Luận án Tính toán ổn định khí động flutter của dầm chủ trong kết cấu cầu hệ dây bằng phương pháp bước lặp

15 
2 NHẬN DẠNG TÁC DỤNG CỦA GIÓ VÀ MÔ HÌNH DAO 
ĐỘNG FLUTTER CỦA DẦM CHỦ TRONG KẾT CẤU CẦU 
HỆ DÂY 
Ở trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số kết quả tổng quan đã đạt được về các tác 
động của gió lên công trình theo các tài liệu trong và ngoài nước về kháng gió, từ đó làm nền 
tảng cho các nghiên cứu chuyên sâu tiếp theo. 
2.1 Số liệu gió dùng trong thiết kế 
2.1.1 Tốc độ gió cơ bản 10 /U m s 
Theo tiêu chuẩn về thiết kế kháng gió cho cầu đường bộ tại Nhật Bản [131, 132], tốc độ gió 
cơ bản là tốc độ gió trung bình trong vòng 10 phút ở độ cao 10m so với mặt đất, thông thường 
lấy theo chu kỳ lặp 100 năm. 
Trong trường hợp trạm khí tượng tại địa phương xây dựng cầu thiết các số liệu quan trắc về 
tốc độ gió thì theo tài liệu [28] đề xuất dùng bản đồ phân bố áp lực gió cơ bản, trị số của Việt 
Nam có thể lấy từ Tiêu chuẩn 22TCN 272-05 [33], lấy áp lực gió cơ bản ở khu vực xây dựng 
cầu tính đổi ra tốc độ gió cơ bản. 
 10 200,836.U U (2.1) 
 20 01,6.U W (2.2) 
0W : áp lực gió cơ bản ở khu vực xây dựng cầu rút ra từ bản đồ phân bố áp lực gió cơ bản trị 
số của Việt Nam có thể lấy từ tiêu chuẩn 22TCN 272–05. 
20U : tốc độ gió cơ bản ở độ cao 20m so với mặt đất, m/s. 
2.1.2 Tốc độ gió thiết kế /dU m s 
Cũng theo tiêu chuẩn về thiết kế kháng gió cho cầu đường bộ tại Nhật Bản [131, 132], vận 
tốc gió thiết kế được tính theo công thức 
 10 1.dU U E (2.3) 
1E : hệ số hiệu chỉnh tốc độ gió theo cao trình và loại mặt đất, được tra theo bảng [16]. 
16 
1
 Tên tiếng Việt của một số hiện tượng trong bảng 2.1 có sự thay đổi so với tài liệu [13] để thống nhất với tên 
gọi chung trong toàn bộ luận văn. 
2.1.3 Đặc tính giật của tốc độ gió 
Gió có thể được coi là sự chuyển động nhiễu loạn của không khí. Chuyển động này có đặc 
điểm là không theo quy luật và luôn thay đổi theo không gian và thời gian. Trong tính toán 
công trình, thông thường gió được đặc trưng bởi ba thành phần vận tốc ( ), ( ), ( )U t V t W t theo ba 
phương của hệ quy chiếu. Các thành phần này phụ thuộc vào vận tốc theo trung bình theo 
hướng chính của luồng gió U và các thành phần động , ,u t v t w t [46, 67, 149] 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
U t U u t
V t v t
W t w t
 (2.4) 
Theo tài liệu [28], thành phần động của tốc độ gió luôn biến đổi có thể được miêu tả bằng 
các đặc tính như cường độ rối, hàm mật độ phổ công suất của dòng rối, kích thước dòng rối và 
tương quan không gian của dòng rối. 
2.2 Các hiện tượng dao động của cầu phát sinh bởi gió 
Theo tài liệu [13], phản ứng của công trình dưới tác dụng của gió không phải là một hiện 
tượng đơn thuần mà là tổng hợp các hiện tượng khí lực học cơ bản. Phân loại các hiện tượng 
này như trên bảng 2.1. 
Bảng 2.1 Phân loại các hiện tượng khí động lực học cơ bản1 [13] 
Loại tác 
dụng 
Tên tiếng Việt Tên tiếng Anh 
Tác 
dụng 
tĩnh 
Biến dạng và ứng suất tĩnh 
Mất ổn định tĩnh 
 Mất ổn định uốn ngang 
 Mất ổn định xoắn 
Static deflection and stress 
Static instability 
 Lateral buckling 
 Divergence 
Tác 
dụng 
động 
Dao động với biên độ giới hạn 
 Dao động do xoáy khí 
 Dao động do gió-mưa 
 Dao động do rối của dòng khí 
 Dao động phía cuối gió 
Dao động tự kích với biên độ tăng dần 
 Dao động uốn tự kích khí động học 
 Dao động uốn-xoắn tự kích khí 
 động học 
Limited vibration 
 Vortex-induced vibration 
 Rain-wind-induced vibration 
 Buffeting 
 Wake-induced vibration 
Divergent vibration 
 Galloping 
 Flutter 
Cũng theo tài liệu [13], các loại dao động do tác dụng động của gió được chia thành hai 
nhóm. Nhóm thứ nhất gọi là dao động với biên độ giới hạn, nghĩa là có giới hạn về mặt biên 
độ hoặc có giới hạn về mặt phạm vi vận tốc gió, nhóm dao động này sẽ không dẫn đến phá 
huỷ kết cấu trong thời gian ngắn nhưng nó được xem như các hiện tượng gây ra các vấn đề 
trong trạng thái sử dụng, chẳng hạn như mỏi của kết cấu và gây lo lắng cho người sử dụng. 
17 
U
D
Trục tâm uốn 
Dao động có giới hạn bao gồm: Dao động do xoáy khí, dao động do gió – mưa, dao động phía 
cuối gió, dao động do rối của dòng khí. Nhóm thứ hai gọi là dao động tự kích với biên độ tăng 
vô hạn, nghĩa là trong dạng dao động này, phản ứng của kết cấu sẽ sinh ra các lực khí bất 
