Luận án Phân tích dao động của kết cấu nhịp cầu dưới tác động của hoạt tải khai thác có xét đến độ mấp mô mặt cầu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI 
---------------------- 
VŨ VĂN TOẢN 
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA KẾT 
CẤU NHỊP CẦU DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA 
HOẠT TẢI KHAI THÁC CÓ XÉT ĐẾN 
ĐỘ MẤP MÔ MẶT CẦU 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT 
HÀ NỘI - 2017 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI 
---------------------- 
VŨ VĂN TOẢN 
Tên luận án: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU 
NHỊP CẦU DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA HOẠT TẢI KHAI 
THÁC CÓ XÉT ĐẾN ĐỘ MẤP MÔ MẶT CẦU 
Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cầu - Hầm 
Mã số: 62.58.02.05 
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT 
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 
1. GS.TS. Nguyễn Viết Trung 
2. PGS.TS. Trần Đức Nhiệm 
HÀ NỘI - 2017 
i 
LỜI CẢM ƠN 
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy GS.TS Nguyễn Viết 
Trung và PGS.TS Trần Đức Nhiệm đã tận tâm hướng dẫn khoa học và giúp đỡ tác 
giả hoàn thanh luận án này. 
Tác giả xin gửi lời cám ơn tới các Thầy, Cô trong Bộ môn Cầu Hầm, Khoa 
công trình, Khoa Cơ khí Trường Đại học Giao thông Vận tải, các nhà khoa học 
trong và ngoài trường đã có nhiều ý kiến đóng góp cho luận án. 
Tác giả cũng xin gửi lời cám ơn tới các Thầy, Cô trong Bộ môn Cầu Hầm, 
Khoa công trình Phân hiệu Trường Đại học Giao thông Vận tải tại thành phố Hồ 
Chí Minh đã động viên và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện luận án. 
Tác giả cũng xin bày tỏ sự biết ơn tới sự quan tâm của Trường Đại học Giao 
thông Vận tải, Phân hiệu Trường Đại học Giao thông Vận tải tại thành phố Hồ Chí 
Minh và sự ủng hộ của bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho 
tác giả trong quá trình làm luận án. 
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình đã động viên, ủng hộ tác giả trong 
suốt thời gian làm luận án./. 
 Tác giả luận án 
 Vũ Văn Toản 
ii 
LỜI CAM ĐOAN 
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả 
nêu trong luận án là trung thực và chưa được ai công bố trong bất kỳ công trình nào 
khác. 
 Tác giả 
Vũ Văn Toản 
iii 
MỤC LỤC 
LỜI CAM ĐOAN ii 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ v 
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ix 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT x 
MỞ ĐẦU 1 
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU 
NHỊP CẦU DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA HOẠT TẢI XE 5 
1.1. Các tác động của tải trọng di động đối với kết cấu nhịp cầu 5 
1.2 Các hướng nghiên cứu ảnh hưởng của hoạt tải (tải trọng di động) đối với 
công trình cầu 8 
1.3 Các mô hình lý thuyết nghiên cứu dao động uốn của dầm dưới tác dụng 
của tải trọng di động 10 
1.3.1. Mô hình 1: không xét đến khối lượng của tải trọng và của dầm ............. 11 
1.3.2 Mô hình 2: Tải trọng có khối lượng di chuyển trên hệ kết cấu không có 
khối lượng .......................................................................................................... 11 
1.3.3 Mô hình 3: Mô hình bỏ qua khối lượng của tải trọng di động, chỉ xét đến 
khối lượng của dầm ........................................................................................... 12 
1.3.4 Mô hình 4: Tải trọng có khối lượng chuyển động trên dầm có khối lượng
 ........................................................................................................................... 16 
1.3.5 Các mô hình xét đến tải trọng di động do ảnh hưởng mấp mô bề mặt ..... 18 
1.4 Tổng quan về nghiên cứu dao động của xe và tương tác cầu - xe 20 
1.4.1 Giới thiệu .................................................................................................. 21 
1.4.2 Đánh giá dao động của ô tô trên đường .................................................... 23 
1.4.3 Các mô hình dao động ô tô ....................................................................... 23 
1.4.4 Hàm kích động .......................................................................................... 24 
1.5 Phân tích chọn mục tiêu, đối tượng, phương pháp nghiên cứu 25 
1.5.1. Mục tiêu nghiên cứu của mô hình tương tác cầu - xe .............................. 25 
1.5.2. Đối tượng nghiên cứu .............................................................................. 25 
