Toán học - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

2/19/2019
1
Chương 4
1
Biến ngẫu nhiên hai chiều
rời rạc
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Yêu cầu
• Phân phối xác suất đồng thời
• Phân phối lề (tính từ ppxs đồng thời)
• Phân phối xác suất điều kiện
• Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên
• Các tham số đặc trưng
2nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Khái niệm
• Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu
nhiên.
• Nếu X và Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc
• Nếu X và Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục
• Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rất
phức tạp nên ta không xét trường hợp này.
3nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 1
• Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm. Nếu
kích thước sản phẩm đo bằng chiều rộng X và
chiều dài Y thì ta có bnn hai chiều (X, Y).
• Nếu xét thêm cả chiều cao Z thì ta có bnn 3 chiều
(vec tơ ngẫu nhiên 3 chiều) (X,Y,Z)
• Nếu chỉ quan tâm đến trọng lượng W và thể tích V
của sản phẩm thì ta có bnn hai chiều (W,V)
4nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Hàm khối xác suất đồng thời
• Joint probability mass function (p.m.f.)
• Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc. Gọi S là tập
hợp giá trị của X và Y.
• Ký hiệu: pX,Y(x,y)
5
 , , ,X Yp x y P X x Y y 
,
,
,
,
,
) 0 , 1
) , 1
) , , ,
 
X Y
X Y
X Y
x y S
x y A
i p x y
ii p x y
iii P X Y A p x y A S
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)
6
y1 y2  yj  ym ∑
x1 p11 p12  p1j  p1m p1●
x2 p21 p22  p2j  p2m p2●
xi pi1 pi2  pij  pim pi●
xn pn1 pn2  pnj  pnm pn●
∑ p●1 p●2  p●j  p●m 1
Y
X
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
2/19/2019
2
Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)
• Trong đó:
7
 ,
1 1
1 1
) , ,
) 1
) ;
ij X Y i j i j
n m
ij
i j
m n
i ij j ij
j i
i p p x y P X x Y y
ii p
iii p p p p

 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Phân phối lề
• Marginal Probability Mass Function
• Phân phối lề của X:
• Phân phối lề của Y:
8
 , 1, , X X Y
y
p x p x y P X x x S
 , 2, , Y X Y
x
p y p x y P Y y y S
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Sự độc lập
Hai biến ngẫu nhiên X, Y gọi là độc lập nếu:
• Dấu hiệu:
• Hai hàng bất kỳ tỷ lệ.
• Hai cột bất kỳ tỷ lệ.
9
 1 2, , ,   P X x Y y P X x P Y y x S y S
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 2
Cho hàm khối xác suất đồng thời như sau:
Trong đó:
a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời.
b) Hai biến ngẫu nhiên X, Y có độc lập?
10
2
, ,
13
 X Y
xy
p x y
 1,1 , 1,2 , 2,2 S
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
The Trinomial Distribution
• Sinh viên đọc thêm
11nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 3
129 130 131
15 0,12 0,42 0,06
16 0,08 0,28 0,04
12
X: chiều dài (mm)
Y:
chiều
rộng
(mm)
• Tìm xác suất một chiếc CD có chiều dài 130mm biết
chiều rộng là 15mm.
• Tìm phân phối xác suất của X với điều kiện Y =15.
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
2/19/2019
3
Ppxs có điều kiện
• Giả sử bnn 2 chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồng
thời và các hàm khối xác suất thành phần:
• PPXS điều kiện của X khi cho Y=y là:
• PPXS điều kiện của Y khi cho X=x là:
13
 , , ; ;X Y X Yp x y p x p y
, ,
|
X Y
X
Y
p x y
p x y
p y
, ,
| 
X Y
Y
X
p x y
p y x
p x
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy)
• Kỳ vọng của X với điều kiện Y=y (còn gọi là hồi quy
của X theo Y khi Y=y)
• Kỳ vọng của Y với điều kiện X=x (còn gọi là hồi quy
của Y theo X khi X=x)
14
 | || .   Y x Y x
y
E Y X x y p y
 | || .   X y X y
x
E X Y y x p x
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Phương sai có điều kiện
• Phương sai của X với điều kiện Y=y
• Tương tự cho Y.
15
2
|
2
2 2
|
| .
| .

 