thường bổ sung, các lực khí này sẽ làm cho phản ứng của kết cấu trở nên lớn hơn, đến lượt 
mình các phản ứng lớn hơn sẽ lại sinh ra các lực khí bất thường lớn hơn, quá trình này cứ thế 
tiếp diễn dẫn đến sự phát tán dao động và phá huỷ kết cấu. Vì có tác dụng tương hỗ giữa dao 
động và lực khí tác dụng nên dao động phát tán còn được gọi là dao động tự kích. Dao động 
phát tán bao gồm: dao động tự kích khí động học theo phương uốn, dao động tự kích khí động 
học uốn xoắn. 
2.2.1 Tác dụng tĩnh của gió lên cầu 
2.2.1.1 Biến dạng và ứng suất tĩnh 
Đây là các hiện tượng tĩnh, không phụ thuộc vào thời gian, chúng được gây ra bởi vận tốc 
gió trung bình. Xét một vật cản có dạng lăng trụ, đặt trong luồng gió thổi đều với vận tốc U, 
khi đó tác dụng của luồng gió lên vật cản gồm 3 thành phần: lực nâng L vuông góc với hướng 
gió thổi, lực đẩy D trùng với hướng gió thổi và momen xoắn M quanh tâm uốn (hình 2.1). 
Hình 2.1 Các thành phần lực khí động tác dụng lên vật cản dạng lăng trụ 
 Lực đẩy, lực nâng và momen xoắn trên một đơn vị dài được xác định [46, 149] 
 2
1
2
DD U BC (2.5) 
 2
1
2
LL U BC (2.6) 
 2 2
1
2
MM U B C (2.7) 
trong đó là khối lượng riêng khí quyển, có giá trị là 1.2 kg/m3 ở 200C, B là kích thước đặc 
trưng của vật cản (bề rộng dầm), ( ), ( ), ( )D L MC C C là các hệ số lực đẩy, hệ số lực nâng và 
hệ số momen xoắn, phụ thuộc vào đặc điểm bề mặt vật cản và góc tới , được xác định bằng 
thực nghiệm hầm gió hoặc bằng tính toán gần đúng. 
Cần chú ý rằng, trong các tài liệu [13, 67], người ta cũng có thể tính lực đẩy theo công thức 
 2
1
2
DD U HC (2.8) 
với H là chiều cao của dầm cầu. 
M
L
18 
trục khối tâm 
C 
C 
w 
v m 
n 
x 
z z 
L 
q 
x 
2.2.1.2 Các hiện tượng mất ổn định tĩnh 
a. Mất ổn định uốn ngang 
Theo tài liệu [13], xét trường hợp một dầm lăng trụ, chịu tác dụng của momen uốn trong 
mặt phẳng xz (hình 2.2), khi momen uốn này còn trong một phạm vi nhỏ thì kết cấu sẽ chỉ bị 
biến dạng trong mặt phẳng momen uốn tác dụng. Nhưng khi momen uốn đạt tới một giá trị tới 
hạn thì sẽ xảy ra hiện tượng mà trong đó chuyển vị uốn theo trục y của dầm và xoắn xung 
quanh trục vuông góc trọng tâm của dầm liên hợp với nhau và tăng nhanh một cách đột ngột. 
Hiện tượng này được gọi là hiện tượng mất ổn định uốn ngang. Hiện tượng mất ổn định uốn 
ngang đã được S.P. Timoshenko và J.M. Gere trình bày trong tài liệu [166]. Xét một dầm chữ 
I chịu tác dụng của lực phân bố đều q nằm trong mặt phẳng xz như trên hình 2.2. 
Lực tới hạn trong trường hợp này được xác định bởi công thức [165] 
 1 3
z T
cr
EI GI
q
L
 (2.9) 
Giá trị của 1 phụ thuộc vào hệ số 
2 T
w
GI
L
EI
 và vị trí của lực tác dụng và được tra theo bảng. 
Hình 2.2 Mô hình nghiên cứu mất ổn định uốn ngang của dầm chữ I [165] 
Trong trường hợp dầm cầu treo dây văng, công thức xác định lực phân bố tới hạn [125] 
3
28.3
z T
cr
EI GI
q
L
 (2.10) 
Vận tốc gió tới hạn được suy ra từ công thức (2.5) [125] 
1/2
2 cr
cr
D
q
U
C B 
 (2.11) 
b Mất ổn định xoắn 
Hiện tượng mất ổn định xoắn ban đầu được nghiên cứu trong lý thuyết cánh (air foil). Dưới 
tác dụng của momen xoắn, góc tới cũng sẽ tăng và như vậy sẽ dẫn tới một momen xoắn lớn 
y
19 
U 
k 
hơn. Do momen xoắn tỷ lệ với bình phương vận tốc gió nên đến một lúc nào đó độ cứng 
chống xoắn của kết cấu không đủ chống lại momen xoắn tác dụng. Khi đó kết cấu sẽ mất ổn 
định. 
Để phân tích hiện tượng mất ổn định xoắn, xét sơ đồ như hình 2.3, mặt cắt của dầm cầu kết 
cấu quay chống có độ cứng chống xoắn k , theo các tài liệu [46, 67, 149]. 
Hình 2.3 Yếu tố hình học và thông số của hiện tượng mất ổn định xoắn ( : góc tới của gió) 
Vận tốc gió trung bình là U và bề rộng dầm cầu là B , momen khí động trên mỗi đơn vị 
chiều dài nhịp là 
 2 2
1
2
MM U B C (2.12) 
với MC là hệ số momen xoắn. 
Khi 0 , giá trị của momen này là 
 2 2 0
1
0
2
MM U B C (2.13) 
với 0 0M MC C . 
Khi thay đổi nhỏ quanh 0 , M có thể xấp xỉ tuyến tính bậc nhất như sau 
 2 2 0
0
1
2
M
M
dC
M U B C
d
 (2.14) 
Phương trình momen khí động dẫn tới phương trình sau 
  2 2 0 0
1
'
2
M MU B C C k (2.15) 
với 
 0
0
' MM
dC
C
d 
 (2.16) 
Hiện tượng mất ổn định xoắn được tổng quát theo phương trình (2.15). Bây giờ chúng ta sẽ 
nghiên cứu cách giải quyết chúng. 
Đặt 2 2
1
2
U B  , phương trình (2.15) trở thành 
 0 0'M Mk C C   
hoặc 
0
0'
M
M
C
k C 


