Toán rời rạc - Chương số II: Các phương pháp đếm

LOGO 
TOÁN RỜI RẠC 
CHƯƠNG II: 
CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM 
CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM 
I. Tập hợp các tập hợp con. Biểu diễn tập 
hợp trên máy tính. Các phép toán tập 
hợp và các tính chất liên quan. Tập hợp 
tích Descartes. 
II. Nguyên lý cộng. Nguyên lý nhân. 
Nguyên lý chuồng bồ câu. 
III.Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Công thức 
nhị thức Newton. 
IV.Hoán vị và tổ hợp lặp. 
2 
TẬP HỢP 
1. Khái niệm 
2. Quan hệ giữa các tập hợp 
 3. Các cách xác định tập hợp 
4. Tập hợp các tập hợp con (Tập hợp lũy thừa) 
3 
 • Một tụ tập của vô hạn hay hữu hạn các 
đối tượng có một tính chất chung nào đó 
gọi là một tập hợp. 
• Các đối tượng trong một tập hợp được 
gọi là các phần tử của tập hợp đó. 
• Tập hợp thường gọi vắn tắt là tập. 
Định nghĩa tập hợp: 
KHÁI NIỆM 
4 
 Ví dụ: 
R là tập các số thực. 
Z là tập các số nguyên. 
N là tập các số tự nhiên. 
Ghi chú: 
x ∈ A để chỉ x là phần tử của tập A 
x ∉ A để chỉ x không phải là phần tử của tập A 
∅ (tập rỗng): là tập không chứa bất kì phần tử nào 
KHÁI NIỆM 
5 
 Tập hợp bằng nhau: Hai tập hợp A và B được gọi 
là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng các 
phần tử, tức là mỗi phần tử thuộc A đều là phần 
tử thuộc B và ngược lại. Kí hiệu: A=B. 
 Ví dụ: {1, 3, 5} và {3, 5, 1} 
 Tập con: Tập A được gọi là tập con của tập B khi 
và chỉ khi mọi phần tử của A đều là phần tử của B. 
Kí hiệu: A  B. 
Nhận xét: (A  B) x (x A x B) là đúng 
QUAN HỆ GIỮA CÁC TẬP HỢP 
6 
Ví dụ: Tập các số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 
10 là một tập con của tập các số nguyên 
dương nhỏ hơn 10 . 
Ghi chú: Khi muốn nhấn mạnh tập A là tập 
con của tập B nhưng A≠B, ta viết A⊂B và nói 
rằng A là tập con thật sự của B. 
Nhận xét: 
o Nếu A⊆B và B⊆A thì A=B. 
o Tập rỗng là con của mọi tập hợp. 
o Mọi tập hợp đều là tập con của chính nó. 
QUAN HỆ GIỮA CÁC TẬP HỢP 
7 
 Một tập hợp có thể được xác định bằng 
cách liệt kê tất cả các phần tử của nó. Chúng 
ta sẽ dùng ký hiệu trong đó tất cả các phần 
tử của một tập hợp được liệt kê ở giữa hai 
dấu móc. 
 Ví dụ: 
o V = {a, e, i o, u} 
o O = {1,3, 5, 7, 9} 
o N = {0, 1, 2, 3, } 
o Z = {., 0, 1, 2, 3, }. 
1. Liệt kê các phần tử 
CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH TẬP HỢP 
8 
 Một tập hợp cũng có thể được xác định 
bằng cách chỉ ra rõ các thuộc tính đặc 
trưng của các phần tử của nó. 
Cách viết: A={x U| p(x)} (A ={x U:p(x)}) 
hay vắn tắt A={x| p(x)} (A ={x: p(x)}) 
 Ví dụ: 
V = {x | x là nguyên âm} 
O = {x | x là số nguyên dương nhỏ hơn 10} 
A = {x | x = 2n, n N } 
B = {n N | n là số nguyên tố} . 
2. Chỉ ra các thuộc tính đặc trưng của phần tử 
CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH TẬP HỢP 
9 
Cách viết: A={f(x)| x B} (A ={f(x): x B}) 
 Ví dụ: 
A = {(2n+1)| n N} . 
B = {2x| x R} 
3. Cách xác định tập hợp dưới dạng ảnh của 
một tập hợp khác 
CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH TẬP HỢP 
10 
 Cho tập X, tập tất cả các tập con của X (còn 
gọi là tập lũy thừa của X) được kí hiệu là P(X). 
Nói cách khác, P(X) là một tập hợp mà mỗi 
phần tử của nó là một tập hợp con của X. 
Ví dụ: X ={0, 1, 2} 
TẬP HỢP CÁC TẬP HỢP CON 
 P(X) = {∅, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2},{1,2},{0,1,23}}. 
Chú ý: 
 X  Y P(X)  P(Y). 
Nếu X có n phần tử (n N) thì P(X) có 2n phần 
tử. 
11 
 Có nhiều cách biểu diễn tập hợp trên máy 
tính. 
Ở đây chúng ta sẽ nói đến một phương 
pháp lưu trữ các phần tử bằng cách dùng 
sự sắp xếp tùy ý các phần tử của tập vũ trụ. 
1. Phương pháp biểu diễn 
BIỂU DIỄN TẬP HỢP TRÊN MÁY TÍNH 
12 
BIỂU DIỄN CÁC TẬP HỢP TRÊN MÁY TÍNH 
1. Phương pháp biểu diễn 
 Giả sử tập vũ trụ U là hữu hạn. Trước hết sắp 
xếp tuỳ ý các phần tử của U, ví dụ a1, a2, ,an, 
sau đó biểu diễn tập con A của U bằng một 
xâu bit có chiều dài n, trong đó bit thứ i là 1 
nếu ai thuộc A và là 0 nếu ai không thuộc A. 
13 
 Cho U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} và sự sắp xếp các 
phần tử trong U theo thứ tự tăng dần, tức là ai = i. 
o Khi đó, chuỗi bit biểu diễn tập con A = {1, 2, 3, 4, 5} là 
11111 00000; xâu bit biểu diễn tập con B = {1, 3, 5, 7, 9} là 
10101 01010. 
o Để nhận được xâu bit cho các tập là hợp và giao của hai 
tập hợp, ta sẽ thực hiện phép toán Boole trên các xâu bit 
biểu diễn hai tập hợp đó. 
o Xâu bit đối với hợp của hai tập là: 
11111 00000 ∨ 10101 01010 = 11111 01010 
 A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}. 
o Xâu bit đối với giao của hai tập này là: 
11111 00000 ^ 10101 01010 = 10101 00000 
 A∩B = {1, 3, 5}. 
2. Ví dụ 
BIỂU DIỄN CÁC TẬP HỢP TRÊN MÁY TÍNH 
14 
1. Phép hợp 
2. Phép giao 
3. Phép hiệu 
4. Các tính chất liên quan 
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 
15 
 Định nghĩa: Cho A và B là hai tập hợp. Hợp của hai 
tập hợp A và B, được ký hiệu là A∪B, là tập hợp chứa 
các phần tử, hoặc thuộc A hoặc thuộc B hoặc thuộc cả 
hai. 
Ví dụ: 
o Cho A = {1, 2, 3} và B = {1, 3, 5} thì A∪B = {1, 2, 3, 5}. 
A∪B ={x| (x ∈A)∨(x ∈B)} 
Giản đồ Venn biểu diễn hợp của A và B 
1. Phép hợp 
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 
16 
Định nghĩa: Hợp của n tập hợp là một tập hợp 
chứa tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong 
số n tập hợp đó. 
Ta ký hiệu: 
để chỉ hợp của các tập hợp A1, A2, ..., An . 
Ví dụ: 
 Cho Ai= {i, i+1, i+2, }. Khi đó: 
1. Phép hợp 
  ,...3,2,1,...2,1,
11
  