1.5.3. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................ 26 
CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TƯƠNG TÁC ĐỘNG LỰC HỌC GIỮA 
XE VÀ CẦU CÓ XÉT ĐẾN ĐỘ MẤP MÔ MẶT CẦU 27 
2.1 Cơ sở phương pháp phần tử hữu hạn giải bài toán dao động dầm 28 
2.1.1 Nguyên lý biến phân chuyển vị ................................................................ 29 
2.1.2 Phương trình chuyển động ........................................................................ 30 
2.1.3 Phương trình dao động của phần tử hữu hạn dầm chịu uốn thuần tuý ..... 32 
2.1.4 Phần tử dầm .............................................................................................. 37 
2.2 Dao động của cầu dầm chịu tác dụng của tải trọng do xe chạy trên cầu 40 
iv 
2.2.1 Dao động của phần tử dầm khi có các khối lượng di chuyển trên dầm - 
bài toán tương tác của phần tử hữu hạn dầm chịu uốn và tải trọng di động ...... 40 
2.2.2 Phương trình dao động của hệ cầu dầm có xe chạy trên .......................... 45 
2.2.3 Phương pháp Time Newmark giải hệ phương trình chuyển động ........... 46 
2.3 Mô hình động lực học của xe 49 
2.3.1 Mô hình xe 1/4 ......................................................................................... 51 
2.3.2 Mô hình xe 2 trục ...................................................................................... 54 
2.3.3 Mô hình xe 3 trục ..................................................................................... 59 
2.4 Mô tả mấp mô biên dạng mặt đường dạng hàm ngẫu nhiên 60 
2.5 Phân tích đáp ứng của cầu dưới tác dụng của xe có kể đến mấp mô mặt cầu65 
2.5.1 Giới thiệu .................................................................................................. 66 
2.5.2 Đáp ứng cầu chịu tải trọng di động .......................................................... 66 
2.5.3 Thuật toán lặp giải bài toán tương tác động lực học cầu - xe ................... 72 
CHƯƠNG 3 XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GIẢM CHẤN CỦA MỘT SỐ KẾT CẤU 
CẦU ĐANG KHAI THÁC Ở VIỆT NAM 77 
3.1 Phương trình vi phân dao động có cản của hệ kết cấu một bậc tự do 77 
3.2 Phương pháp thực nghiệm xác định hệ số giảm chấn của kết cấu cầu 84 
3.3 Xác định hệ số giảm chấn của một số kết cấu cầu khai thác tại Việt Nam 88 
CHƯƠNG 4 KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA VẬN TỐC XE VÀ ĐỘ MẤP 
MÔ NGẪU NHIÊN MẶT CẦU ĐẾN HIỆU ỨNG ĐỘNG LỰC CỦA KẾT 
CẤU NHỊP 99 
4.1 Phân tích áp dụng số với mô hình 99 
4.2 Kiểm chứng kết quả từ mô hình tính và kết quả thực đo cầu Đa Phước 101 
4.2.1 Đo độ mấp mô mặt cầu Đa Phước .......................................................... 102 
4.2.2 Thử nghiệm động tại hiện trường ........................................................... 103 
4.2.3 Kết quả tính toán từ mô hình .................................................................. 105 
4.3 Dao động dầm giản đơn dưới tác dụng của xe 2 trục 106 
4.4 Dao động dầm giản đơn dưới tác dụng của xe 3 trục 111 
4.5 Dao động dầm liên tục dưới tác dụng của xe 2 trục 115 
4.6 Dao động dầm liên tục dưới tác dụng của xe 3 trục 119 
4.7 Khảo sát ảnh hưởng của vận tốc xe và độ mấp mô ngẫu nhiên mặt cầu đến 
hệ số động lực của cầu dầm giản đơn 123 
4.7.1 Mô phỏng mặt cầu ngẫu nhiên................................................................ 123 
4.7.2 Khảo sát hệ số động lực .......................................................................... 125 
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 128 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 130 
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 136 
PHỤ LỤC 137 
v 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 
Hình 1.1. Mô hình tải trọng tập trung di động trên dầm giản đơn ............................. 5 
Hình 1.2 - Dao động do ảnh hưởng của độ bằng phẳng mặt đường ........................... 6 
Hình 1.3 - Lực ly tâm khi hoạt tải chuyển động trên cầu cong ................................... 7 
Hình 1.4 - Mô hình không xét đến khối lượng của tải trọng và của dầm ................. 11 
Hình 1.5 - Mô hình tải trọng có khối lượng di chuyển trên hệ kết cấu không 
có khối lượng .................................................................................................... 11 
Hình 1.6 - Mô hình bỏ qua khối lượng của tải trọng di động, chỉ xét đến 
khối lượng của dầm .......................................................................................... 13 