 (2.17) 
Từ phương trình (2.17), đô ̣cứng chống xoắn bi ̣ triêṭ tiêu hoàn toàn khi 
trục đàn hồi 
20 
1
 Trong tài liệu [13], P.H. Kiên dịch hiện tượng lock in là hiện tượng đồng kỳ, trong tài liệu [28], N.V. Trung 
và các đồng nghiệp dịch là hiện tượng khoá chặt. Ở trong mục này, chúng tôi vẫn giữ nguyên tên gọi tiếng 
Anh là hiện tượng lock-in. 
0'M
k
C
  (2.18) 
Điều này dẫn đến định nghĩa vận tốc mất ổn định xoắn 
2
0
2
'
cr
M
k
U
B C
 (2.19) 
2.2.2 Tác dụng động của gió lên cầu 
2.2.2.1 Dao động do xoáy khí (Vortex-induced vibration) 
a. Giới thiệu chung - Hiện tượng lock-in1 
Trong một số trường hợp, vật cản cố định sẽ chịu tác dụng của các xoáy khí luân phiên có 
tần số cơ bản sf , tương ứng với số Strouhal [149] 
 s
f B
St
U
 (2.20) 
với St phụ thuộc vào dạng hình học của vật cản và số Reynold, được xác định bằng thực 
nghiệm, B là kích thước của vật cản theo phương vuông góc với hướng gió và U là vận tốc 
trung bình của luồng gió thổi đều qua vật cản. 
Nếu vật cản chịu tác động của các xoáy khí có các liên kết đàn hồi hoặc nếu vật cản chịu 
biến dạng cục bộ trên bề mặt, nó sẽ thay đổi một phần hoặc hoàn toàn tác động của luồng gió 
thổi. Tuy nhiên những khả năng này chưa có nhiều nghiên cứu một cách tỉ mỉ [149]. 
Trong thực tế, mô hình dao động một bậc tự do thường được sử dụng để phân tích kết cấu, 
mô hình kinh điển này được trình bày trong tài liệu [149]. Xét kết cấu có dạng hình trụ với bề 
mặt cứng, luồng gió thổi đều với vận tốc trung bình, chuyển vị của vật cản là như nhau trên 
suốt chiều dài, vật cản có các liên kết đàn hồi và có cản cơ học theo phương vuông góc với 
hướng gió và liên kết cứng theo phương gió thổi. Dưới tác dụng của các xoáy khí trong luồng 
gió rối, hình trụ sẽ bị dịch chuyển một cách tuần hoàn nhưng sự dịch chuyển này thường là rất 
nhỏ, trừ khi tần số của các xoáy khí xấp xỉ tần số dao động theo phương vuông góc hướng gió 
của vật cản. Gần với tần số này, vật cản sẽ dao động mạnh hơn và bắt đầu tương tác rất mạnh 
với luồng gió, quan sát thực nghiệm chỉ ra rằng tần số xoáy khí bị khống chế trong một phạm 
vi tốc độ gió nào đó, hiện tượng này gọi là lock-in. Thực nghiệm cũng chỉ ra rằng trong suốt 
quá trình lock-in, biên độ dao động có thể đạt tới một phần nào đó (hiếm khi một nửa) kích 
thước của vật cản theo phương vuông góc hướng gió. 
Tác động của hiện tượng lock-in lên hiện tượng dao động do xoáy khí được chỉ ra trên hình 
2.4, qua đó chúng ta nhận thấy rằng tại vùng lock-in, tần số các xoáy khí là một hằng số chứ 
không phải là một hàm tuyến tính của vận tốc gió như công thức (2.20) (công thức này chỉ 
đúng khi ngoài vùng lock-in). 
21 
1 
Chú thích các đại lượng trong hình 2.6 [67]: U là vận tốc gió, B là bề rộng của cấu kiện vuông góc với 
hướng gió, sf tần số của các xoáy khí, ef là tần số dao động tự do của kết cấu. 
 Hình 2.4 Số liệu thực nghiệm tại vùng lock-in (Feng, 1968)1 [67] 
b. Mô hình phân tích hiện tượng dao động do xoáy khí 
Theo tài liệu [149], giả thiết rằng hình trụ tròn đặt cố định theo phương gió thổi cũng như 
vuông góc với gió thổi. Trong trường hợp này, xấp xỉ lực tác dụng theo phương vuông góc 
trên mỗi đơn vị chiều dài của hình trụ là 
 2
1
sin
2
LS sF U BC t  (2.21) 
với 2s sf , sf thoả mãn mối liên hệ Strouhal (phương trình (2.20)) và LSC là hệ số lực 
nâng (trong trường hợp hình trụ tròn và số Reynold 540 Re 3.10 , trong luồng gió thổi đều 
0.6LSC  ). 
Một nét đặc trưng của lực nâng này là nó không có sự tương quan với yếu tố chiều dài. 
Trong trường hợp hình trụ dao động, phương trình đơn giản trên cho lực F sẽ không còn phù 
hợp nữa. 
Đặt y là dịch chuyển theo phương lực nâng trên mỗi đơn vị chiều dài, phương trình dịch 
chuyển của hình trụ có thể viết 
 , , ,my cy ky F y y y t     (2.22) 
với m là khối lượng trên một đơn vị dài của hình trụ, c là hằng số cản cơ học, k là độ cứng 
đàn hồi và F y, y, y,t  là hàm lực gió trên mỗi đơn vị chiều dài, nó có thể phụ thuộc vào 
chuyển vị y và các đạo hàm ,y y  cũng như yếu tố thời gian. 
Đã có rất nhiều nỗ lực để tìm một công thức kinh nghiệm phù hợp với biểu thức F trong 
phương trình (2.22) để thích hợp với quan sát thực tế. Một phương trình phức tạp như vậy sẽ 
phụ thuộc vào quan sát thực tế tỉ mỉ và đầy đủ cũng như dự báo hiện tượng xảy ra tiếp theo từ 
s
e
f
f
e
U
f B
22 
mô hình. 
Mô hình một bậc tự do thường được sử dụng, phương trình có dạng [68, 109, 149] 
2
2 2
1 1 1 22
1
2 ( ) 1 ( ) ( )sin
2
L
y y y
m y y y U B Y K Y K C K t
B U B
    