iiiA
n
i
i
n
i
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 
i
n
i
n AAAA
1
21 ...
 
17 
Định nghĩa: Cho A và B là hai tập hợp. Giao của hai tập 
hợp A và B, được ký hiệu là A∩B, là tập hợp chứa các 
phần tử thuộc cả hai tập A và B. 
Ví dụ: 
o Cho A = {1, 2, 3} và B = {1, 3, 5} thì A∩B = {1, 3}. 
o Cho M={1,2} và N={3,4} thì M∩N = ∅, khi đó ta nói 
M, N rời nhau. 
A∩B ={x| (x ∈A)∧(x ∈B)} 
Giản đồ Venn biểu diễn giao của A và B 
 2. Phép giao 
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 
18 
Định nghĩa: Giao của n tập hợp là một tập 
hợp chứa các phần tử thuộc tất cả n tập 
hợp đó. Ta ký hiệu: 
để chỉ giao của các tập hợp A1, A2, ..., An . 
Ví dụ: Cho Ai= {i, i+1, i+2, }. Khi đó: 
2. Phép giao 
i
n
i
n AAAA
1
21 ...
 
  ,...2,1,,...2,1,
11
  
nnniiiA
n
i
i
n
i
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 
19 
Định nghĩa: Cho A và B là hai tập hợp, hiệu của A và B, 
được ký hiệu là A–B, là tập hợp chứa các phần tử 
thuộc A nhưng không thuộc B. Hiệu của A và B cũng 
được gọi là phần bù của B đối với A. 
Ví dụ: 
o Cho A={1, 2, 3} và B={1, 3, 5} thì A–B={2}; B–A={5}. 
A–B={x| (x∈A) ∧ (x∉B)} 
Giản đồ Venn biểu diễn hiệu A-B 
3. Phép hiệu 
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 
20 
Nhận xét: A-B=B-A khi và chỉ khi A=B. 
Khi đó A-B=B-A=∅. 
Định nghĩa: Cho U là tập vũ trụ. Phần bù 
của tập A, được kí hiệu là Ā, là phần bù 
của A đối với U: Ā={x| x∉A}. 
Ví dụ: Cho A={a, e, i, o, u } thì Ā={b, c, d, 
f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z} 
(ở đây tập vũ trụ là tập các chữ cái tiếng 
Anh). 
3. Phép hiệu 
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 
21 
 CÁC TÍNH CHẤT LIÊN QUAN 
Tính chất Tên gọi 
A   = A ; A  U = A 
Phần tử trung hòa 
A  U = U ; A   =  Tính thống trị 
A  A = A ; A  A = A Tính lũy đẳng 
Phần bù 
A  B = B  A ; A  B = B  A Tính giao hoán 
A  (B  C) = (A  B)  C 
A  (B  C) = (A  B)  C 
Tính kết hợp 
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
Tính phân phối 
Công thức De Morgan 
BABA; BABA   
ΦAA;UAA  
22 
Định nghĩa 1: Cho hai tập A và B. Tích Descartes 
của A và B, được ký hiệu là A×B, là tập hợp gồm 
tất cả các cặp (a, b) với a∈A và b∈B. 
 A×B={(a, b)| (a∈A) ∧ (b∈A)}. 
Ví dụ: Cho A={1, 2}, B={a, b, c} thì: 
A×B={(1,a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} 
B×A ={(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} 
A2=A×A={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} 
Nhận xét: A×B ≠ B×A. 
TÍCH DESCARTES 
23 
TÍCH DESCARTES 
Định nghĩa 2:Tích Descartes của n (n>1) tập hợp A1, 
A2, , An , được ký hiệu bởi A1×A2××An , là tập 
hợp gồm tất cả các bộ n phần tử (a1, a2, , an) trong 
đó ai∈ Ai với i=1, 2, n. 
A1×A2××An= {(a1, a2, , an)| ai ∈Ai với i=1,2, n} 
Ví dụ: Cho A={0, 1}, B = {1, 2}, C ={0, 1, 2} thì: 
A×B×C={(0,1,0), (0,1,1), (0,1,2), (0,2,0), (0,2,1), 
(0,2,2), (1,1,0), (1,1,1), (1,1,2)}. 
24 
Ghi chú 
 Lũy thừa bậc 2 Descartes (hay bình 
phương Descartes) của tập A được định 
nghĩa là tích Descartes của A với A: 
 A2 = A×A 