Hình 1.7 - Tải trọng có khối lượng chuyển động trên dầm có khối lượng ............... 16 
Hình 1.8 - Mô hình dầm có bề mặt mấp mô chịu tải di động với 4 bậc tự do .......... 19 
Hình 1.9 - Các mấp mô mặt đường: a) Ảnh hưởng vệt bánh xe do non hơi, 
b) Vết lõm mặt đường, c) Mặt đường gợn sóng ............................................... 19 
Hình 1.10 - Độ võng cầu có kể đến độ mấp mô do tải di động không đổi và 
tải di động biến thiên fst + f(t) ........................................................................... 20 
Hình 2.1 - Tương tác giữa xe và cầu ......................................................................... 27 
Hình 2.2 - Cơ hệ liên tục ........................................................................................... 29 
Hình 2.3 - Dầm chịu uốn mô hình bởi N phần tử hữu hạn ....................................... 37 
Hình 2.4 - Các bậc tự do của phần tử dầm chịu uốn ................................................. 37 
Hình 2.5 - Các hàm dạng: các đa thức Hermite bậc 3 .............................................. 38 
Hình 2.7 - Qui định hệ toạ độ .................................................................................... 50 
Hình 2.8 - Mô hình cầu - xe 1/4 ................................................................................ 51 
Hình 2.9 - Mô hình cầu - xe 2 trục ............................................................................ 54 
Hình 2.10 - Mô hình cầu - xe 3 trục .......................................................................... 60 
Hình 2.11 - Phân loại mặt đường theo mật độ phổ (đề suất của ISO) ...................... 64 
Hình 2.12 - Mật độ phổ và mô tả mấp mô mặt đường .............................................. 65 
Hình 2.13 - Lực tập trung di động fT(t) di chuyển với vận tốc v ............................... 67 
Hình 2.14 - Tương tác cầu-xe với mô hình xe 2 trục tạo tải trọng di động .............. 67 
Hình 2.15 - Chuỗi các xung lực ................................................................................ 72 
Hình 2.16 -Thuật toán lặp giải bài toán tương tác động lực học cầu - xe ................. 74 
Hình 2.17 - Sơ đồ giải thuật bài toán tương tác động lực học cầu - xe cải 
tiến .................................................................................................................... 75 
Hình 3.1 - So sánh biểu đồ dao động trong các trường hợp không có cản 
(), cản ít (), cản tới hạn (---) và cản quá mức () .................................... 83 
Hình 3.2 - Đồ thị dao động của kết cấu có cản ít và đường bao biên độ dao 
động .................................................................................................................. 84 
Hình 3.3 - Xác định các giá trị biên độ dao động của dao động tắt dần ................... 85 
vi 
Hình 3.4 - Đường bao biên độ dao động tiếp tuyến với đồ thị dao động tắt 
dần .................................................................................................................... 86 
Hình 3.5 - Biểu đồ dao động và hệ số giảm chấn của một dầm thí nghiệm 
tại Phòng thí nghiệm kết cấu Trường Đại học Florida ..................................... 88 
Hình 3.6 - Biểu đồ dao động theo phương đứng của nhịp 1 của cầu vượt ngã 
tư Thủ Đức........................................................................................................ 89 
Hình 3.7 - Biểu đồ dao động theo phương đứng của nhịp 2 của cầu vượt ngã 
tư Thủ Đức........................................................................................................ 90 
Hình 3.8. Biểu đồ dao động theo phương đứng của nhịp 3 của cầu vượt ngã tư 
Thủ Đức ............................................................................................................ 90 
Hình 3.9 - Biểu đồ dao động theo phương đứng của nhịp 4 của cầu vượt ngã tư 
Thủ Đức ............................................................................................................ 90 
Hình 3.10 - Biểu đồ dao động theo phương đứng của nhịp 5 của cầu vượt 
ngã tư Thủ Đức ................................................................................................. 91 
Hình 3.11 - Biểu đồ dao động theo phương đứng của nhịp 6 của cầu vượt 
ngã tư Thủ Đức ................................................................................................. 91 
Hình 3.12 - Biểu đồ dao động theo phương đứng của nhịp 1 của cầu vượt 
ngã ba Vũng Tàu .............................................................................................. 92 