  (2.23) 
K là tần số thu gọn và có công thức /K B U và  phải thoả mãn liên hệ Strouhal 
 2
B
St
U

 (2.24) 
Theo tài liệu [134], dao động do xoáy khí có thể gây ra sự khởi đầu nguy hiểm cho công 
trình cầu treo do tính đàn hồi của những công trình này và sự có mặt của các kết cấu dạng 
thanh mảnh có khả năng tạo ra các xoáy khí; các kết cấu như dầm cầu, tháp cầu và các dây cáp 
là rất nhạy cảm với các dao động do xoáy khí, có thể gây ra hiện tượng mỏi cho công trình. 
Hơn nữa, dao động do xoáy khí có thể gây ra các nhiễu loạn ban đầu dẫn đến hiện tượng mất 
ổn định tự kích như flutter, một ví dụ điển hình là sự hư hỏng của cầu Tacoma Narrows vào 
năm 1940. 
2.2.2.2 Dao động do gió mưa (Rain-wind-induced vibration) 
Theo tài liệu [46], hiện tượng dao động gió-mưa ban đầu được nghiên cứu cho các đường 
dây truyền tải điện. Mặc dù có đã có những bước phát triển lớn trong nghiên cứu thí nghiệm 
hầm gió cũng như những nghiên cứu từ quan sát các công trình thực, nguyên lý cơ học của 
hiện tượng dao động gió-mưa vẫn chưa được hiểu một cách đầy đủ. Tuy nhiên, có thể phác 
thảo một số nét chính về hiện tượng phức tạp này như sau: Dưới tác dụng kết hợp của gió và 
mưa, với một góc tác động cụ thể cũng như một cường độ lượng mưa, hình thành hai vệt nước 
tại bề mặt trên và dưới của dây cáp (hình 2.5). Sự hình thành hai vệt nước này tồn tại cân bằng 
dưới tác dụng của trọng lực, lực khí động và lực mao dẫn bề mặt, dẫn đến sự mất đối xứng 
hình học của mặt cắt ngang dây cáp và do đó thay đổi các lực khí động tác dụng lên dây cáp. 
Cuối cùng, sự tăng lên của hệ số lực nâng và độ dốc âm của hệ số lực nâng tương ứng với sự 
thay đổi nhỏ của góc tác động dẫn đến độ cản khí động âm và gây ra sự mất ổn định galloping  ... L D M
s
C
C


 là các độ dốc đường cong của các đường con g hê ̣số lưc̣ taị 
góc xoắn trung bình. 
Để cho đơn giản , ta đưa vào các ký hiêụ , ,, , , , , ,; '
L D M
L D M L D M L D M
s
C
C C C 


