Toán học - Chương 1: Khái niệm về số gần đúng và sai số

Chương 1 
KHÁI NIỆM VỀ 
SỐ GẦN ĐÚNG 
VÀ SAI SỐ
Độ sai lệch giữa giá trị gần đúng và giá 
trị chính xác gọi là sai số.
I. KHÁI NIỆM SAI SỐ :
Ta có 4 loại sai số :
➢ Sai số giả thiết
➢ Sai số số liệu ban đầu
➢ Sai số phương pháp
➢ Sai số tính toán 
Sai số phương pháp : Các phương pháp dùng 
để giải các bài toán kỹ thuật thường là các 
phương pháp giải xấp xỉ gần đúng, mỗi 
phương pháp có 1 sai số nhất định nào đó, sai 
số này gọi là sai số phương pháp
Sai số tính toán : Tính toán bằng máy tính 
thường chỉ sử dụng 1 số hữu hạn các chữ số 
hoặc làm tròn số, các sai số này tích lũy trong 
quá trình tính toán gọi là sai số tính toán hay 
sai số làm tròn.
II. CÁCH BIỂU DIỄN SAI SỐ :
Gọi A là số chính xác của bài toán
Số a gọi là số gần đúng của A nếu nó xấp xỉ A 
ký hiệu a ≈ A 
Đại lương Δ = | a – A | 
gọi là sai số thực sự của số gần đúng a 
1. Sai số tuyệt đối
Trong thực tế do không tính được A, ta tìm 1 
số dương Δa càng bé càng tốt thoả 
Δa gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a
Ký hiệu A = a ±Δa
| a – A | ≤ Δa
2. sai số tương đối : (tính theo %)
Sai số tương đối của số gần đúng a là số dương 
δa tính theo công thức
δa = Δa / |a|
Ví dụ :
Giả sử A = π; 
a = 3.14 là số gần đúng của π
Xác định sai số
• Giải 
• Ta có 
• π = 3.14159265358979323846264338327
• ⇒ | 3.14 - π | < 0.01
• ⇒ Δa = 0.01 
Mặt khác 
 | 3.14 - π | < 0.0016
 ⇒ Δa = 0.0016
δa = 0.3185%
δa = 0.05096%
Do đó cùng 1 giá trị gần đúng có thể có 
nhiều sai số tuyệt đối khác nhau, trong ví dụ 
này, sai số 0.0016 là tốt hơn
Ví dụ : Cho a = 1.85 với sai số tương đối là 
0.12%, tính sai số tuyệt đối
Δa = |a| * δa 
 = 1.85 * 0.12 /100 = 0.00222 
3. Sai số của một hàm :
• Cho hàm y = f (x1, x2, . . . , xn)
• Mỗi biến xi có sai số Δxi. Xác định sai số của y
Sai số tuyệt đối
Sai số tương đối
Ví dụ : Cho A = 1.5±0.002
B = 0.123 ± 0.001 C = 13.00 ± 0.05
Tính sai số tuyệt đối
1. x = a + b 
2. y = 20a – 10b + c
3. z = a + bc
4. t = a3 + 2a2 +8
• Giải 
• 1. Δx = Δa + Δb = 0.002 + 0.001 = 0.003
• 2. Δy = 20Δa + 10 Δb + Δc = 0.1
• 3. Δz = Δa + |c| Δb + |b| Δc = 0.02115
• 4. Δt = |3a
2 + 4a|Δa = 0.0255
Ví dụ : Cho f = x3+xy+y3. 
Biết x=2.4347±0.0035, y=2.6278 ±0.0062. 
Tính sai số tuyệt đối Δf
•Giải 
Ví dụ : Diện tích đường tròn S = πR2
với π = 3.14 ± 0.002 và R = 5.25 ± 0.001 m
Tính sai số tuyệt đối và tương đối của S
Giải : 
sai số tuyệt đối 
ΔS = R
2 *Δπ + 2πR*ΔR
= (5.25)2x0.002 + 2x3.14x5.25x0.001
= 0.088095 
Sai số tương đối 
S = 3.14 x (5.25)2 = 86.54625
δS = ΔS / S = 0.1018%
III. BIỂU DIỄN SỐ THẬP PHÂN
Số thập phân a được biểu diễn dưới dạng
a = amam-1 ... a1a0.a-1a-2 ... a-n 
1. Làm tròn số
Làm tròn số là bỏ 1 số các chữ số lẻ bên phải 
để được 1 số ngắn gọn hơn và gần đúng với a.
