Toán cao cấp A2 - Chương 3: Không gian vectơ

10/11/2019
1
KHÔNG GIAN VECTƠ CHƯƠNG 3
10/10/2019 1
NỘI DUNG
o Subspaces of Rn
o Spanning sets
o Independence
o Bases of vector spaces 
o Dimensions
o Column space and row space of a matrix
10/10/2019 2
KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VEC TƠ
10/10/2019 3
TÍNH CHẤT
1 .0 0x x
10/10/2019 4
KHÔNG GIAN R3
Phép cộng hai vec tơ: 
Phép nhân vec tơ với một số: 
Sự bằng nhau của hai vec tơ:
 V1 là không gian vec tơ. Ký hiệu: R3
Tương tự ta có không gian Rn
1 1 2 3 1 2 3
, , | , ,V x x x x x x R
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
, , , , , ,x y x x x y y y x y x y x y
1 2 3 1 2 3
. , , , ,x x x x x x x
1 1
2 2
3 3
x y
x y x y
x y
10/10/2019 5
VECTOR N CHIỀU
(x1, x2) // vector in R
2
(x1, x2, x3) // vector in R
3
(x1, x2, x3, x4) // vector in R
4
(x1, x2, , xn) // vector in R
n
A vector (x1, x2, , xn) in R
n is also called a point in Rn.
(0, 0, , 0): the zero vector in Rn
10/10/2019 6
10/11/2019
2
PHÉP CỘNG VÀ NHÂN VÔ HƯỚNG TRONG RN
u = u1, u2, , un)
v = (v1, v2, , vn)
Vector addition:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, , un + vn)
Scalar multiplication:
cv = (cv1, cv2, , cvn) 
10/10/2019 7
EXAMPLES
Given two vectors u = (2, -1, 1, 2), v = (3, 1, 2, -1)
 Find u + v 
u + v = (5, 0, 3, 1)
 Find ½u
½u = (1, - ½, ½,1)
 Find -3v
-3v = (-9, -3, -6, 3)
 And find 3u - 2v
3u + 2v = (0, -5, -1, 8)
10/10/2019 8
KHÔNG GIAN P2[X]
Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai đa thức.
Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân đa thức với một 
số
Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai 
đa thức bằng nhau (các hệ số tương ứng bằng nhau)
 V2 là không gian vec tơ. Ký hiệu: P2[x]
Tương tự ta có không gian Pn[x]
2
2
ax bx c | , ,V a b c R
10/10/2019 9
KHÔNG GIAN M2[R]
Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai ma trận.
Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân ma trận với một 
số
Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai 
ma trận bằng nhau.
 V3 là không gian vec tơ. Ký hiệu: M2[R]
Tương tự ta có không gian Mn[R]
3
: , , ,
a b
V a b c d R
c d
10/10/2019 10
KGVT CON
 Không gian vecto con 
 Không gian sinh bởi một họ vecto
 Biểu thị tuyến tính (tổ hợp tuyến tính)
 Độc lập tuyến tính
 Phụ thuộc tuyến tính
10/10/2019 11
KHÔNG GIAN VECTO CON CỦA RN
A nonempty subset V is called a subspace of Rn if:
 0 = 0, 0,  , 0 𝑉
 𝑢, 𝑣 𝑉 𝑢, 𝑣 𝑉 for all 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠 𝑢, 𝑣.
 v 𝑉 𝑘𝑣 𝑉 for any 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣, and any number k
Example. V = {(a, a, 0) | a R}
 (0, 0, 0) is in V
 If (a, a, 0) and (b, b, 0) are in V then (a + b, a + b, 0) is in V
 If v=(a, a, 0) is in V then cv = (ca, ca, 0) is in V
V is a subspace of R3. 