, như 
vâỵ, biểu thức (2.137) viết laị 
 , , , , , , , ,' 'L D M L D M L D M L D MC C C C    (2.138) 
Như vâỵ, các thành phần lực trong (2.133) có thể được xấp xỉ bậc nhất như sau 
, ,
, ,
,
qs nl qs l
z z s se b
qs nl qs l
y y s se b
qs nl
x s se b
F F L L L
F F D D D
M M M M
  
 
 
 (2.139) 
với các thành phần lưc̣ đươc̣ xác điṇh như sau 
(i) Các thành phần trung bình là hằng số được biểu diễn tương tự như (2.128) (ký hiệu bởi s 
– steady state) 
LC
LC
'LC
s 
s 
s 
DC
DC
'DC
MC
MC
'MC
43 
2
2
2 2
1
2
1
2
1
2
s L
s D
s M
L U BC
D U BC
M U B C
 (2.140) 
(ii) Các thành phần phụ thuộc vào chuyển vị của mặt cắt ngang được gọi là các lực tự kích 
(ký hiệu bởi se – self excited) 
2
2
2 2
1
' ' ' 2
2
1
2 ' '
2
1
2 ' 2 ' 2 ' 4
2
se L D L D L L
se D D L D D L
se M M M M
h b p
L U B C C C C C C
U U U
p b h
D U B C C C C C C
U U U
h b p
M U B C C C C
U U U
 
 
 
  

  
 (2.141) 
(iii) Các thành phần phụ thuộc vào sự thay đổi vận tốc gió , đươc̣ goị là các lưc̣ buffeting 
(ký hiệu bởi b) 
2
2
2 2
1
2 '
2
1
2 '
2
1
2 '
2
b L L D
b D D L
b M M
u w
L U B C C C
U U
u w
D U B C C C
U U
u w
M U B C C
U U
 (2.142) 
So sánh các phương trình (2.72), (2.73), (2.74) với hê ̣(2.141), ta có thể biểu diêñ các tham 
số flutter theo các hê ̣số tiñh như sau 
* *
1 2
* 2 *
3 5
* * * 2
1 2 3
*
5
* * * 2
1 2 3
*
5
2 ' / ; 2 ' / ;
4 ' / ; 4 / ;
4 / ; 2 ' / ; 4 ' /
2 ' / ;
4 ' / ; 4 ' / ; 8 ' / ;
8 /
L D L D
L L
D D L D
D L
M M M
M
H C C K H C C K
H C K H C K
P C K P C C K P C K
P C C K
A C K A C K A C K
A C K



 (2.143) 
2.3.3.4 Các phương án chọn điểm tính ảnh hưởng vận tốc xoắn 
Môṭ cách tổng quát , điểm tính ảnh hưởng vâṇ tốc g óc xoắn là khác nhau với lực nâng 
 L  , lưc̣ đẩy D  và momen xoắn M  . 
● S. Stoyanoff [161] và E. Strømmen [160] chọn điểm tính ảnh hưởng vận tốc góc xoắn tại 
khối tâm, nghĩa là 0.L D M   Tuy nhiên O. Øiseth [122] đa ̃tính toán ổn điṇh với cầu 
44 
Hardanger và nhâṇ thấy rằng nếu không xét cản xoắn khí đôṇg , , 0L D M sẽ cho sai số vận 
tốc gió tới haṇ khoảng 40%. 
● C. Borri [44] khi nghiên cứu mô hình măṭ cắt dầm cầu hai bâc̣ tư ̣do , đề xuất 
1L M  , nghĩa là điểm xét ảnh hưởng vận tốc góc xoắn tại mép biên của dầm cầu về 
phía thượng lưu của luồng gió với giả thi ết rằng chuyển vị của mặt cắt được điều khiển bởi 
hiện tượng xảy ra tại mép của biên giữa trường gió và mặt cắt . Tác giả Borri cũng khuyến nghị 
rằng giả thiết này biểu diễn tình huống thực chỉ khi biên dạng là đủ “khí động“ , nghĩa là khi tỉ 
số giữa độ dày và kích thước đặc trưng B của dầm cầu là đủ nhỏ và sự tách dòng của luồng 
gió không ảnh hưởng môṭ cách đôṭ ngôṭ lên khí động mặt cắt . 
● L. Salvatori [136], xét điểm tính ảnh hưởng vận tốc góc xoắn dựa trên thí nghiệm lực khí 
đôṇg. Dưạ trên công thức lưc̣ tư ̣kích của Sarkar , nhâṇ thấy các thành phần lưc̣ có daṇg biểu 
diêñ tương tư ̣nhau và hiểu môṭ cách đ ơn giản, xem mô hình lưc̣ á bình ổn là trường hợp giới 
hạn của mô hình lự c khí đôṇg taị các tần số thu goṇ thấp , so sánh hê ̣số của  trong (2.72), 
(2.73), (2.74) và hệ (2.141) ta đươc̣ 
*
2
0
*
2
0
*
2
0
' lim
' lim
2 ' lim
L
L D
K
D
D L
K
M
M
K
b B
C C KH
U U
b B
C C KP
U U
b B
C KA
U U



 hay 
*
2
0
*
2
0
*
2
0
' lim
2
' lim
2
' lim
L
L D
K
D
D L
K
M M
K
C C KH
C C KP
C KA