Giả sử ta muốn làm tròn đến chữ số lẻ thứ 
k (1 ≤ k ≤ n). 
xét 2 số
a- = amam-1 ... a1a0.a-1a-2 ... a-k 
a+ = amam-1 ... a1a0.a-1a-2 ...(a-k+1)
chọn số làm tròn là a- hoặc a+ theo điều kiện
Nếu a-k-1 (chữ số sau chữ số lẻ thứ k)
< 5 : ã = a-
≥ 5 : ã = a+
Ví dụ :
Cho a = 456.12345678
▪ Làm tròn với 2 chữ số lẻ
 ã = a- = 456.12
▪ Làm tròn với 4 chữ số lẻ
ã = a+ = 456.1235
▪ Sai số làm tròn 
Đặt 
Ta có 
* NX : Ta có Δã ≥ Δa. Vậy khi làm tròn sai 
số sẽ tăng lên θ, nên trong tính toán ta tránh 
làm tròn các phép toán trung gian, chỉ làm 
tròn kết quả cuối cùng.
Vậy sai số làm tròn :
Sai số 
giải
θ = | 187.1235 – 187.123456 | = 0.000044
Vậy = 0.000044 + 0.0001 = 0.000144
Ví dụ : Cho số CX A, a = 187.123456 là số 
gần đúng với sai số là 0.0001. Gọi ã là số làm 
tròn của a với 4 chữ số lẻ. Tính sai số của ã so 
với A
Bài tập
Biết A có giá trị gần đúng là a=3.2705 với sai số 
tương đối là δa= 0.64%. Ta làm tròn a thành ã với 2 
chữ số lẻ. Tính sai số tuyệt đối của ã
Sai số 
giải
θ = | 3.27 – 3.2705 | = 0.0005
Vậy = 0.0005 +0.0209312=0.0214312
Chú ý : 
Trường hợp làm tròn trong bất đẳng thức, ta 
dùng khái niệm làm tròn lên và làm tròn 
xuống
°Làm tròn lên : ã = a+ , áp dụng cho các số 
ở vế lớn hơn
°Làm tròn xuống : ã = a- , áp dụng cho các 
số ở vế nhỏ hơn
▪b > 78.6789 
làm tròn xuống ta được 
b > 78.67
Ví dụ :
▪ a < 13.9236 
làm tròn lên với 2 chữ số lẻ ta được 
a < 13.93
Bài tập :
Làm tròn đến 2 chữ số lẻ các số trong các 
biểu thức sau : 
a. a=12.6724 b. a=1.5476
c. a≤12.8713 d. a≥1.2354
e. a=-15.6584 f. a≤-23.5776
2. Chữ số có nghĩa :
là những chữ số tính từ chữ số khác 0 đầu 
tiên từ trái sang.
Ví dụ : 
10.20003 có 7 chữ số có nghĩa
001234.34 có 6 chữ số có nghĩa
0.010203 có 5 chữ số có nghĩa
10.20300 có 7 chữ số có nghĩa
2. Chữ số đáng tin : 
Cho a ≈ A với sai số Δa . 
Chữ số ak gọi là chữ số đáng tin nếu 
Δa ≤ 10
k / 2
hay k ≥ log (2Δa )
Ví dụ : Tìm số chữ số đáng tin của a
1. a = 75.3456 với Δa = 0.0044
2. a = 75.3456 với Δa = 0.0062
1. Chữ số ak là đáng tin nếu 
k ≥ log(0.0088) = -2.0555
vậy ta có 4 chữ số đáng tin 7, 5, 3, 4. 
giải
2. k ≥ log(0.0124) = -1.9065
vậy ta có 3 chữ số đáng tin 7, 5, 3