10/10/2019 12
10/11/2019
3
SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE 
NOT SUBSPACES OF RN: 
 0 = 0, 0, , 0 𝑉
 𝑢, 𝑣 𝑉 𝑢 + 𝑣 𝑉
 𝑣 𝑉 𝑘𝑣 𝑉
U=
V=
W=
10/10/2019 13
SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE 
NOT SUBSPACES OF RN: 
V = {(a, b, c) | a = b or a = -b}
V = {(a, b, c) | a = 0 or b = 0}
𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = (1,0,0)
𝑢 = 1,1,0 , 𝑣 = (1,−1,0) // in V
but u + v is not in V
𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = 1,0,0 // in V
𝑢+ 𝑣 = (1, 1, 1) // not in V
 0 = 0, 0, , 0 𝑉
 𝑢, 𝑣 𝑉 𝑢 + 𝑣 𝑉
 𝑣 𝑉 𝑘𝑣 𝑉
10/10/2019 14
SUBSPACE OR NOT?
Key = a
10/10/2019 15
VÍ DỤ_BIỂU THỊ TUYẾN TÍNH
Cho các vecto u = (1, -1, 2), v = (2, 1, 3), w = (1, -3, 1).
Hãy viết vecto w dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai
vecto u và v (nếu được)
Điều này có nghĩa là tìm các hệ số a, b sao cho:
w = au + bv
(1, -3, 1) = a(1, -1, 2) + b(2, 1, 3)
= (a + b, -a + b, 2a + 3b)
w u v
a + b =1
-a + b = -3
2a + 3b = 1
 a = 2, b = -1
w = 2u - v
10/10/2019 16
TỔ HỢP TUYẾN TÍNH (LINEAR COMBINATION)
10/10/2019 17
LINEAR COMBINATION
Given u = (1, -1, 2), v = (-2, 0, 3) and w = (-3, 2, 1) 
Write x = (1, 0, 2) as a linear combination of u, v, 
and w.
We find numbers a, b, c such that:
x = au + bv + cw
(1, 0, 2) = a(1, -1, 2) + b(-2, 0, 3) + c(3, 2, 1)
(1, 0, 2) = (a -2b + 3c, -a + 2c, 2a + 3b + c)
1a -2b + 3c = 1
-1a + 0b + 2c = 0
2a + 3b + 1c = 2
a = 2, b = -1, c = 1
 x = 2u –v + w
10/10/2019 18
10/11/2019
4
VÍ DỤ
1 2 3(1,3, 2); (0,1, 1); (2,0,
( 2,1
)
, 1)
3
10/10/2019 19
SPANNING SETS
V = span{𝑢, 𝑣} = {a𝑢 + 𝑏𝑣| a, b in R}
V = span{𝑢, 𝑣, 𝑤} = {a𝑢 + 𝑏𝑣+ c𝑤| a, b, c in R}.
We also say {u, v, w} spans V
a𝑢 + 𝑏𝑣+ c𝑤 is called a linear combination of 𝑢, 𝑣, and 𝑤.
V
u
v
10/10/2019 20
SPANNING SETS - EXAMPLES 
Given V = span{(-1, 2, 1), (3, -5, -1)}
a. (-1, 1, 1) V?
b. Find m such that (-2, 1, m) V.
Solution.
a. (-1, 1, 1) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1)
(-1, 1, 1) = (-a + 3b, 2a – 5b, a –b)
b. (-2, 1, m) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1)
-a + 3b = -1
2a – 5b = 1
a – b = 1
-a + 3b = -2
2a – 5b = 1
a – b = m
10/10/2019 21
KHÔNG GIAN CON SINH BỞI HỌ VECTƠ
Cho tập hợp các vec tơ:
Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính các vec tơ của M 
tạo thành một không gian vec tơ.
Span(M) là không gian vecto con, sinh bởi một họ vec
tơ
1 2
, ,...,
n
M v v v
1 2 1 2
, ,..., , ,...,
n n
span M v v v span v v v
10/10/2019 22
1 −1 2
2 −1 5
−3 5 −4
−1
−2
𝑚
VÍ DỤ
Find m such that (-1, -2, m) lies in the subspace spanned by the 
vectors 
(1, 2, -3), (-1, -1, 5) and (2, 5, -4).