 (2.144) 
● G. Diana [62] khi xét mô hình măṭ cắt hai bâc̣ tư ̣do đa ̃đưa ra hai điểm tính ảnh hưởng 
vâṇ tốc xoắn khác nhau cho lưc̣ nâng và momen xoắn . Khi bỏ qua chuyển vi ̣ theo phương 
ngang, hê ̣(2.141) có dạng 
2
2 2
1
' ' '
2
1
2 ' 2 ' 2 '
2
L
se L D L D L
M
se M M M
bh
L U B C C C C C
U U
bh
M U B C C C
U U
 
 
 
 
 (2.145) 
Các phương trình (2.72) và (2.73) khi bỏ qua chuyển vi ̣ theo phương ngang và bỏ qua ảnh 
hưởng của thành phần h khi biểu diêñ các lưc̣ tư ̣kích có daṇg 
2 * * 2 *
1 2 3
2 2 * * 2 *
1 2 3
1
( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( ) ( )
2
se
se
h B
L U B KH K KH K K H K
U U
h B
M U B KA K KA K K A K
U U
 
 
 (2.146) 
So sánh các hê ̣số của (2.145) và (2.146) ta rút ra 
*
* 2 * 2
1 3 *
1
*
* 2 * 2
1 3 *
1
' ; 2
1 1
' ; 2
2 2
L D L
M M
H
C KH C K H
H
A
C KA K A
A


 (2.147) 
45 
2.4 Một phương án nhận dạng các tham số của mô hình dao động 
flutter hai bậc tự do 
2.4.1 Thiết lập phương trình dao động uốn-xoắn của dầm cầu 
Để nhận được phương trình vi phân dao động uốn-xoắn của dầm cầu, sử dụng các giả thiết 
sau đây [128, 149, 153, 168] 
- Quan hệ giữa ứng suất-biến dạng là tuyến tính (quy luật vật liệu tuyến tính) 
- Bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt và lực quán tính quay. Do đó ta có thể sử dụng lý 
thuyết dầm Euler – Bernoulli. 
- Dầm có mặt phẳng đối xứng, do đó có hai trục đối xứng, trong lý thuyết gần đúng xem 
dao động uốn và dao động xoắn được mô tả bởi các phương trình không liên quan. 
- Dầm có mặt cắt dạng đối xứng với hai trục đối xứng (phương trình dao động uốn và 
phương trình dao động xoắn là không kết hợp). 
- Lực nâng và momen khí động gây ra bởi tác dụng của gió phụ thuộc tuyến tính vào 
chuyển vị uốn w t và góc xoắn t và các đạo hàm của chúng 
 , , , , , ,L LA A t w w w    
 , , , , , ,L LM M t w w w    
- Bỏ qua ảnh hưởng của lực khí động dọc theo chiều dài của dầm. 
 Hình 2.19 a. Các thành phần momen uốn và lực cắt (mode uốn), b. Các thành phần 
 momen xoắn (mode xoắn) 
Xét một phân tố dầm rất nhỏ như trên hình 1a để suy ra phương trình dao động uốn của 
dầm. Chiều dài phân tố này là dx . Trong khuôn khổ lý thuyết đàn hồi tuyến tính, các lực và 
ngẫu lực tác dụng lên phân tố dx của dầm bao gồm : các lực cắt Q và 
Q
Q dx
x


, các momen 
uốn M và 
M
M dx
x


, LA là lực nâng khí động tác dụng lên một đơn vị chiều dài dầm và giả 
thiết là tỉ lệ thuận với vận tốc gió, lực quán tính *F [53, 55] 
x
T
T dx
x


T
 ,x t ,x t dx
x


*M
e
cM
LM
z
x
M
M dx
x


Q
Q dx
x


LA dx
M
Q
e
cF
*F
 a b
46 
2
*
2
w
F m dx
t


, (2.148) 
và lực cản ngoài : 
 e e
c b
w
F c dx
t

 
 
 (2.149) 
với ,w x t ký hiệu chuyển vị uốn của dầm, bm A , b là khối lượng riêng của dầm, A x 
là diện tích mặt cắt ngang của dầm và e
bc là hệ số cản ngoài. 
Xét đến ảnh hưởng của nội ma sát, momen uốn có dạng [159] 
2 3
2 2
i
b
w w
M EI c
x x t
  
   
 (2.150) 
với E là modul đàn hồi Young, I x là momen quán tính quanh trục y của mặt cắt ngang 
dầm và ibc là hằng số thể hiện mối quan hệ giữa ứng suất  và biến dạng e khi chú ý đến nội 
ma sát của dầm. 
Áp dụng nguyên lý d’Alembert, phương trình cân bằng lực chiếu lên trục z như hình 
2.19a, ta có : 
2
2
e
b L
Q w w
m c A
x t t
   