X yX y
x
X y X y X y
y
V X Y y x p x
V X Y y x p x
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 4
129 130 131
15 0,12 0,42 0,06
16 0,08 0,28 0,04
16
X: chiều dài (mm)
Y:
chiều
rộng
(mm)
• Tìm E(Y|X=129) và V(Y|X=129)
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 5
• Chọn ngẫu nhiên 2 cục pin, không hoàn lại, từ 12
cục pin, trong đó bao gồm 3 cục mới, 4 cục đã sử
dụng và 5 cục bị hỏng.
• Gọi X là số pin mới được chọn.
• Gọi Y là số pin đã sử dụng được chọn.
• Lập bảng ppxs đồng thời của (X,Y)
• Tìm E(X), E(Y)
17nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 6
• Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối xác
suất:
• Tìm luật ppxs của các biến X và Y.
18
1 2 3
1 0,10 0,25 0,10
2 0,15 0,05 0,35
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
2/19/2019
4
Ví dụ 7
• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên
(X,Y) cho bởi bảng sau:
• Tính P(X=6) và P(X ≥ 7, Y ≥2)
• Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y).
19
1 2 3
6 0,10 0,05 0,15
7 0,05 0,15 0,10
8 0,10 0,20 0,10
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 8
• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên
(X,Y) cho bởi bảng sau:
• Lập bảng ppxs của X với đk Y=2. Tính E(X|Y=2)?
• Lập bảng ppxs của Y với đk X=8. Tính E(Y|X=8)?
20
1 2 3
6 0,10 0,05 0,15
7 0,05 0,15 0,10
8 0,10 0,20 0,10
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 9
• Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y
(triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồng
thời như sau:
21
500
(400-600)
700
(600-800)
900
(800-1000)
30 0,10 0,05 0
50 0,15 0,20 0,05
80 0,05 0,05 0,35
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 9
• Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì chi
phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu?
22
A. 60,5 B. 48,3333
C. 51,6667 D. 76,25
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 10
• Lãi suất cổ phiếu tính trên 100 USD khi đầu tư vào hai
ngân hàng A và B trong 1 năm tương ứng X, Y )(đơn vị %)
có ppxs đồng thời như sau:
• A) Lập bảng phân phối biên của X, Y. Tính lãi trung bình
của từng ngân hàng.
23
-2 5 10
- 1 0,10 0,05 0
4 0,15 0,20 0,05
8 0,05 0,05 0,35
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 10
• B) Khi Y=5% tính lãi cổ phần trung bình của X?
• C) X và Y có độc lập nhau không
• D) Lập bảng ppxs của T=X+Y. Tìm E(T), V(T)
24
-2 5 10
- 1 0,10 0,05 0
4 0,15 0,20 0,05
8 0,05 0,05 0,35
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
2/19/2019
5
Kỳ vọng của hàm theo X,Y
• Cho X,Y có phân phối đã biết. Đặt Z=h(X,Y) là biến
mới.
• Ta có:
25
 , , ,i j i j
i j
E h X Y h x y P X x Y y 
 ,, , ,X Y
x y
E h X Y h x y p x y 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 11
• Cho bnn rời rạc X, Y có phân phối xác suất đồng thời
như sau:
• Tìm kỳ vọng của h(X,Y)=X.Y2
26
1 2 3
4 0,10 0,15 0,1
5 0,25 0,20 0,2
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 12
• Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau:
27
(X,Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)
pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2
0 0 .0,1 0 1 .0,2
0 2 .0,3 1 0 .0,05 1 1 .0,15
1 2 .0,2 1,75
E Z E X Y 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Hiệp phương sai (Covariance)
• Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y, ký
hiệu cov(X,Y), là kỳ vọng toán của tích các sai lệch
của các bnn đó và kỳ vọng toán của chúng.
28
 cov ,    X Y XYX Y E X Y
 cov , X YX Y E XY   
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Tính chất Covariance 1
29
1) cov , cov ,
2)cov ,
3) cov ', cov , cov ',
4)cov , cov ,
5)cov , cov ,
X Y Y X
X X V X
X X Y X Y X Y
kX Y k X Y
aX c bY d ab X Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 13
30
-2 5 10
- 1 0,10 0,05 0
4 0,15 0,20 0,05
8 0,05 0,05 0,35
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
2/19/2019
6
Tính chất Covariance 2
31
2
2
2
6) cov , 0,
7) 2cov ,
8)
9) co
2 co
v
,
,
v
.
Neáu X vaø Y ñoäc laäp thì 
ngöôïc laïi khoâng chaéc ñuùng.
X Y
V X Y V X
V aX bY a V X b V Y ab X Y
X Y
V Y X
V X V Y
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Hệ số tương quan
• Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y ký
hiệu Corr(X,Y) và định nghĩa bởi công thức:
• Hệ số tương quan còn ký hiệu là:
32
 cov ,
,
 
X Y
or
X Y
rC X Y
 , ; ,X Y r X Y 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Tính chất
33
,
,
,
,
,
,
) 1 1
) 0.
)
) , 0
1
1
vôùi moïi X, Y.
Neáu X vaø Y ñoäc laäp thì 
neáu ab>0
neáu ab<0
khi vaø chæ khi:
neáu a>0
neáu a<0
X Y
X Y
X Y
aX c bY d
X Y
X Y
i
ii
iii
iv Y aX b a
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ý nghĩa
• Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến
tính giữa X và Y.
• Khi |ρX,Y| càng gần 1 thì mức độ quan hệ tuyến
tính càng chặt.
• Khi |ρX,Y| càng gần 0 thì mức độ quan hệ tuyến
tính càng yếu.
• Khi ρX,Y = 0 ta nói X và Y không tương quan.
34nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Về dấu của Corr(X,Y)
• https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/113/
• Tại sao ρX,Y có thể đo mức độ tương quan tuyến tính?
• Tại sao ρX,Y càng gần 1; -1 thì mức độ quan hệ tuyến tính càng
mạnh
35nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 14
Cho bảng ppxs đồng thời:
a) Tìm hệ Corr(X,Y)
b) X và Y có phải là hai biến ngẫu nhiên độc lập
36nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019