Solution. 
We want the system below has solution a, b, c:
(-1, -2, m) = a(1, 2, -3) + b(-1, -1, 5) + c(2, 5, -4)
(-1, -2, m) = (a -2b + 2c, 2a –b +5c, -3a + 5b -4c)
a – b + 2c = -1
2a – b + 5c = -2
-3a + 5b – 4c = m
1 −1 2
0 1 1
0 2 2
−1
0
𝑚 − 3
1 −1 2
0 1 1
0 0 0
−1
0
𝑚 − 3
m = 3
10/10/2019 23
BÀI TẬP
1. Find the values of t for which (2, -1, t) lies in the 
subspace spanned by the vectors (-1, 1, 0) and (2, -3, -
1).
2. For what values of x does the vector (1, 1, x) is a linear 
combination of the vectors (1, 0, -3) and (-2, 1, 5)?
3. Find the values of m such that (4, -2, -1, m) lies in the 
subspace spanned by the vectors (1, 0, -1, 1), (1, 0, 0, 
1), and (2, -1, 1, 0).
10/10/2019 24
10/11/2019
5
SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS.
Key = d, e, b
Let X = (-1, -3, 3) and U = span{Y = (1, 0, 3), Z = (1, 1, 1)}. If X is in U, write X =aY + bZ, 
then find the sum a+b.
a) X is not in U b) a+b = -1
c) a+b = 4 d) a+b = 0 e) None of these
10/10/2019 25
SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS.
Key = e, c, a 
10/10/2019 26
SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS.
Suppose V = span{(1, -1, 0), (2, -1, 1), (-1, 0, 1)}. Find all values of t such that (1, 
2, t) V.
a) t is arbitrary b) t = 3/2 c) t = 3 d) t = -1 
10/10/2019 27
ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH
Một tập hợp các vecto {v1, v2, , vn} được gọi là độc
lập tuyến tính (linearly independent) nếu hệ phương
trình:
t1𝑣1+ t2𝑣2+ ... + tn𝑣𝑛= 0
Chỉ có nghiệm tầm thường:
t1 = t2 =  = tn = 0
10/10/2019 28
Độc lập tuyến tính
 số phần tử cơ sở =
Số vecto
10/10/2019 29
DO YOURSELF 
10/10/2019 30
10/11/2019
6
VÍ DỤ
Các hệ vec tơ sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc
tuyến tính?
1 2 3
1 2
a) (1,2,3); (2,1,0); (0,1, 2)
b) (2,4); ( 1, 2)
10/10/2019 31
VÍ DỤ
Trong không gian R3 cho hệ vec tơ:
1) Hệ vec tơ M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến
tính?
2) Vec tơ x=(2,-1,3) có biểu thị tuyến tính được qua hệ M 
không?
 1,1,1 ; 2,1,3 ; 1,2,0M 
10/10/2019 32
TỔNG HỢP
10/10/2019 33
XÉT SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH
10/10/2019 34
XÉT TỔ HỢP TUYẾN TÍNH
10/10/2019 35
XÉT ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TRONG RN
Trong Rn cho hệ vec tơ
• Hệ M độc lập tuyến tính khi và chỉ khi rank A=m (số véc 
tơ của hệ)
• Hệ M phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi rank A<m.
 1 2, , , mM 
1 11 12 1 11 12 1
2 21 22 2 21 22 2
1 21 2
( , , , )
( , , , )
..............................