   
 (2.151) 
chú ý rằng 
M
Q
x


 (2.152) 
Thay phương trình (2.150) vào phương trình (2.152) ta có : 
2 3
2 2
i
b
w w
Q EI c
x x x t
   
    
 (2.153) 
Thay phương trình (2.153) vào phương trình (2.151) ta nhận được phương trình vi phân đạo 
hàm riêng mô tả dao động uốn của dầm 
2 2 2 3
2 2 2 2
e i
b b L
w w w w
m c EI c A
t t x x x t
     
      
 (2.154) 
Tiếp theo, phương trình dao động xoắn được thiết lập bằng cách xét điều kiện cân bằng 
động lực học của phân tố dầm giữa hai mặt cắt x và x dx như trên hình 2.19b. Trên hình 
này, LM là momen lực khí động tác dụng lên một đơn vị chiều dài dầm, T và 
T
T dx
x


 là 
momen xoắn tại hai mặt cắt x và x dx , ecM là momen cản ngoài và giả thiết là tỉ lệ với góc 
xoắn, *M là momen lực quán tính. 
2
*
2
,e ec t b P b pM c I dx M I dx
t t
 
 
 (2.155) 
với pI là momen thiết diện đối với trục của thanh và 
e
tc là hệ số cản ngoài. 
Áp dụng nguyên lý d’Alembert ta có : 
47 
2
2
0eb p t b P L
T
T dx T I dx c I dx M dx
x t t
   
   
 (2.156) 
Từ đó suy ra 
2
2
e
b p t L
T
I c M
x t t
   
   
 (2.157) 
Chú ý rằng 
TT GI
x
 

 (2.158) 
với TGI là độ cứng chống xoắn. Thay phương trình (2.158) vào phương trình (2.157) ta có 
phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả dao động xoắn của dầm 
2
2
e
b P t T LI c GI M
t t x x
     
     
 (2.159) 
Như vậy, dao động uốn xoắn của dầm có thể được mô tả bởi một hệ hai phương trình vi 
phân đạo hàm riêng như sau : 
2 2 2 3
2 2 2 2
2
2
e i
b b L
e
b P t T L
w w w w
m c EI c A
t t x x x t
I c GI M
t t x x
     
      
     
     
 (2.160) 
2.4.2 Biến đổi hệ phương trình dao động uốn-xoắn của dầm về hệ các phương 
trình vi phân thường 
Trong trường hợp độ cứng chống uốn EI , độ cứng chống xoắn TGI , diện tích mặt cắt 
ngang A , khối lượng riêng của dầm b là các hằng số trên suốt chiều dài dầm L , phương 
trình dao động uốn-xoắn của dầm được suy ra từ hệ phương trình (2.160) như sau : 
4 5 2
4 4 2
i e
b b L
w w w w
EI c m c A
x x t t t
    
     
 (2.161) 
2 2
2 2
e
T b P t LGI I c M
x t t
   
   
 (2.162) 
 Hình 2.20 Mô hình dầm giản đơn 
z
x
48 
Nghiệm của các phương trình (2.161) và (2.162) cần phải thỏa mãn các điều kiện biên tại 
0x và x L . Nghiệm của hệ (2.161) và (2.162) tương ứng các điều kiện biên như trên hình 
2.20 có thể được tìm dưới dạng 
1 1
, sin , , sin
n n
j j
j j
j j
w x t h t x x t t x
L L
  (2.163) 
Từ (2.163) ta suy ra 
44
4
1
4 25 2
4 2
1 1
2
2
1 1
( )sin
( )sin , ( )sin
( )sin , ( )sin
n
j
j
n n
j j
j j
n n
j j
j j
w j j
h t x
x L L
w j j w j j
h t x h t x
x t L L x L L
w j w j
h t x h t x
t L t L
 
 
  
   
  
  

 
 

 
 (2.164) 
22
2
1
2
2
1 1
( )sin
( )sin , ( )sin
n
j
j
n n
j j
j j
j j
t x
x L L
j j
t x t x
t L t L
 
 
  
  

  
 (2.165) 
Giả sử rằng lực khí động LA và momen lực khí động LM là hàm tuyến tính của dịch 
chuyển, vận tốc và gia tốc 
2 2
0 11 12 13 11 12 132 2
( , ) ( , )L
w w
A a a w x t a a b x t b b
t t t t
   
   
 (2.166)
2 2
0 21 22 23 21 22 232 2
( , ) ( , )L
w w
M b a w x t a a b x t b b
t t t t
   
   
 (2.167) 
Trong đó 0 0, , ,ij ija b a b có thể là các hằng số hoặc là hàm của thời gian. 
Thay thế các phương trình (2.164)-(2.167) vào các phương trình (2.161), (2.162) ta nhận 
được 
4 4
1 1
2
1 1
0 11 12
1 1
( )sin ( )sin
( ) ( ) sin ( )sin
( )sin ( )
n n
i
j b j
j j
n n
e
j b j j
j j
n
j j
j j
j j x j j x
EI h t c h t
L L L L
j x j j x
m h t c h t N h t
L L L
j x
a a h t a h t
L
 
 


 

13
1
11 12 13
1 1 1
sin ( )sin
( )sin ( )sin ( )sin
n n
j
j
n n n
j j j
j j j
j x j x
a h t
L L
j x j x j x
b t b t b t
L L L
 
  