Hình 3.13 - Biểu đồ dao động theo phương đứng của nhịp 2 của cầu vượt 
ngã ba Vũng Tàu .............................................................................................. 92 
Hình 3.14 - Biểu đồ dao động theo phương đứng của nhịp 3 của cầu vượt 
ngã ba Vũng Tàu .............................................................................................. 92 
Hình 3.15 - Biểu đồ dao động theo phương đứng của nhịp 4 của cầu vượt 
ngã ba Vũng Tàu .............................................................................................. 93 
Hình 3.16 - Biểu đồ dao động theo phương đứng của nhịp 5 của cầu vượt 
ngã ba Vũng Tàu .............................................................................................. 93 
Hình 3.17 - Biểu đồ dao động theo phương đứng của nhịp 6 của cầu vượt 
ngã ba Vũng Tàu .............................................................................................. 93 
Hình 4.1 - Mấp mô ngẫu nhiên mặt cầu loại 2 theo ISO - 6068 ............................ 100 
Hình 4.2 - Chuyển vị giữa nhịp khi mặt cầu phẳng tuyệt đối, và khi có xung 
mấp mô cao 2  8 cm và mấp mô ngẫu nhiên ................................................ 101 
Hình 4.3 - Sơ đồ kết cấu nhịp cầu Đa Phước .......................................................... 101 
Hình 4.4 - Thiết bị đo độ mấp mô mặt cầu ............................................................. 102 
Hình 4.5 - Hàm phân bố xác xuất cao độ mặt cầu Đa Phước ................................ 102 
Hình 4.6 - Mật độ phổ công suất và mấp mô mặt cầu Đa Phước ........................... 103 
Hình 4.7 - Tải trọng dùng để thử tải động cầu Đa Phước ....................................... 104 
Hình 4.8 - Thiết bị đo động ứng suất và đo dao động ............................................. 104 
Hình 4.9 - Biểu đồ gia tốc, ứng suất và chuyển vị động tại mặt cắt giữa nhịp ....... 105 
Hình 4.10 - Lực tác dụng lên cầu theo thời gian ..................................................... 106 
vii 
Hình 4.11 - Kết quả tính toán độ võng động tại mặt c ... fahrzeuge, B: Fahrzeugschwingung", 
Springer, Berlin. 
[54] Novák. M, Valášek. M, “A new concept of semi-active control of truck’s 
suspension”, Proc. Of AVEC 96, Aachen, pp. 141-151. 
[55] Patten. W. N, Sun. J, Li. G, Kuehn. J, Song. G (1999), “Field test of an 
intelligent stiffener for bridges at the I-35 Walnut Creek bridge”, Earthquake 
Engineering and Structural Dynamics, 28, pp. 109-126. 
[56] Philippov A. P. , Kokh-man-Iuk C.C. , Vo-ro-bev I.U. (1974).Tác dụng động 
lực của hoạt tải lên các bộ phận kết cấu (Bản tiếng Nga). Ki-ev. 
[57] Raid Karoumi (1998): Modeling of cable-stayed bridges for analysis of traffic 
induced vibrations. Stockholm. 
[58] Ruangrassamee, Kawashima. K (2001), “Semi-active control of bridges with 
use of magnetorheological dampers”, Proceedings of the SPIE, Smart 
Structures and Materials: Smart Systems for Bridges, Structures, and 
Highways, 4330, pp. 323-332. 
[59] Schiehlen. Popp. K (1993), "w: Fahrzeugdynamik", B. G. Teubner Stuttgat. 
135 
[60] Stokes, G. (1896). Discussion of a differential equation relating to a breaking 
of railway bridges. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 8, 
pp. 707. 
[61] Transportation Equity Act for the 21st Century (TEA-21), September 1998; 
 fhwa. dot. gov/tea21/factsheets/bridge. htm 
[62] Valášek. M, Novák. M, Šika. Z, Vaculĭn. O (1997), “Extended ground-hook 
New concept of semi-active control of truck’s suspension”, Vehicle System 
Dynamics, 27, pp. 289-303. 
[63] Yau. J. D, Yang. Y. B, Kuo. S. R (1999), “Impact response of high speed rail 
bridges and riding comfort of rail cars”, Engineering Structures, 21, pp. 836-844. 
[64] Willis, R. (1849). The effect produced by causing weights to travel over 
elastic bars. Report of the commissioners appointed to inquire into the 
application of iron to railway structures, Appendix B, Stationery Office, 
London, England. 
[65] Li, H., Wekezer, J., and Kwasniewski, L. (2008). "Dynamic Response of a 
Highway Bridge Subjected to Moving Vehicles." J. Bridge Eng. 
[66] Wai-Fah Chen, Lian Duan (1999). Bridge Engineering Handbook. CRC Press 
LLC. 
136 
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 
CỦA LUẬN ÁN 
[1]. Vũ Văn Toản, Đỗ Anh Tú, Xác định hệ số giảm chấn cho một số kết cấu cầu 
đang khai thác ở Việt Nam, Tạp chí Cầu đường Việt Nam, Số 3/2016. 