( , , , )
n n
n n
m m mnm m m mn
a a a a a a
a a a a a a
A
a a aa a a
  
 
 
10/10/2019 36
10/11/2019
7
VÍ DỤ
Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của 
các hệ véc tơ sau đây trong không gian đã chỉ ra
 
 
3
1 2 3
4
1 2 3
a) (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1 trong R
b) (1,1,0,0), (0,1,1,0), (2,3,1,0) trong R
  
10/10/2019 37
CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KGVT
 Tập sinh
 Cơ sở
 Số chiều
10/10/2019 38
TẬP SINH CỦA KHÔNG GIAN VECTO
10/10/2019 39
VÍ DỤ
1 2 3
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
1,1,1 1,2,1 2, 3,1
2
2 3
x
x
x
x
Hệ này có nghiệm 
với mọi x nên mọi 
vec tơ x của không 
gian R3 đều là tổ 
hợp tuyến tính 
của hệ vec tơ M
10/10/2019 40
VÍ DỤ
1 2 3
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3
1,1, 1 2, 3,1 3, 4, 0
2 3
3 4
x
x
x
x
Hệ này có thể vô 
nghiệm nên vẫn 
có vec tơ x của 
không gian R3
không là tổ hợp 
tuyến tính của hệ 
vec tơ M
10/10/2019 41
CƠ SỞ - SỐ CHIỀU
Hệ vec tơ 
M gọi là cơ 
sở của 
không gian 
vec tơ V 
nếu nó độc 
lập tuyến 
tính và mọi 
vec tơ của 
không gian 
V đều biểu 
thị tuyến 
tính được 
qua M.
10/10/2019 42
10/11/2019
8
ĐỊNH LÝ
Giả sử V là không gian hữu hạn chiều. Khi đó:
1) Tồn tại vô số cơ sở của không gian vec tơ V
2) Số lượng vec tơ trong mọi cơ sở đều bằng nhau.
Định lý. Trong không gian Rn, một tập hợp gồm đúng
n vecto là cơ sở của Rn khi và chỉ khi các vecto này
độc lập tuyến tính.
10/10/2019 43
Choose a set of 3 vectors
And this set must be linearly independent
VÍ DỤ
10/10/2019 44
SỐ CHIỀU CỦA KGVT
Số chiều = số lượng vecto trong cơ sở
dim(Rn) = n
If U  V then dim(U) dim(V) 
 dim(subspace) 3 = dim(R3)
 Dimension is not 4 or more than 4
Dim( ) = 2 = number of leading ones
1
2
-1
1 -3 2
-2 2 0
1 -1 0
1
0
0
1 -3 2
-4 8 -4
2 -4 2
1
0
0
1 -3 2
1 -2 1
0 0 0
10/10/2019 45
VÍ DỤ
10/10/2019 46
CƠ SỞ CHÍNH TẮC TRONG Rn
Trong Rn ta dễ dàng chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở.
Đặt: ta gọi đây là cơ sở chính tắc của Rn
1, 0,..., 0 ; 0,1, 0,..., 0 ;...; 0, 0..., 0,1 nE R
1
2
(1,0, ,0)
(0,1, ,0)
..................
(0, 0,1)n
e
e
e
 dim nR n 
10/10/2019 47
TÍNH CHẤT
Cho không gian vec tơ V có số chiều là n, dimV=n
10/10/2019 48
10/11/2019
9
VÍ DỤ
A) Kiểm tra tập hợp sau có là cơ sở của R3
B) Kiểm tra tập hợp sau có là tập sinh của R3
1,1,1 ; 2, 3,1 ; 3,1, 0M
1,1,1 ; 2, 0,1 ; 1,1, 0 ; 1, 2,1M
10/10/2019 49
HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ
Cho hệ vec tơ: 
Một tập hợp con các vecto của M được gọi là hệ con độc 
lập tuyến tính tối đại nếu:
+ Hệ độc lập tuyến tính
+ Nếu thêm bất kỳ véc tơ khác nào của hệ M vào hệ con 
đó ta đều nhận được một hệ một hệ phụ thuộc tuyến 
tính
1 2
, ,...,
n
M x x x
10/10/2019 50
HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ
+ Một hệ véc tơ có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính
tối đại khác nhau
+ Số véc tơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì
luôn bằng nhau.