 
 (2.168) 
49 
2
1 1
0 21 22 23
1 1 1
21 22
1
( ) ( ) sin ( )sin
( )sin ( )sin ( )sin
( )sin
n n
e
b p j t j T j
j j
n n n
j j j
j j j
n
j j
j
j x j j x
I t c t GI t
L L L
j x j x j x
b a h t a h t a h t
L L L
j x
b t b
L
 
  

 
 

23
1 1
( )sin ( )sin
n n
j
j j
j x j x
t b t
L L
  
 (2.169) 
Chú ý rằng 
0
0
sin sin
2
L khi j k
j x k x
dx L
L L khi j k
 (2.170) 
 0 0 0
0
sin sin sin
cos 1 ( 1)
L L k
k k
k x L k x k x L
dx d ydy
L k L L k
L L
y
k k
 (2.171) 
Nhân hai vế của hệ phương trình (2.168) và (2.169) với sin
j x
L
 rồi tích phân cả hai vế 
theo x từ 0x đến x L . Sau khi tính toán, ta nhận được 

4 4 2
0 11 12 13
11 12 13
( ) ( ) ( )
2
1 ( 1) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) , 1,2,3,...
i e
k b b k k
k
k k k
k k k
k k k
mh t EIc c h t EI N h t
L L L
a a h t a h t a h t
k
b t b t b t k

 
 
 
 (2.172) 
2
0 21 22 23
21 22 23
( ) ( ) ( )
2
1 ( 1) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) , 1,2,3,...
e
b p k t b p k T k
k
k k k
k k k
k
I t c I t GI t
L
b a h t a h t a h t
k
b t b t b t k
 
 
 
 (2.173) 
Như vậy, bằng cách khai triển theo các hàm riêng, ta biến đổi được hệ phương trình đạo 
hàm riêng mô tả dao động uốn-xoắn của dầm cầu hai đầu bản lề dưới tác dụng của gió về hệ 
các phương trình vi phân thường (2.172) và (2.173). 
Để đơn giản ta lấy 1k , khi đó hệ phương trình (2.172) và (2.173) có dạng 
4 4 2
4 4 2
0 11 12 13 11 12 13
1 1 1
( ) ( ) ( )
4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i e
b bmh t EIc c h t EI N h t
L L L
a a h t a h t a h t b t b t b t
  
 
   
 (2.174) 
50 
2
2
0 21 22 23 21 22 23
1
( ) ( ) ( )
4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e
b p t b p TI t c I t GI t
L
b a h t a h t a h t b t b t b t
 
   
 (2.175) 
Đưa vào các ký hiệu 
4 4 2
4 4 2
2
2
1 1 1
,
1
, ,
i e
h b b h
e
b p t b p T
c EIc c k EI N
L L L
I I c c I k GI
L
  
 (2.176) 
Thì hệ (2.174), (2.175) có dạng 
 ( ) ( ) ( )h Lmh t c h t k h t A 
  (2.177)
 ( ) ( ) ( ) LI t c t k t M   (2.178) 
với 
 0 11 12 13 11 12 13
4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )LA a a h t a h t a h t b t b t b t 
     (2.179) 
 0 21 22 23 21 22 23
4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )LM b a h t a h t a h t b t b t b t 
     (2.180) 
Nếu các hệ số của lực khí động và momen khí động theo các phương trình (2.179) và 
(2.180) được xác định bởi 
2 * 2 2 2 *
0 0 11 4 21 4
2 * 2 2 *
12 1 22 1 13 23
2 2 * 2 2 2 * 2 *
11 3 21 3 12 2
2 2 *
22 2 13 23
1 1
0, / , /
2 2
1 1
/ , / , 0
2 2
1 1 1
, , /
2 2 2
1
/ , 0
2
a b a U BKH K B a U B K A K B
a U BKH K U a U B KA K U a a
b U BK H K b U B K A K b U BKH K B U
b U B KA K B U b b
 (2.181) 
Như vậy, các phương trình (2.177) và (2.178) có dạng 
2 * * 2 * 2 *
1 2 3 4
( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
h hmh t c h t k h t
h B h
U B KH K KH K K H K K H K
U U B
 
  (2.182) 
2 2 * * 2 * 2 *
1 2 3 4
( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
I t c t k t
h B h
U B KA K KA K K A K K A K
U U B
 
  (2.183) 
với B là bề rộng dầm cầu, U là vận tốc luồng gió, /K B U là tần số thu gọn. 
51 
2.5 Kết luận chương 2 
Trong chương 2 của luận văn, trình bày sơ lược một số vấn đề cơ bản về đặc tính của gió, 
tác dụng của gió lên công trình, đặc biệt lên cầu treo. Đồng thời trong chương này cũng giới 
thiệu một số hiện tượng dao động của cầu phát sinh bởi tác dụng của gió. Đó là dao động do 
xoáy khí (vortex-induced vibration), dao động do rối của dòng khí (buffeting), dao động uốn 
tự kích (galloping), dao động uốn-xoắn tự kích (flutter), dao động do gió-mưa (rain-wind-
induced vibration). Trong đó dao động uốn-xoắn tự kích là loại dao động nguy hiểm nhất. 
Trong các chương sau chủ yếu đi sâu nghiên cứu hiện tượng flutter.