[2]. Vũ Văn Toản, Đỗ Anh Tú, Mô hình động lực học tương tác cầu - xe có xét 
đến mấp mô ngẫu nhiên của mặt cầu, Tạp chí Cầu đường Việt Nam, Số 
6/2016. 
[3]. Vũ Văn Toản, Đỗ Anh Tú, Nguyễn Ngọc Long, Nguyễn Viết Trung, Phân 
tích dao động kết cấu cầu có xét đến độ mấp mô biên dạng mặt đường trên 
cầu, Tạp chí Khoa học Giao thông Vận tải, số 55/2016. 
137 
PHỤ LỤC 
1 - Các khối cơ bản dùng mô phỏng và Sơ đồ Simulink mô phỏng dao 
động ô tô với mô hình 1/4 
Bảng 1 - Các khối cơ bản dùng để mô phỏng 
Stt Tên khối Input Ký hiệu Output 
1 Khối tích phân y 
y 
2 Khối nhân hệ số y 
a*y 
3 Khối tổng x, y 
x +y 
4 Khối hàm kích động t, y 
y 
5 Khối Output y 
y 
6 Khối đạo hàm y 
y 
7 Khối lôgic (x,y) 
x or y 
8 Khối tín hiệu hằng số 
a 
9 Khối tích x, y 
x*y 
10 Khối mô đun con in1 
out1 
11 Khối trễ pha y 
y 
12 
Khối lưu vào bộ nhớ làm 
việc 
y 
simout 
13 Khối tín hiệu thời gian 
t 
138 
Với phân tích trên, có thể tổng hợp sơ đồ Simulink mô phỏng dao động ô tô với 
mô hình 1/4 như trên Hình 2.16. Có thể chia mô hình dao động 1/4 xe thành các 
phần tử: bánh xe; khối lượng không được treo; hệ thống treo và phần tử khối lượng 
được treo. 
Phần tử bánh xe có hai kích thích đầu vào là dịch chuyển của khối lượng không 
được treo và chiều cao mấp mô biên dạng đường. Đầu ra là lực tương tác với khối 
lượng không được treo và cũng là lực tương tác với mặt cầu. 
Phần tử khối lượng không được treo có hai kích thích đầu vào là lực tương tác 
với hệ thống treo và lực tương tác với lốp. Đầu ra là dịch chuyển thẳng đứng của 
khối lượng không được treo. 
Phần tử hệ thống treo có hai kích thích đầu vào là dịch chuyển của khối lượng 
được treo trên trục và dịch chuyển khối lượng không được treo. Đầu ra là lực tương 
tác với khối lượng được treo cũng như lực tương tác với khối lượng không được 
treo. Phần tử khối lượng được treo là phần tử có một bậc tự do dịch chuyển theo 
phương thẳng đứng. 
Hình 1 - Sơ đồ Simulink mô phỏng dao động ô tô với mô hình 1/4 
139 
2 - Sơ đồ Simulink mô phỏng dao động ô tô với mô hình 2 trục 
Sơ đồ Simulink mô phỏng dao động phẳng ô tô 2 trục được xây dựng thể hiện 
trên Hình 2. Mô hình dao động phẳng dọc của ô tô 2 trục gồm: 
- Phần tử bánh xe; 
- Phần tử khối lượng không được treo một bậc tự do; 
- Phần tử hệ thống treo; 
- Phần tử khối lượng được treo hai bậc tự do với hai lực kích thích. 
Hình 2 - Sơ đồ Simulink mô phỏng dao động ô tô với mô hình xe 2 trục 
140 
3 - Thiết lập mô hình dao động và sơ đồ Simulink mô phỏng dao động ô 
tô với mô hình 3 trục 
3.1 Các giả thiết khi lập mô hình 
- Vận tốc chuyển động của xe không đổi (v = const); 
- Xe được phân thành 3 khối lượng: khối lượng được treo ms (đặt tại trọng tâm T 
và có các tọa độ a, b, Lx), khối lượng không treo trước mu1 và khối lượng không treo 
sau mu2. Khối lượng được treo trước nối với khối lượng không treo thông qua hệ 
thống treo, đặc trưng bởi độ cứng ks1 và hệ số cản giảm chấn cs1. Khối lượng không 
treo trước nối với đường (cầu) thông qua lốp, đặc trưng bởi độ cứng kt1 và hệ số cản 
ct1 (thông thường ct1 lấy bằng 0). Khối lượng được treo sau nối với khối lượng 
không treo thông qua hệ thống treo cân bằng (2 trục), đặc trưng bởi độ cứng ks1 và 
hệ số cản giảm chấn cs1. Khối lượng không treo sau nối với đường (cầu) thông qua 
2 lốp, đặc trưng bởi độ cứng kt2, kt3 và hệ số cản ct2, ct3 (thông thường ct lấy bằng 0); 
- Cầu được coi như một dầm liên tục, có bề mặt mấp mô trung bình là r(x). 