 Tương tự, lũy thừa Descartes bậc n của 
tập A là tích Descartes của n tập A: 
 An = A×A×...×A 
 (có n tập A ở vế phải). 
TÍCH DESCARTES 
25 
*Số phần tử của một tập hợp hữu hạn A được ký hiệu 
là A và gọi là lực lượng của tập A. 
*Nếu tập hợp A không hữu hạn, ta nói A là một tập vô 
hạn và viết: A = . 
* Quy ước: ∅ = 0. 
* Tính chất: Cho A, B là các tập hữu hạn. Khi đó: 
1) AB = A+ B - AB . 
2) A B = A .B 
3) P(A) = 2 A 
VD: A= 1, 3, 5, 7; B= 3, 5,6; AB = {1,3,5,6,7}; AB={3,5} 
|A| = 4; |B|= 3; |AB|= 2; |AB |= 5; |AxB| = 12;| (A)| =24=16 
LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỢP 
26 
CÁC NGUYÊN LÝ 
1.Nguyên lý cộng 
27 
Mệnh đề: Cho A và B là hai tập hữu hạn rời nhau, 
nghĩa là A∩B = ∅. Khi đó ta có: 
 |A  B| = |A| +|B| 
* Tổng quát: Nếu A1, A2, , An là các tập hữu hạn 
rời nhau, nghĩa là Ai ∩ Aj = ∅ (i ≠ j; i, j=1, 2, n) thì 
 | A1  A2    An | = |A1| +|A2|++ |An| 
CÁC NGUYÊN LÝ 
1.Nguyên lý cộng 
 Giả sử để thực hiện một công việc nào đó, ta 
có 2 phương pháp, trong đó: 
 - Phương pháp 1 có n cách thực hiện 
 - Phương pháp 2 có m cách thực hiện 
Khi đó, số cách thực hiện công việc trên là n + m 
28 
 Tổng quát? 
CÁC NGUYÊN LÝ 
1.Nguyên lý cộng 
29 
Ví dụ: Ngọc có 5 cái áo thun, 6 cái áo sơ mi. 
Vậy Ngọc sẽ có bao nhiêu cách chọn áo để mặc. 
 Giải: 
 Ngọc có 5 cách chọn áo thun 
 Ngọc có 6 cách chọn áo sơ mi 
Vậy Ngọc sẽ có 5+6 =11 cách chọn áo để mặc. 
CÁC NGUYÊN LÝ 
 2.Nguyên lý nhân 
30 
Mệnh đề: Cho A và B là hai tập hữu hạn. Khi đó ta 
có: 
 |A × B| = |A| .|B| 
* Tổng quát: Nếu A1, A2, , An là các tập hữu hạn 
thì 
 | A1 × A2 ×  × An | = |A1| .|A2|.  . |An| 
CÁC NGUYÊN LÝ 
2.Nguyên lý nhân 
Giả sử để thực hiên một công việc nào đó, ta 
cần thực hiện 2 bước (giai đoạn), trong đó 
 - Bước 1 có n cách thực hiện 
 - Bước 2 có m cách thực hiện 
Khi đó, số cách thực hiện công việc trên là n.m 
31 
 Tổng quát? 
CÁC NGUYÊN LÝ 
2.Nguyên lý nhân 
32 
Giải: 
 Giai đoạn 1 (A đến B): có 3 cách thực hiện 
 Giai đoạn 2 (B đến C): có 4 cách thực hiện 
 Vậy Phúc muốn tới Trường Công Nghệ Thông Tin 
thì sẽ có 3.4=12 cách. 
Ví dụ: Bạn Phúc từ Quận 9 (A) muốn tới trường Công 
Nghệ Thông Tin (C), phải qua chặng Ngã tư Thủ Đức 
(B). Biết từ A tới B có 3 tuyến xe buýt để đi, và từ B tới 
C có 4 tuyến xe buýt để đi. 
 CÁC NGUYÊN LÝ 
 3.Nguyên lý chuồng bồ câu(Dirichlet) 
a. Giới thiệu 
Nguyên lý chuồng bồ câu được phát triển từ 
mệnh đề: “Giả sử có một đàn chim bồ câu bay 
vào chuồng. Nếu số chim nhiều hơn số ô trong 
chuồng thì chắc chắn có ít nhất một ô chứa 
nhiều hơn một con chim.” 
33 
 CÁC NGUYÊN LÝ 
 3.Nguyên lý chuồng bồ câu(Dirichlet) 
34 
b.Nguyên lý cơ bản 
 Nếu ta đặt n đối tượng nào đó vào k hộp, 
và số hộp k nhỏ hơn số đối tượng n, thì có ít 
nhất một hộp chứa từ 2 đối tượng trở lên. 
 CÁC NGUYÊN LÝ 
 3.Nguyên lý chuồng bồ câu(Dirichlet) 
35 
b.Nguyên lý mở rộng 
 Nếu ta đặt n đối tượng vào k hộp thì sẽ 
tồn tại một hộp chứa ít nhất là [n/k] đối 
tượng. 
Chú ý: Ký hiệu [a] dùng để chỉ số nguyên 
nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng a. 