Hạng của hệ vec tơ M là số tối đại các vec tơ độc lập
tuyến tính của M. Ký hiệu là rank(M)
10/10/2019 51
TÌM HỆ CON ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TỐI ĐẠI, 
HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ TRONG Rn
Trong Rn cho hệ gồm m vec tơ sau:
Để tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại:
1) Lập ma trận A có các hàng là các vec tơ xi
2) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa A về 
dạng ma trận bậc thang A’. 
3) Khi đó hạng của hệ M chính bằng hạng của ma trận A 
và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của M gồm các véc tơ 
ứng với các dòng khác 0 của ma trận bậc thang A’.
1 2
, ,...,
n
M x x x
10/10/2019 52
VÍ DỤ
Trong R4 cho hệ vec tơ sau:
Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến 
tính tối đại của nó
 
 1 2 3 4 5
(1,1,2,2),(2,3,6,6),(3,4,8,8),(5,7,14,14),(8,11,22,22)
, , , ,
M
M x x x x x
10/10/2019 53
VÍ DỤ
Trong R4 cho các hệ vec tơ sau:
Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến
tính tối đại của nó
 
 
1 2 3) (1, 1,0,1), (1,0, 1, 2), (0,1, 1,2)
) 1,1,1,0 ; 1,2,1,1 ; 2,3,2,1 ; 1,3,1,2
   
a M
b N
10/10/2019 54
10/11/2019
10
TÍNH CHẤT HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ
1) Hạng của họ vec tơ M không đổi nếu ta nhân một vec tơ
của M với một số khác không.
2) Cộng vào một vec tơ của họ M một vec tơ khác đã được
nhân với một số thì hạng không đổi
3) Thêm vào họ M một vec tơ x là tổ hợp tuyến tính của M 
thì hạng không thay đổi.
Chú ý. Nếu rank(M)= k0 thì:
+ Tồn tại k0 vec tơ độc lập tuyến tính của M
+ Mọi tập hợp chứa nhiều hơn k0 vectơ đều phụ thuộc tuyến
tính.
10/10/2019 55
HỌ VEC TƠ HÀNG – HỌ VEC TƠ CỘT
Cho ma trận A:
Họ vec tơ hàng của A:
Họ vec tơ cột của A:
1 1 1 0
1 2 1 1
2 3 2 1
1 3 1 2
A
1,1,1, 0 ; 1,2,1,1 ; 2, 3,2,1 ; 1, 3,1,2M
1 1 1 0
1 2 1 1
; ; ;
2 3 2 1
1 3 1 2
N
10/10/2019 56
ĐỊNH LÝ VỀ HẠNG
Định lý. Cho A là ma trận cỡ m x n
Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ hàng A.
Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ cột của
A.
rank A rank colA rank rowA
10/10/2019 57
VÍ DỤ
Tìm hạng của hệ vec tơ sau:
Giải.
M là họ vec tơ hàng của ma trận A nên hạng của M bằng 
với hạng của ma trận A.
1,1,1, 0 ; 1,1, 1,1 ; 2, 3,1,1 ; 3, 4, 0,2M
1 1 1 0
1 1 1 1
2 3 1 1
3 4 0 2
A
10/10/2019 58
VÍ DỤ
Tìm tất cả các số thực m để họ vec tơ sau phụ thuộc 
tuyến tính
1,1, 0 ; 1,2,1 ; , 0,1M m
10/10/2019 59
KGVT HÀNG – CỘT VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN
A is a mxn matrix rank(A) m, rank(A) n
Row space Column space 
Row space of a matrix 
Row(A) = span{row1, row2, 
, rowm}
(rows = vectors)
Column space of a matrix
Col(A) = span{col1, col2, , 
coln}
dim(row(A)) = dim(col(A)) = 
rank(A)
10/10/2019 60
10/11/2019
11
VÍ DỤ
10/10/2019 61
Dim(col(A)) = rank(A)
10/10/2019 62
KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
Xét hệ thuần nhất
Đặt:
Là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất.