Như vậy cơ hệ gồm 4 vật: 
- Vật 1: Khối lượng được treo của xe, đặc trưng bởi khối lượng ms, mô men 
quán tính quanh trục ngang Jy và có 2 tọa độ suy rộng là chuyển vị thẳng đứng zs và 
góc lắc dọc s quanh trọng tâm của nó. 
- Vật 2: Khối lượng không được treo của trục trước (trục 1) của xe, đặc trưng 
bởi khối lượng mu1 và có tọa độ suy rộng là chuyển vị thẳng đứng zu1 quanh trọng 
tâm của nó. 
- Vật 3: Khối lượng không được treo của các trục sau (trục 2, trục 3) của xe, đặc 
trưng bởi khối lượng mu2 và có tọa độ suy rộng là chuyển vị thẳng đứng zu2 quanh 
trọng tâm của nó và góc lắc dọc u2 quanh trọng tâm của nó . 
- Vật 4: Cầu, đặc trưng bởi khối lượng riêng , mô men đàn hồi của vật liệu E và 
mô men quán tính của mặt cắt ngang I. 
Các ký hiệu trên hình vẽ: 
 T: Trọng tâm thân xe (khối lượng được treo); 
 v: Vận tốc chuyển động dọc của xe (m/s); 
 x: Tọa độ trên trục dọc của cầu (x = vt); 
 w(x,t): Độ võng của cầu (m); 
141 
 zs: Chuyển vị thẳng đứng của trọng tâm thân xe (m); 
 s: Chuyển vị lắc dọc (góc lắc dọc) của trọng tâm thân xe (rad); 
 Lx: Khoảng cách giữa tâm trục 1 và trục cân bằng 2-3 (m); 
 a, b: Tọa độ trong tâm thân xe so với trục 1 và trục cân bằng (m); 
 ms: Khối lượng thân xe (khối lượng được treo) (kg); 
 Jy: Mô men quán tính quanh trục ngang (đi qua trọng tâm T) (kg.m2); 
 mu1, mu2: Khối lượng không treo trước (trục 1) và sau (trục cân bằng 2-3) (kg); 
 ks1, ks2: Độ cứng hệ thống treo trước (1) và sau (2) (N/m); 
 cs1, cs2: Hệ số cản giảm chấn của hệ thống treo trước (1) và sau (2) (N.s/m); 
 kt1, kt2, kt3: Độ cứng lốp tại các trục 1, trục 2 và trục 3 (N/m); 
 zu1, zu2: Chuyển vị thẳng đứng của trọng tâm khối lượng không treo trước (1) 
và sau (2) (m); 
 u2: Chuyển vị lắc dọc (góc lắc dọc) của trọng tâm thân trục cân bằng (rad); 
 zs1, zs2: Chuyển vị tại điểm nối giữa hệ thống treo trước và sau với thân xe (m); 
 zu22, zu23: Chuyển vị tại điểm nối giữa bánh xe trục 2, trục với khối lượng 
không treo sau (m); 
 Lx2: Khoảng cách giữa tâm trục bánh xe 2 và trục bánh xe 3 (m). 
Trong mô hình cầu - xe 3 trục, chúng ta xác định 5 điểm cắt: 
- Điểm cắt thứ nhất là ở vị trí hệ thống treo 1 (vị trí nối giữa khối lượng được 
treo và khối lượng không được treo trên trục 1). Tại đó có lực cắt Fs1 đặc trưng cho 
lực tác dụng của hệ thống treo. 
- Điểm cắt thứ hai là ở vị trí hệ thống treo 2 (vị trí nối giữa khối lượng được treo 
và khối lượng không được treo trên trục cân bằng 2-3). Tại đó có lực cắt Fs2 đặc 
trưng cho lực tác dụng của hệ thống treo. 
- Điểm cắt thứ ba là ở vị trí bánh xe 1 (vị trí nối giữa khối lượng không được 
treo trước và cầu). Tại đó có lực cắt Ft1 đặc trưng cho lực tác dụng của bánh xe. 
- Điểm cắt thứ tư là ở vị trí bánh xe 2 (vị trí nối giữa khối lượng không được treo 
sau và cầu tại trục 2). Tại đó có lực cắt Ft2 đặc trưng cho lực tác dụng của bánh xe. 
