bậc với số lượng hữu 
hạn vết nứt. ................................................................................................................ 67 
Bảng 3. 5. Kết quả chẩn đoán vết nứt trong dầm công xôn hai bậc bằng phương 
pháp quét. .................................................................................................................. 68 
Bảng 4. 1. Vị trí điểm đo đối với dầm bậc ngàm hai đầu. ........................................ 74 
Bảng 4. 2. Tần số cộng hưởng đo được của dầm bậc ngàm hai đầu nguyên vẹn. .... 78 
Bảng 4. 3. So sánh các tần số riêng đo được và tính được của dầm ngàm hai đầu 
nguyên vẹn. ................................................................................................................ 78 
Bảng 4. 4. So sánh các tần số riêng tính được và đo được của dầm công xôn nguyên 
vẹn. ............................................................................................................................ 79 
Bảng 4. 5. Tần số riêng đo được của dầm bậc ngàm hai đầu có một vết nứt tại vị trí 
0.45m với độ sâu thay đổi từ 0%-40%. ..................................................................... 80 
Bảng 4. 6. Tần số riêng đo được của dầm bậc ngàm hai đầu có hai vết nứt, e1=0.2m 
với độ sâu thay đổi từ 0%-40%; e2=0.45m với độ sâu 40%. .................................... 82 
Bảng 4. 7. Tần số riêng đo được của dầm bậc công có một vết nứt tại vị trí 0.6m từ 
đầu ngàm với độ sâu thay đổi từ 0%-50%. ............................................................... 84 
Bảng 4. 8. Tần số riêng đo được của dầm bậc công xôn có hai vết nứt, e1=0.3m với 
với độ sâu thay đổi từ 0%-42%; e2=0.6m với độ sâu 50%. ...................................... 86 
xi 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 
Hình 1.1. Mô hình vết nứt delta... .6 
Hình 1.2. Mô hình vết nứt cạnh 6 
Hình 2.1. Hai mô hình dầm bậc trong phân tích số. ................................................. 33 
Hình 2.2. Ảnh hưởng của vị trí và độ sâu vết nứt lên ba tần số riêng đầu tiên ........ 34 
Hình 2.3. Ảnh hưởng của chiều dầy và vị trí vết nứt lên tần số riêng. ..................... 35 
Hình 2.4. Ảnh hưởng của số lượng vết nứt đến sự thay đổi tần số riêng theo độ sâu 
vết nứt. ....................................................................................................................... 36 
Hình 2.5. Dầm công xôn một bậc. ............................................................................. 40 
Hình 2.6. Tỷ số tần số thứ nhất phụ thuộc vào vị trí vết nứt. .................................... 41 
Hình 2.7. Tỷ số tần số thứ hai phụ thuộc vào vị trí vết nứt. ...................................... 41 
Hình 2.8. Hai loại dầm bậc FGM. ............................................................................ 43 
Hình 2.9. Tần số chuẩn hóa của dầm bậc FGM ngàm hai đầu phụ thuộc vào độ sâu 
vết nứt (a/h); .............................................................................................................. 45 
Hình 2.10. Tần số chuẩn hóa của dầm bậc FGM ngàm hai đầu có nứt phụ thuộc 
vào chỉ số (n); ............................................................................................................ 46 
Hình 2.11. Tần số chuẩn hóa của dầm bậc FGM ngàm hai đầu có nứt phụ thuộc tỷ 
số mô đun đàn hồi (r). ............................................................................................... 47 
Hình 3.1. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt lên tần số riêng của dầm công xôn một bậc.
 ................................................................................................................................... 60 
Hình 3.2. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt lên tần số riêng của dầm gối tựa hai đầu một 
bậc. ............................................................................................................................ 60 
Hình 3.3. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt lên tỷ số tần số riêng của dầm công xôn hai 
bậc. ............................................................................................................................ 60 
Hình 3.4. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt lên tỷ số tần số riêng của dầm gối tựa hai 
đầu hai bậc. ............................................................................................................... 61 
Hình 3.5. Kết quả vị trí vết nứt được chẩn đoán cho dầm hai bậc với 5 trường hợp 
khác nhau của vết nứt như trong bảng 3.3 (một, hai và ba vết nứt) bằng phương 
pháp quét. .................................................................................................................. 69 
Hình 4.1. Mẫu dầm bậc M1. ...................................................................................... 72 
 ...  Tran Thanh Hai, Nguyen Tien Khiem, 
The transfer matrix method for modal analysis of cracked multistep beam, 
Journal of Science and Technology, 2017, 55(5), 598-611. 