 Ví dụ: [5]=5, [4/3]=2 
 CÁC NGUYÊN LÝ 
 3.Nguyên lý chuồng bồ câu(Dirichlet) 
36 
Ví dụ: Có 20 chim bồ câu ở trong chuồng có 
7 ô. Khi đó sẽ có ít nhất 1 ô chứa [20/7]=3 con 
bồ câu trở lên. 
Ví dụ: Có 100 người thì có ít nhất [100/12]= 9 
người sinh cùng tháng. 
HOÁN VỊ 
 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n>0). Mỗi cách sắp 
đặt có thứ tự n phần tử của A được gọi là một hoán vị 
của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký 
hiệu là Pn . 
 Ví dụ 1: 1 2 3 1 23456
Pn=n! 
a.Định nghĩa: 
37 
HOÁN VỊ 
3 
Số cách chọn: 
2 
1 x x 
Pn=n! = 1.2(n-1).n 
= 3! 
0! = 1 
38 
b. Công thức: 
HOÁN VỊ 
39 
Ví dụ 2: Một đoàn khách du lịch dự định 
đến tham quan 7 điểm A,B,C,D,E,F,G. Hỏi 
có bao nhiêu cách chọn thứ tự tham quan? 
Giải: 
Mỗi cách họ chọn thứ tự tham quan là một 
hoán vị của tập A,B,C,D,E,F,G. 
Do vậy đoàn khách có tất cả: P7 = 7!=5040 
cách chọn thứ tự tham quan. 
TỔ HỢP 
 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n>0). Mỗi tập con 
gồm k phần tử (0 k n) của A được gọi là một tổ 
hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của 
n phần tử được ký hiệu là . 
a.Định nghĩa: 
40 
k
nC
 Nhận xét: Lấy một tổ hợp chập k của n phần tử 
chính là lấy ra k phần tử từ n phần tử đó mà không 
quan tâm đến thứ tự. 
TỔ HỢP 
c.Tính chất: 
41 
!
, 0 .
! !
k
n
n
C k n
k n k
b.Công thức: 
, 0 . n k kn nC C k n
1
1, 1 .
k k k
n n nC C C k n
1 1n
n nC C n
0 1nn nC C 
Ví dụ: Cho tập A gồm 4 
số tự nhiên {1,2,3,4}. Tìm 
tất cả các tập con của A 
sao cho các tập con chỉ có 
3 phần tử. 
TỔ HỢP 
1 2 3 4 
1 2 3 
1 2 4 
1 3 4 
2 3 4 
Số tập con 
cóthểtìmđượclà
=4 
42 
TỔ HỢP 
43 
Ví dụ: Từ 3 điểm A,B và C, bạn sẽ có bao 
nhiêu đoạn thẳng được tạo ra? 
Giải: 
Số đoạn thẳng được tạo thành từ 3 điểm 
A,B,C chính là số tổ hợp chập 2 của 3: 
Vậy có 3 đoạn thẳng được tạo thành từ 3 
điểm A,B,C. 
2
3 3C 
CHỈNH HỢP 
 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n>0). Mỗi bộ gồm 
k phần tử (1 k n) sắp thứ tự của tập A được gọi là 
một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh 
hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là . 
a.Định nghĩa: 
44 
k
nA
 Nhận xét: Lập một chỉnh hợp chập k của n phần 
tử chính là lấy ra k phần tử từ n phần tử đó, có 
quan tâm đến thứ tự. 
CHỈNH HỢP 
45 
!
, 1 .
!
k
n
n
A k n
n k
b.Công thức: 
Nói cách khác, hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ 
khi hoặc có ít nhất một phần tử của chỉnh hợp này 
không là phần tử của chỉnh hợp kia hoặc các phần 
tử của 2 chỉnh hợp giống nhau nhưng được sắp 
xếp theo thứ tự khác nhau. 
CHỈNH HỢP 
46 
Ví dụ: Từ 3 điểm A,B và C sẽ lập được bao 
nhiêu vector? 
Giải: 
Số vector được tạo thành từ 3 điểm A,B,C 
chính là số chỉnhchập 2 của 3: 
Vậy có 6 vector được tạo thành từ 3 điểm 
A,B,C. 
2
3 6 A
47 
CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 
Isaac Newton 
(1643-1727) 
CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 
Định lý: Với a, b R và n là số nguyên dương 
ta có: 
 0 0
( ) 
  