- Điểm cắt thứ năm là ở vị trí bánh xe 3 (vị trí nối giữa khối lượng không được 
treo sau và cầu tại trục 3). Tại đó có lực cắt Ft3 đặc trưng cho lực tác dụng của bánh 
xe. 
142 
- Quan hệ hình học trên mô hình: 
2
2
222
2
2
222
2
1
2
2
u
x
uu
u
x
uu
sss
sss
L
zz
L
zz
bzz
azz




 (1) 
3.2 Hệ phương trình vi phân mô tả hệ thống 
Hệ phương trình vi phân mô tả hệ thống được xác lập trên nguyên lý Newton - 
Euler đã trình bày ở trên áp dụng đối với từng vật. Mô hình hệ thống treo và mô 
hình bánh xe đã được xây dựng ở phần trước. Do đó phương pháp xây dựng phương 
trình vi phân mô tả hệ thống cũng trương tự như hệ phương trình vi phân mô tả mô 
hình dao động 1/4. Điểm khác biệt ở đây là có thêm 1 phương trình mô tả dao động 
lắc dọc s của khối lượng được treo, một phương trình mô tả dao động lắc dọc u2 
của khối lượng không được treo sau và độ võng w(x) của cầu được xác định thông 
qua độ võng tổng cộng w1(x), w2(x) và w3(x) (các độ võng độc lập do các lực động 
từ các trục bánh xe xuống điểm tiếp xúc với mặt cầu) theo phương pháp cộng tác 
dụng: 
 w(x) = w1(x) + w2(x) + w3(x) (2) 
* Đối với khối lượng được treo: 
 21 ssss FFzm  (3) 
 21 sssy bFaFJ 
 (4) 
* Đối với khối lượng không được treo trước (khối lượng không được treo 1): 
 1111 stuu FFzm  (5) 
* Đối với khối lượng không được treo sau (khối lượng không được treo 2): 
 23222 sttuu FFFzm  (6) 
3
2
2
2
22
22
t
x
t
x
uy F
L
F
L
J  (7) 
* Các lực tác động của hệ thống treo: 
 111 cskss FFF (8) 
n
dsu
n
ds
n
dsus
n
dsu
t
dsus
ks
fzzkhifkfzzk
fzzfkhizzk
F
11121111
1111111
1
)()(
)()(
 (9) 
143 
)( 1111 suscs zzcF  (10) 
 222 cskss FFF (11) 
n
dsu
n
ds
n
dsus
n
dsu
t
dsus
ks
fzzkhifkfzzk
fzzfkhizzk
F
11122222
2222222
2
)()(
)()(
 (12) 
)( 2222 suscs zzcF  (13) 
trong đó: 
sss
sss
bzz
azz


2
1
* Tại vị trí tiếp xúc giữa bánh xe trước (bánh xe số 1) với cầu: 
- Lực động tác dụng từ bánh xe lên cầu: 
111 ctktt FFF (14) 
trong đó: 
0)(0
0)()(
111
111111
1
tu
tuut
t
fzhkhi
fzhkhizhk
F 
)( 1111 utct zhcF 
 
Với chuyển vị của cầu tại các điểm nối giữa bánh xe với cầu được xác định theo 
công thức: 
 h1 = w1 +r1 (15) 
- r1: Bề mặt mấp mô trung bình của mặt cầu: 
- Độ võng w1 của cầu được được xác định dựa trên phân tích đáp ứng của cầu 
dưới tác động của xe có kể đến mấp mô mặt cầu được bàn kỹ trong Mục 2.5. 
* Tại vị trí tiếp xúc giữa bánh xe sau (bánh xe số 2) với cầu: 
- Lực động tác dụng từ bánh xe lên cầu: 
222 ctktt FFF (16) 
trong đó: 
0)(0
0)()(
222
222222
2
tu
tuut
t
fzhkhi
fzhkhizhk
F 
)( 2222 utct zhcF 
 
144 
Với chuyển vị của cầu tại các điểm nối giữa bánh xe với cầu được xác định theo 
công thức: 
 h2 = w2 +r2 (17) 
- r2: Bề mặt mấp mô trung bình của mặt cầu. r2 trễ so với r1 với khoảng thời gian 
(Lx-Lx2/2)/v; 
- Độ võng w2 của cầu, được xác định dựa trên phân tích đáp ứng của cầu dưới 
tác động của xe có kể đến mấp mô mặt cầu được bàn kỹ trong Mục 2.5. 