6. N.T. Khiem, T.V. Lien, V.T.A. Ninh (2017), Natural frequencies of stepped 
functionally graded beam with multiple cracks, Iranian Journal of Science and 
Technology – The Transactions in Mechanical Engineering (Accepted 3/2017). 
7. N.T. Khiem, T. H. Tran, V.T.A. Ninh (2017), A closed-form solution to the 
problem of crack identification for multistep cantilever beam based on Rayleight 
quotient, International Journal of Solids and Structures (Submitted July 2017). 
92 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Nguyễn Ngọc Huyên,Phân tích phổ dao động của dầm FGM, Luận án Tiến 
sĩ cơ kỹ thuật, 2016, Hà Nội. 
2. S. Christides, and A. D. S. Barr, One-dimensional theory of cracked 
Bernoulli-Euler beams, International Journal of the Mechanical Sciences, 
1984, 26(11/12), 639-648. 
3. S. Caddemi S, and I. Caliò, Exact closed-form solution for the vibration 
mode of the Euler-Bernoulli beam with multiple open cracks, Journal of 
Sound and Vibration, 2009, 327(3-5), 473-489. 
4. T.G. Chondros, A. D. Dimarogonas, and J.Yao, A continuous cracked beam 
vibration theory, Journal of Sound and Vibration, 1998, 215(1), 17-34. 
5. Z. H. Jin, and R. C. Batra, Some basic fracture mechanics concepts in 
functionally graded materials, Journal of the Mechanics and Physics of 
Solids, 1996, 44(8), 1221-1235. 
6. V. Birman, and L. W. Byrd, Modeling and Analysis of Functionally Graded 
Materials and Structures, Applied Mechanics Reviews, 2007, 60, 195-215. 
7. J. Yang, and Y. Chen, Free vibration and buckling analysis of functionally 
graded beams with edge cracks, Composite Structures, 2008, 83, 48-60. 
8. S. Kitipornchai et al, Nonlinear vibration of edge cracked functionally 
graded Timoshenko beams, Journal of Sound and Vibration, 2009, 324, 962-
982. 
9. L. Ke et al, Flexural vibration and elastic buckling of a cracked Timoshenko 
beam made of functionally graded materials, Mechanics of Advanced 
Materials and Structures, 2009, 16(6), 488-502. 
10. S. Kitipornchai, L. L. Ke, J. Yang, and Y. Xiang, Nonlinear vibration of 
edge cracked functionally graded Timoshenko beams, Journal of Sound and 
Vibration, 2009, 324, 962-982. 
11. E. I. Shifrin, and R. Ruotolo, Natural frequencies of a beam with an 
arbitrary number of cracks, Journal of Sound and Vibration, 1999, 222(3), 
409-423. 
93 
12. N. Khiem, and T. Lien, A simplified method for natural frequency analysis of 
a multiple cracked beam, Journal of Sound and Vibration, 2001, 245(4), 
737–751. 
13. Nguyễn Tiến Khiêm, Nguyễn Đình Kiên, and Nguyễn Ngọc Huyên, Lý 
thuyết dao động của dầm FGM trong miền tần số, Hội nghị Cơ học toàn 
quốc kỷ niệm 35 năm thành lập Viện cơ học, 2014, 93-98. 
14. M. A. Eltaher, A. E. Alshorbagy, and F. F. Mahmoud, Determination of 
neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally 
graded macro/nanobeams, Composite Structures, 2013, 99, 193–201. 
15. T. G. Chondros, A. D. Dimarogonas, and J. Yao, Longitudinal vibration of a 
continous cracked bar, Engineering Fracture Mechanics, 1998, 61, 593-606. 
16. Nguyễn Văn Khang,Dao động kỹ thuật, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, 
1998, Hà Nội. 
17. Nguyễn Tiến Khiêm, Lê Thị Hà, Nguyễn Ngọc Huyên, and Vũ Thị An Ninh, 
Cơ sở động lực học công trình (Tái bản lần thứ nhất), NXB ĐHQGHN, 
2016, Hà Nội. 
18. Nguyen Tien Khiem, and Tran Thanh Hai, Rayleigh's quotients for multiple 
cracked beam and application, Vietnam Journal of Mechanics, 2011, 33(1), 
1-12. 