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
. 0
0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
A X
a x a x a x
 1 2, ,..., R : . 0nnL x x x x A X 
10/10/2019 63
KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
Định lý. L là không gian vec tơ con của Rn và:
Ta gọi L là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến 
tính thuần nhất.
 dimL n r A 
Cơ sở: hệ nghiệm cơ sở của hệ
10/10/2019 64
VÍ DỤ
Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của các hệ 
phương trình thuần nhất.
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 0
) 2 4 3 =0
2 +5x =0
2 3 4 0
) 2 4 2 7 5 0
2 4 2 4 2 0
x x x x
a x x x
x x x
x x x x x
b x x x x x
x x x x x
10/10/2019 65
KHÔNG GIAN NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT
dim(solution space) = n – r // n: số biến trong hệ, 
r : hạng của ma trận hệ số
10/10/2019 66
10/11/2019
12
Dim(G) = n – r = 3 – 1 = 2 a basis for G contains 2 vectors
 c, e, b impossible 
In other hand, (1, 0, 0) is not in G can not be d, f
 a
VÍ DỤ
10/10/2019 67
Null space of a matrix A:
Null(A) = {X :AX = 0}
(solution space of a 
homogeneous system)
 dim(null(A)) = n – r 
Image space:
Im(A) = {all image AX: X in 
Rn} 
Im(A) = col(A) 
 dim(im(A)) = dim(col(A)) 
= rank(A) 
NULL SPACE AND IMAGE SPACE OF A MATRIX
10/10/2019 68
VÍ DỤ
10/10/2019 69
TỌA ĐỘ CỦA VECTO
 Tọa độ
 Đổi tọa độ
Ma trận chuyển cơ sở
 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất
10/10/2019 70
TỌA ĐỘ CỦA VEC TƠ
10/10/2019 71
VÍ DỤ
10/10/2019 72
10/11/2019
13
TÍNH CHẤT
10/10/2019 73
Ý NGHĨA
10/10/2019 74
VÍ DỤ
10/10/2019 75
ĐỔI CƠ SỞ TRONG KGVT
10/10/2019 76
ĐỊNH LÝ & VÍ DỤ
10/10/2019 77
VÍ DỤ
Trong kgvt R3 cho 2 cơ sở:
A) Viết ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2
B) Tìm tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2.
Ghi chú. Cơ sở B1 gọi là cơ sở chính tắc của R3
1 1 2 3
2 1 2 3
1, 0, 0 ; 0,1, 0 ; 0, 0,1
2, 1, 3 ; 1, 0,1 ; 0, 1,2
B e e e
B u u u
10/10/2019 78
10/11/2019
14
GIẢI
A) Ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2:
B) Tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2 là:
1 2
2 1 0
1 0 1
3 1 2
B B
T
2 1 1 22 1
2
1
1
3 2 1 0 3
1 1 0 1 1
0 3 1 2 0
1 2 1 3 5
1 4 2 1 7
1 1 1 0 4
B B B BB B
B
x T x T
x
10/10/2019 79
DOT PRODUCT
𝑢 = (x1, y1, z1, w1), 𝑣 = (x2, y2, z2, w2)
vector vector // dot product:
𝑢 𝑣 = x1x2 + y1y2 + z1z2 + w1w2
= a number 
𝑢 𝑣= 0 orthogonal // trực giao
Length of a vector: 
𝑣 = 𝑣 𝑣 = x12 + y12 + z12 + w12
Distance between 𝑢, 𝑣: 
Dist(𝑢, 𝑣) = 𝑢 − 𝑣
10/10/2019 80
PROPERTIES 
10/10/2019 81
KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’
1) Cho các ma trận:
A) Tìm điều kiện để ma trận A khả nghịch.
B) Giải phương trình sau biết detA=-1.