n n
n k n k k k k n k
n n
k k
a b C a b C a b
0 1 1 ... ...n n k n k k n nn n n nC a C a b C a b C b
 +   =  
 =


= 
 +
  +
  =  + +  
Ví dụ: 
48 
CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 
0 0
( ) 
  
n n
n k n k k k k n k
n n
k k
a b C a b C a b
0 1 1 ... ...n n k n k k n nn n n nC a C a b C a b C b
49 
Tính chất: 
 - Số các số hạng của công thức là n+1. 
 - Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn 
 bằng số mũ của nhị thức: k+n-k= n 
- Số hạng tổng quát của nhị thức là: 
- Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạn đầu và cuối thì 
bằng nhau. 
1
k n k k
k nT C a b
0 1
0
0 0 1 1
0
2 (1 1) ...
(1 ) ( 1) ... ( 1)
n
n n k n
n n n n
k
n
n k k k n n n
n n n n
k
C C C C
x C x C x C x C x


Một số khai triển hay sử dụng: 
50 
CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 
5
2 5 2 5
5
0
( 2) ( ) ( 2) 
  k k k
k
x C x
Ví dụ: 
51 
CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 
6 0 0 6 1 1 5 2 2 4 3 3 3
6 6 6 6
4 4 2 5 5 1 6 6 0
6 6 6
6 5 2 4 3 3 4 2 5 6
( )
6 15 20 15 6
x y C x y C x y C x y C x y
C x y C x y C x y
y xy x y x y x y x y x
Ví dụ: Tìm hệ số của x4 trong khai triển (x2 -2)5 
2( ) 4 2 kx k
Khi k = 2 thì hệ số của x4: 
2 5 2
5 ( 2) 80
 C
HOÁN VỊ LẶP 
52 
a. Định nghĩa: Cho n đối tượng, trong đó có ni đối 
tượng loại i giống hệt nhau (i =1,2,,k) và n1+ n2,+ 
nk= n. Mỗi cách sắp xếp có thứ tự n đối tượng đã cho 
gọi là một hoán vị lặp của n. 
b. Công thức: 
Số hoán vị của n đối tượng, trong đó có 
n1 đối tượng giống nhau thuộc loại 1, 
n2 đối tượng giống nhau thuộc loại 2, 
, 
nk đối tượng giống nhau thuộc loại k, 
(n1+ n2,+ nk= n) là 
!!...!
!
21 knnn
n
Ví dụ: Có bao nhiêu chuỗi ký tự khác nhau 
nhận được bằng cách sắp xếp lại các ký tự của 
chuỗi: “YAMAHAM” 
HOÁN VỊ LẶP 
Số ký tự có trong 
chuỗi là: n=7 
Có 3 ký tự ‘A’ 
Có 2 ký tự ‘M’ 
Có 1 ký tự ‘Y’ 
Có 1 ký tự ‘H’ 
53 
Do đó số chuỗi có được là 
420
!!1!1!23
7!