19. N. T. Khiem, and L. K. Toan, A novel method for crack detection in beam-
like structures by measurements of natural frequencies, Journal of Sound and 
Vibration, 2014, 333, 4084–4103. 
20. Trần Văn Liên, and Nguyễn Tiến Khiêm,Phương pháp độ cứng động lực 
trong phân tích và chẩn đoán kết cấu, Nhà xuất bản xây dựng, 2017, Hà Nội. 
21. Nguyễn Tiến Khiêm,Nhập môn chẩn đoán kỹ thuật công trình, NXB Khoa 
học tự nhiên và công nghệ, 2008, Hà Nội. 
22. Adams. R.D, Cawley. P, Pye. C.J, and Stone. B.J, A vibration technique for 
non-destructively assessing the integrity of structures, Journal of Mechanical 
Engineering Science, 1978, 20, 2, 93-101. 
23. Y Narkis, Identification of crack location in vibrating simply supported 
beams, Journal of Sound and Vibration, 1994, Vol 172, pp. 549-558. 
94 
24. R. Y. Liang, F. K. Choy, and J. Hu, Detection of cracks in beam structures 
using measurements of natural frequencies, J Franklin Inst, 1991, 328(4), 
505-518. 
25. P. Cawley, and R. D. Adams, The location of defects in structures from 
measurements of natural frequencies Journal of Strain Analysis for 
Engineering Design, 1979, 14, 49-57. 
26. S. Law, L. Xun, and H. S. Ward, A vibration technique for stuctures stiffness 
identification, Proceeding international conference on vibration problems in 
engeenering Wuhan-Chungqing, 1990, 1, 683-698. 
27. Y. S. Lee, and M. J. Chung, A study on crack detection using eigenfrequency 
test data, Computers & Structures, 2000, 77, 327-342. 
28. S. Chinchalkar, Detection of crack location in beams using natural 
frequencies, Journal of Sound and Vibration, 2001, 247, 417-429. 
29. Trần Thanh Hải,Chẩn đoán vết nứt của dầm đàn hồi bằng phương pháp đo 
dao động, Luận án tiến sĩ cơ học, 2012, Hà Nội. 
30. P. F. Rizos, N. Aspragathos, and A. D. Dimarogonas, Identification of crack 
location and magnitude in a cantilever beam from the vibration modes, 
Journal of Sound and Vibration, 1990, 138, 381-388. 
31. T. Wolff, and M. Richardson, Fault detection in structures from changes in 
their modal parameters, proceedings of 7th International Modal Analysis 
Conference, 1989, 87-94. 
32. W. M. West, IIIustration of the Use of Modal Assurance Criterion to Detect 
Structural Changes in an Orbiter Test Specimen, Proc. of Air Force 
Conference on Aircraft Structural Integrity, 1984, 1-6. 
33. Tran Van Lien, Nguyen Tien Khiem, and Trinh Anh Hao, Crack 
identicfication in frame structures by using the stationary wavelet transform 
of mode shapes, Jokull Journal, 2014, 64(6), 251-262. 
34. Khoa Viet Nguyen, and Hai Thanh Tran, Multi-cracks detection of a beam-
like structure based on the on-vehicle vibration signal and wavelet analysis, 
Journal of Sound and Vibration 2010, 329(21), 4455-4465. 
95 
35. Khoa Viet Nguyen, Mode shapes analysis of a cracked beam and its 
application for crack detection, Journal of Sound and Vibration, 2014, 
333(3), 848-872. 
36. A. K. Pandey, M. Biswas, and M. M. Samman, Damage Detection from 
Changes in Curvature Mode Shapes, Journal of Sound and Vibration, 1991, 
145(5), 321-332. 
37. C. P. Ratcliffe, Damage Detection Using a Modified Laplacian Operator on 
Mode Shape Data, Journal of Sound and Vibration, 1997, 204(3), 505-517. 
38. M. Cao, M. Radzienski, W. Xu, and W. Ostanchowicz, Identification of 
multiple damage in beams based on robust curvature mode shapes, 
Mechanical Systems and Signal Processing, 2014, 46, 468-480. 
39. D. Dessi, and G. Cameriengo, Damage identication techniques via modal 
curvature analysis: Overview and comparison, Mechanical Systems and 
Signal Processing, 2015, 52-53, 181-205. 