3 4 6 1 2
0 1 1 0 1
3 4 3 7
A B
3XA B
10/10/2019 82
GIẢI BÀI 1
det 12 4 0 6 9 0 3 2
3
det 0
2
A
A
1
3.3 3.2
det 1 3 2 1 2
3 4 6
0 1 1
2 3 4
1 2
0 1
3
1 2 2
2 0 3
2 1 3
7
. 3
A
A A
B
X A B vo nghiem
10/10/2019 83
BÀI 2
Tính các định thức:
2 8 6 8 2 8 6 8 2 1 0 0
3 9 5 10 0 9 6 8 0 9 6 8
3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2
1 4 0 6 1 4 0 6 1 4 0 6
0 1 0 0
18 6 8 6 6 4 2 6 4
18 9 6 8
3 1 2 6 1 1 1 6 0 1 1 36
3 0 1 2
9 0 6 3 0 3 0 0 3
9 4 0 6
   
A
A
10/10/2019 84
10/11/2019
15
BÀI 2
Tính các định thức:
3
1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 3 1 1 1 1 1
3
1 1 1 3 1 1 1 1 1
1 1 1 3 1 1 1 1 1
1 1 1 1
0 1 0 0
3 3 1
0 0 1 0
0 0 0 1
   
x x
x x x x
B x
x x x x
x x x x
x
A x x x
x
x
10/10/2019 85
BÀI 3
Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 2 4
3 2 3
x x mx m
mx x m x
x x x m
10/10/2019 86
GIẢI
2
2
1
3 2
2
2
3
1 1
2 2 2 6
1 1 3
1
4 2 2 2 2 4 6
2 3 1 3
1
4 2 2 2 4 8 6
1 2 3 3
1 1
2 4 6
1 1 2 3
m
D m m m m
m m
D m m m
m
m m
D m m m m m
m
m
D m m m
m
10/10/2019 87
GIẢI
 2
1
1 2 3
1 1
2 2 2 6 0 2 3
1 1 3
2 0, 0
3 0, 0
  
m
D m m m m m m
m D D
m D D D D
10/10/2019 88
BÀI 4
Cho các vec tơ sau:
v1 = (2,3,1,2), v2 = (1,2,3,−1),
v3 = (7,12,11,1), v4 = (4,m,−3,n). 
A) Hệ vec tơ { v1, v2, v3} là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc 
tuyến tính?
B) Tìm m,n để v4 là tổ hợp tuyến tính của { v1, v2, v3 }. 
10/10/2019 89
BÀI 4
A) Phụ thuộc tuyến tính
B) m=5, n=20
10/10/2019 90
10/11/2019
16
KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’_K57
1) Cho các ma trận:
A) Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có)
B) Giải phương trình sau:
0 1 2 2 4
1 0 3 1 0
4 3 8 3 6
A B
.AX B
10/10/2019 91
CÂU 1
1
1
4.5 7 1.5
2 4 1
1.5 2 0.5
4.5 7 1.5 6.5 27
2 4 1 3 14
1.
0 1 2
1 0 3
4 3 8
. .
2
5 2 0
4
1 0
.5 2.5 93 6
A A
AX B X A B
X
10/10/2019 92
BÀI 2
Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm B và C.
• Với 1$ giá trị của sản phẩm B công ty tốn 0,45$ nguyên liệu, 
0,25$ lương lao động và 0,15$ phụ phí.
• Với 1$ giá trị của sản phẩm C công ty tốn 0,40$ nguyên liệu, 
0,30$ lương lao động và 0,15$ phụ phí.
A) Hãy xây dựng ma trận chi phí, ký hiệu U, theo sản phẩm và 
loại chi phí của công ty. 
B) Nếu công ty sản xuất 100$ sản phẩm B và 200$ sản phẩm C 
thì chi phí cụ thể của từng mục như thế nào?