nnnn
n
k
nn
k
n
k
k
kaaa
nn
n
aaa
...
21
1
21
21
21 ...
,...,
)...(
Khai triển mở rộng nhị thức Newton 
với các số nguyên không âm n1,n2,,nk 
thoả n1+n2++nk = n, ký hiệu 
!!...!
!
,...,, 2121 kk nnn
n
nnn
n
54 
Ví dụ: 
Tìmhệsốcủa  
trongkhaitriển  +  +  +   
 +  +  +   = 

, , , 
 

= 
,,,
=
!
!!!!
=  
55 
Vậy hệ số cần tìm: 
Khai triển mở rộng nhị thức Newton 
a. Định nghĩa: 
Mỗi cách chọn ra k vật từ n loại vật khác nhau 
(trong đó mỗi loại vật có thể được chọn lại nhiều 
lần) được gọi là tổ hợp lặp chập k của n. Số các 
tổ hợp lặp chập k của n được ký hiệu là 
 k
nK
56 
TỔ HỢP LẶP 
b. Công thức: 
1
k k
n n kK C 
57 
TỔ HỢP LẶP 
Ví dụ: Có 3 loại nón A, B, C. An mua 2 cái nón. 
Hỏi An có bao nhiêu cách chọn? 
Ta có mỗi cách chọn là mỗi tổ hợp lặp chập 
2 của 3. Số cách chọn: 
624
2
123
2
3 CCK
(Cụ thể AA, AB, AC, BB, BC, CC) 
58 
TỔ HỢP LẶP 
c. Hệ quả: Số nghiệm nguyên không âm (x1,x2,,xn) 
(mỗi xi đều nguyên không âm) của phương trình 
x1+ x2++ xn= k là 
k
kn
k
n CK 1 
Số cách chia k vật đồng chất nhau vào n hộp phân 
biệt cũng chính bằng số tổ hợp lặp chập k của n. 
k
kn
k
n CK 1 
TỔ HỢP LẶP 
59 
Bài 17: Phương trình X+Y+Z+T= 20 có bao 
nhiêu nghiệm nguyên không âm ? 
Lời giải : 
Chọn 20 phần tử từ một tập có 4 loại, sao cho có 
X phần tử loại 1, Y phần tử loại 2 , có Z phần tử 
loại 3, có T phần tử loại 4. Vì vậy số nghiệm bằng 
tổ hợp lặp chập 20 của 4 phần tử và bằng: 

 
=>Cách giải nhanh đối với bài toán tìm nghiệm 
nguyên không âm: x+y+z+t = n là 
 
Ví dụ: Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương 
trình 
x1+ x2 + x3 + x4 = 20 (1) 
Thỏa điều kiện x1 3; x2 2; x3 > 4 ( ). 
Giải: 
Ta viết điều kiện đã cho thành x1 3; x2 2; x3 5. 
Xét các điều kiện sau: 
x2 2; x3 5 ( ) 
x1 4; x2 2; x3 5 ( ) 
Gọi p, q, r lần lượt là các số nghiệm nguyên không 
âm của phương trình (1) thỏa các điều kiện (*), (**), 
(***). Ta có: 
TỔ HỢP LẶP 
60 
p = q – r 
Trước hết ta tìm q. 
Đặt 
x1’ = x1; x2’ = x2 – 2; x3’ = x3 - 5; x4’ = x4 
Phương trình (1) trở thành 
x1’+ x2’ + x3’ + x4’ = 13 (2) 
Số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) 
thỏa điều kiện (**) bằng số nghiệm nguyên không 
âm của phương trình (2) 
TỔ HỢP LẶP 
61 
13 13 13
4 4 13 1 16 q K C C
Ví dụ: 
Tương tự, ta có: . 
Vậy số nghiệm nguyên không âm của 
phương trình (1) thỏa điều kiện (*) là 340. 
9 9 9
4 4 9 1 12r K C C 
13 9
16 12 560 220 340. p q r C C
TỔ HỢP LẶP 
62 
Ví dụ: 
LOGO 
Hết