 * Tại vị trí tiếp xúc giữa bánh xe số 3 với cầu: 
- Lực động tác dụng từ bánh xe lên cầu: 
333 ctktt FFF (18) 
trong đó: 
0)(0
0)()(
333
332333
3
tu
tuut
t
fzhkhi
fzhkhizhk
F 
)( 3333 utct zhcF 
 
Với chuyển vị của cầu tại các điểm nối giữa bánh xe với cầu được xác định theo 
công thức: 
 h3 = w3 +r3 (19) 
- r3: Bề mặt mấp mô trung bình của mặt cầu. r1 trễ so với r1 với khoảng thời gian 
(Lx+Lx2/2)/v; 
- Độ võng w3 của cầu, độ võng của cầu, được xác định dựa trên phân tích đáp 
ứng của cầu dưới tác động của xe có kể đến mấp mô mặt cầu được bàn kỹ trong 
Mục 2.5. 
 * Độ võng tổng cộng của cầu: 
 w = w1 + w2 + w3 hay w(x) = w1(x) + w2(x) + w3(x) (20) 
Tập hợp các phương trình từ (21) đến (38), ta có hệ phương trình vi phân bao 
gồm 18 phương trình mô tả toàn bộ hệ thống như sau: 
 21
1
ss
s
s FF
m
z  (21) 
 21
1
ss
y
s bFaF
J
  (22) 
145 
 11
1
1
1
st
u
u FF
m
z  (23) 
 22
2
2
1
st
u
u FF
m
z  (24) 
 3
2
2
2
2
2
22
1
t
x
t
x
y
u F
L
F
L
J
 (25) 
 111 cskss FFF (26) 
n
dsu
n
ds
n
dsus
n
dsu
t
dsus
ks
fzzkhifkfzzk
fzzfkhizzk
F
11121111
1111111
1
)()(
)()(
 (27) 
)( 1111 suscs zzcF  (28) 
 222 cskss FFF (29) 
n
dsu
n
ds
n
dsus
n
dsu
t
dsus
ks
fzzkhifkfzzk
fzzfkhizzk
F
11122222
2222222
2
)()(
)()(
 (30) 
)( 2222 suscs zzcF  (31) 
 ssssss bzzazz  21 ; (32) 
 2
2
2232
2
222
2
;
2
u
x
uuu
x
uu
L
zz
L
zz  (33) 
0)(0
0)()(
111
111111
1
tu
tuut
t
fzhkhi
fzhkhizhk
F (34) 
0)(0
0)()(
222
222222
2
tu
tuut
t
fzhkhi
fzhkhizhk
F (35) 
0)(0
0)()(
333
332333
3
tu
tuut
t
fzhkhi
fzhkhizhk
F (36) 
 333222111 ;; rwhrwhrwh (37) 
 321 wwww (38) 
Hệ phương trình vi phân trên chính là mô hình toán học mô tả dao động tương 
tác cầu - xe 3 trục. Để giải hệ phương trình này có thể sử dụng phương pháp mô 
phỏng số, thông qua phần mềm Matlab Simulink. 
Các khối cơ bản dùng để tính toán mô phỏng như khối tích phân, khối nhân hệ 
số, khối tính tổng, khối đạo hàm...(Phụ lục 1) cùng với phân tích nêu trên giúp tổng 
146 
hợp sơ đồ mô phỏng dao động ô tô với mô hình 3 trục như trên. Chi tiết việc xây 
dựng mô hình mô phỏng như thế được cho tại Mục 3.3 kế tiếp. 
Sau khi giải hệ phương trình mô phỏng dao động xe ô tô 3 trục, chúng ta hoàn 
toàn xác định được lực tương tác giữa xe và cầu fTi(t), qua điểm tiếp xúc là bánh xe 
tại thời điểm ta xem xét. 
3.3 Sơ đồ Simulink mô phỏng dao động ô tô với mô hình 3 trục 
Sơ đồ Simulink mô phỏng dao động của mô hình được xây dựng thể hiện trên 
Hình 3. Các phần tử trong mô hình dao động phẳng dọc ô tô 3 trục tương tự như các 
phần tử trong mô hình dao phẳng dọc ô tô 2 trục, chỉ khác hệ thống treo ở trục sau 
được thay thế bằng hệ thống treo thăng bằng. 
Với hệ thống treo thăng bằng, các kích thích đầu vào là dịch chuyển của khối 
lượng được treo tại vị trí trục thăng bằng, dịch chuyển của khối lượng không được 
treo của trục giữa và trục sau. Đầu ra là lực tương tác với khối lượng được treo, lực 
tương tác với khối lượng được treo trục giữa và trục sau. 
Hình 3 - Sơ đồ Simulink mô phỏng dao động ô tô với mô hình xe 3 trục