40. J. Ciambella, and F. Vestroni, The use of modal curavatures for damage 
localization in beam-type structures, Journal of Sound and Vibration 2015, 
340, 126-137. 
41. S. K. Jang, and C. W. Bert, Free vibration of stepped beams: exact and 
numerical solutions, Journal of Sound and Vibration, 1989, 130, 342-346. 
42. S. K. Jang, and C. W. Bert, Free vibration of stepped beams: higher mode 
frequencies and effect of steps on frequency, Journal of Sound and Vibration, 
1989, 132, 164-168. 
43. J. W. Jaworski, and E. H. Dowell, Free vibration of a cantilevered beam with 
multiple steps: Comparison of several theoretical methods with experiment, 
Journal of Sound and Vibration, 2008, 312, 713-725. 
44. J. Cunha, and J. J. Junior, Vibration analysis of Euler-Bernoulli beams in 
multiple steps and different shapes of cross section, Journal of Vibration and 
Control, 2016, 22(1), 193-204. 
45. X. W. Wang, and Y. L. Wang, Free vibration analysis of multiple-stepped 
beams by the differential quadrature element method, Applied Mathematics 
and Computation, 2013, 219, 5802-5810. 
96 
46. Q. Mao, Free vibration analysis of multiple-stepped beams by using 
Adomian decomposition method, Mathematical and Computer Modelling, 
2011, 54, 756–764. 
47. S. Kukla, and I. Zamojska, Frequency analysis of axially loaded stepped 
beams by Green’s function method, Journal of Sound and Vibration, 2007, 
300, 1034–1041. 
48. B. Yang, Exact transient vibration of stepped bars, shafts and strings 
carrying lumped masses, Journal of Sound and Vibration, 2010, 329, 1191-
1207. 
49. H. Sato, Free vibration of beams with abrupt changes of cross-section, 
Journal of Sound and Vibration, 1983, 89(1), 59-64. 
50. M. Attar, A transfer matrix method for free vibration analysis and crack 
identification of stepped beams with multiple edge cracks and different 
boundary conditions, International Journal of Mechanical Sciences, 2012, 57, 
19-33. 
51. A. S. Aydin, and G. Aksu, A finite difference method for free vibration 
analysis of stepped Timoshenko beams and shafts, Mechanism and Machine 
Theory, 1986, 21, 1-12. 
52. F. Ju, H. P. Lee, and K. H. Lee, On the free vibration of stepped beams, 
International Journal of Solids and Structures, 1994, 31(22), 3125-3137. 
53. Z. R. Lu, M. Huang, J. K. Liu, W. H. Chen, and W. Y. Liao, Vibration 
analysis of multiple-stepped beams with the composite element model, 
Journal of Sound and Vibration, 2009, 322, 1070-1080. 
54. K. Suddoung, J. Charoensuk, and N. Wattanasakulpong, Vibration response 
of stepped FGM beams with elastically end constraints using differential 
transformation method, Applied Acoustics, 2014, 77, 20-28. 
55. N. Wattanasakulpong, and J. Charaensuk, Vibration characteristics of 
stepped beams made of FGM using differential transformation method, 
Meccanica, 2015, 50, 1089-1101. 
56. S. Kukla, Free vibrations and stability of stepped columns with cracks, 
Journal of Sound and Vibration, 2009, 319, 1301-1311. 
97 
57. T. Zheng, and T. Ji, An approximate method for determining the static 
deflection and natural frequency of a cracked beam, Journal of Sound and 
Vibration, 2012, 331, 2654–2670. 
58. Q. S. Li, Vibratory characteristics of multi-step beams with an arbitrary 
number of cracks and concentrated masses, Applied Acoustics, 2001, 62, 
691-706. 
59. T. C. Tsai , and Y. Z. Wang, Vibration analysis and diagnosis of a cracked 
shaft, Journal of Sound and Vibration, 1996, 192(3), 607-620. 
60. B. P. Nandwana, and S. K. Maiti, Detection of the location and size of a 
crack in stepped cantilever beams based on measurements of natural 
frequencies, Journal of Sound and Vibration, 1997, 203(3), 435-446. 
61. W. Zhang, Z. Wang, and H. Ma, Crack identification in stepped cantilever 
beam combining wavelet analysis with transform matrix, Acta Mechanica 
Solida Sinica, 2009, 22(4), ISSN 0894-9166. 