C) Gọi q1, q2, q3, q4 là ma trận cột sản lượng tính theo $ của 
các sản phâm B và C trong các quý 1,2,3,4. Hãy tính và giải 
thích ý nghĩa ma trận U.Q với Q=[q1 q2 q3 q4]
10/10/2019 93
BÀI 2
Ma trận chi phí:
Product Product
cos
cos
0.45 0.40
0.25 0.30
0.15 0.15
0.45 0.25 0.15
0.40 0.30 0.15
t product
product t
Materia Labor phu phi
B
l
C
Nguyen lieu
Lao dong
Phu phi
U
product B
U
product C
10/10/2019 94
BÀI 2
Nếu sản xuất 100$ sản phẩm B và 200$ sản phẩm C
Product Product
cos
cos cos
cos
0.45 0.40
100
0.25 0.30
200
0.15 0.15
0.45 0.40
0.25 0.30
0.15 0.
t product product total
t product product total t total
t total
B C
Nguyen lieu
Lao dong
Phu phi
U A
U A C
C
100
20
125
85
45
0
15
Nguyen lieu
Lao dong
Phu phi
10/10/2019 95
BÀI 2
Ma trận tích thể hiện chi phí từng loại theo từng quý.
Product Product
cos
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
cos cos
0.45 0.40
0.25 0.30
0.15 0.15
t product
B B B B
product time
C C C C
t product product time t time
B C
Nguyen lieu
Lao dong
Phu phi
U
q q q q
Q q q q q
q q q q
U Q C
10/10/2019 96
10/11/2019
17
BÀI 3
Tính các định thức sau:
2
2
2
1
1
1
2 1 1
1 2 1
1 1 2
1 1 1
a a
A b b
c c
x
y
B
z
t
10/10/2019 97
BÀI 3A
2
2
2
2 2
2 2 2
3 3 12 2 2
2 2
2 2
2 2 1
1
1
1
1 1
det 1 0
1 0
1
det
1
det
h h h
h h h
a a
A b b
c c
a a a a
A b b b a b a
c c c a c a
b a b a b a
A b a c a
c ac a c a
A b a c a c b
10/10/2019 98
BÀI 3B
3 3 4
1 1 2 4
2 2 4
2 2 1
2 1 1 0 1 1 2
1 2 1 0 1 0
det
1 1 2 0 0 1
1 1 1 1 1 1
1 1 2 1 1
det 1 0 0 1 3
0 1 0 1
1 3
det 4
1
d d d
d d d
d d d
d d d
x x t
y y t
B
z z t
t t
x t x t
B y t x y t
z t z t
x y t
B t z x y
z t
10/10/2019 99
CÂU 4
Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính.
2 1 2 2
2 1
mx y z m
x m y z
x y m z
10/10/2019 100
CÂU 4
Ta có:
2
3 2 2
1
2
2
3
1 1
2 1 2 2
11 1 2
1 4 7
3 5 1 4 5
4 1
2 2 2 2 1
m m
A m B
m
D m m m
D m m m m m m
D m
D m m m m
0 1D m
10/10/2019 101
BIỆN LUẬN
Nghiệm duy nhất
Nếu m=1 thì D=D1=D2=D3=0
Ta có hệ
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 1 0 0 0 0
1 1 3 1 0 0 4 2
A
2
2 2 2
2 24 5 4
, , ; ; 1
4 7 4 7 4 7
mm m
x y z khi m
m m m m m m
10/10/2019 102
10/11/2019
18
BIỆN LUẬN
Ta có hệ tương đương:
Hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số.
1 1/ 2
4 2 1/ 2
x y z x y
z z
1 1
, ,
2 2
t t t
10/10/2019 103
CÂU 4
Ta có:
2
2
2
1
2
3
1 1
2 1 2 2
11 1 2
1 1 0 1 2 1
1 1
2 1 2 0 1 2 3
1 2 31 1 2 1 1 2
1 4 7
1 1
2 1 2
1 1 2
1 0 1
2 2 2 0 2 2
1 1 2 2 1 2
1
2 1 2
1 1 1
m m
A m B
m
m m m m
m m
D m m m
m mm m
D m m m
m
D m
m
m m m
D
m m
m m
D m
10/10/2019 104