62. A. Maghsoodi, A. Ghadami, and H. R. Mirdamadi, Multiple-crack damage 
detection in multi-step beams by a novel local flexibility-based damage index, 
Journal of Sound and Vibration, 2013, 332, 294-305. 
63. Dinh Kien Nguyen, Buntara S. Gan, and Thi-Ha –Le, Dynamic response of 
non-uniform functionally graded subjected to a variable speed moving load, 
Journal of Computational Science of Technology, JSME, 2013, 7(1), 12-27. 
64. Lê Thị Hà, and Nguyễn Đình Kiên, Đáp ứng động lực học của dầm FGM có 
thiết diện thay đổi chịu nhiều lực di động, Hội nghị cơ học toàn quốc kỷ 
niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2014, 
2014, 157-162. 
65. Nguyễn Thị Vân Hương,Dao động uốn của dầm ứng suất trước dưới tác 
dụng của vật thể di động, Luận án tiến sỹ cơ học, 2016, Hà Nội. 
66. Nguyen Thi Van Huong, Nguyen Van Khang, and Nguyen Phong Dien, 
Dynamic response of a cracked and prestressed beam under the action of a 
moving body, Journal of Science and Technology (Technical Universities) 
2015, 106, 58-62. 
98 
67. Nguyen Thi Van Huong, and Nguyen Phong Dien, On the natural frequency 
and mode shape of a cracked and prestressed beam, Journal of Science and 
Technology (Technical Universities), 2014, 103, 47-52. 
68. Nguyên Tiên Khiem, and Phi Thi Hang, Analysis and identification of 
multiple cracked beam subjected to moving harmonic load, Joural of 
vibration and Control, 2017, FirstOnline Mar 2017. DOI: 
10.1177/1077546317694496. 
69. Nguyen Tien Khiem, and Phi Thi Hang, Spectral analysis of multiple 
cracked beam subjected to moving load, Vietnam Journal of Mechanics, 
2014, 35(4), 245-254. 
70. N.T. Khiem, and P. T. Hang, Frequency response of a beam-like structure to 
harmonic forces, Vietnam Journal of Mechanics, 2016, 38(4), 223 – 238. 
71. Phí Thị Hằng,Phương pháp phổ tần số trong nghiên cứu dao động của dầm 
đàn hồi có vết nứt chịu tải trọng di động, Luận án tiến sỹ cơ kỹ thuật, 2015, 
Hà Nội. 
72. Nguyen Thai Chung, Hoang Hai, and Shin Sang Hee, Dynamic Analysis of 
High Building with Cracks in Colomn Subjected to Earthquake Loading, 
American Journal of Civil Engineering, 2016, 4(5), 233-240. 
73. N.T. Khiem, and N. N. Huyen, A method for crack indentification in 
functionally graded Timeshenko beam, Journal of Nondestructive Testing 
and Evaluation, 2017, 32(3), 319-341. 
74. Nguyen Ngoc Huyen, and Nguyen Tien Khiem, Frequency analysis of 
cracked functionally graded cantilever beam, Journal of Science and 
Technology, VAST, 2017, 55(2), 229-243. 
75. N. N. Huyen, and N. T. Khiem, Modal analysis of functionally graded 
Timoshenko beam, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2017, 39(1), 31-
50. 
76. Tran Van Lien, Ngo Trong Duc, and Nguyen Tien Khiem, Mode Shape 
Analysis of Multiple Cracked Functionally Graded Timoshenko Beams, Latin 
American Journal of Solids and Structures, 2017, 14, 1327-1344. 
99 
77. Tran Van Lien, Ngo Trong Duc, and Nguyen Tien Khiem, Free Vibration 
Analysis of Multiple Cracked Functionally Graded Timoshenko Beams, Latin 
American Journal of Solids and Structures, 2017, 14, 1752-1766. 
78. H. Su, and J. R. Banerjee, Development of dynamic stiffness method for free 
vibration of functionally graded Timoshenko beams, Computers and 
Structures, 2015, 147, 107-116. 
79. N. T. Khiem, and T. H. Tran, A procedure for multiple crack identification in 
beam-like structure from natural vibration mode, Journal of Vibration and 
Control 2014, 20 (9), 1417-1427. 
80. R. Allemang, The modal assurance criterion twenty years of use and abuse, 
Sound and Vibration, 2003, 14-21. 
81. Nguyễn Tiến Khiêm,Nhập môn cơ học thực nghiệm, NXB ĐHQGHN, 2015, 
Hà Nội.