Bài giảng Vật lí - Chương 4: Trường điện từ dừng

1Chương 4 1
1. Khái niệm
2. Trường điện dừng trong môi trường dẫn
3. Trường điện dừng trong điện môi lý tưởng bao
quanh vật dẫn có dòng không đổi
4. Trường từ dừng
5. Năng lượng trường từ dừng
6. Lực từ
CHƯƠNG 4: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 
DỪNG
7:39 PM
Khái niệm
2
 Trường điện từ dừng là trường điện từ trong đó các đại lượng đặc trưng cho
trường không phụ thuộc thời gian và có dòng điện không đổi
 Phương trình:
ܤ ൌ ߤܪ 5
ܦ ൌ ߝܧ 6
ܬԦ ൌ ߛܧ 7
݀݅ݒܬԦ ൌ െ߲ߩ߲ݐ ൌ 0 ሺ8ሻ
ݎ݋ݐܪ ൌ ܬԦ ሺ1ሻ
݀݅ݒܤ ൌ 0 ሺ2ሻ
ݎ݋ݐܧ ൌ 0 ሺ3ሻ
݀݅ݒܦ ൌ ߩ ሺ4ሻ
 Môi trường đẳng
hướng, tuyến tính:
 Các phương trình (1), (2), (5): trường từ dừng gây bởi dòng điện không đổi theo
thời gian
 Các phương trình (3), (4), (6), (7): trường điện dừng
 Các phương trình (3), (4), (6): trường điện dừng trong điện môi lý tưởng
( = 0) bao quanh môi trường dẫn mang dòng điện không đổi
 Các phương trình (3), (8), (7): trường điện dừng trong môi trường dẫn có
dòng điện không đổi
27:39 PM Chương 4 3
Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Các phương trình cơ bản:
 Dạng vi phân: ݎ݋ݐܧ ൌ 0 ݀݅ݒܬԦ ൌ 0
 Dạng tích phân: ර ܧ݈݀ ൌ 0
஼
ර ܬԦ݀ ݏ
ௌ
ൌ 0
݀݅ݒܬԦ ൌ 0 Các đường sức là các đường cong khép kín
Dòng điện phải chạy trong mạch dẫn khép kín
Do hiện tượng tiêu tán năng lượng Cần nguồn cung cấp để dòng điện không đổi
Môi trường dẫn phải khép kín qua một nguồn và nguồn phải cung cấp năng
lượng thường xuyên
7:39 PM Chương 4 4
Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Trong miền không nguồn:
ܬԦ ൌ ߛܧ
 Trong miền có nguồn:
ܬԦ ൌ ߛ ܧ ൅ ܧ௦
ܧ௦ ൌ ிԦೞ௤ : vector cường độ trường ngoài
Trường lực ngoài phải là trường lực không có tính chất thế (không có nguồn
gốc tĩnh điện) như pic, accu, máy phát điện, 
37:39 PM Chương 4 5
Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Thế điện vô hướng:
ݎ݋ݐܧ ൌ 0 ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߶ ߶ሺܯሻ ൌ െන ܧ݈݀
ெబ
ெ
(M0) = 0
Môi trường dẫn đồng nhất, tuyến tính, đẳng hướng:
ܬԦ ൌ ߛܧ  = 2 = 0: phương trình Laplace
 Điều kiện biên:
Trên mặt S phân cách hai môi trường:
߶ଵ ൌ ߶ଶ
ܬଵ௡ ൌ ܬଶ௡	݄ܽݕ	ߛଵܧଵ ൌ ߛଶܧଶ	݄ܽݕ	ߛଵ ߲߶ଵ߲݊ ൌ ߛଶ
߲߶ଶ
߲݊
7:39 PM Chương 4 6
Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Điều kiện biên:
J2n
J2t
J1n
J2t
2
1
ܧଵ௧ ൌ ܧଶ௧	݄ܽݕ	 ܬଵ௧ߛଵ ൌ
ܬଶ௧
ߛଶ ݄ܽݕ	
߲߶ଵ
߲ݐ ൌ
߲߶ଶ
߲ݐ
t: đạo hàm theo phương tiếp tuyến
ݐ݃ߚଶ
ݐ݃ߚଵ ൌ
ߛଶ
ߛଵ
 Nếu môi trường dẫn tiếp xúc điện môi lý tưởng
ܬଵ௡ ൌ 0; ܧଵ௡ ൌ 0; ߲߶ଵ߲݊ ൌ 0
Môi trường 2 là điện môi lý tưởng ܬଶ ൌ 0
Nếu 1 >> 2: ܬଶ௧ ൎ 0; ܧଵ௧ ൎ 0; ߶ଶሺܵሻ ൎ 0
47:39 PM Chương 4 7
Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Điện trở:
Xét môi trường dẫn đặt giữa hai điện cực (độ
dẫn điện của điện cực lớn hơn nhiều so với môi
trường dẫn)
Có thể xem bề mặt của điện
cực tiếp xúc môi trường dẫn
là đẳng thế
Nếu đặt một hiệu điện thế không đổi vào 2
điện cực
Trong môi trường dẫn tồn tại
một trường điện từ dừng
Điều kiện biên:
߶ ଵܵ ൌ ܿ݋݊ݏݐ ൌ ߶ଵ
߶ ܵଶ ൌ ܿ݋݊ݏݐ ൌ ߶ଶ
߲߶଴
߲݊ ሺܵ଴ሻ ൌ 0
ଵܵ, ܵଶ: ܾề	݉ặݐ	đ݅ệ݊	ܿựܿ	ݐ݅ế݌	ݔúܿ	݉ô݅	ݐݎườ݊݃	݀ẫ݊
ܵ଴: ܾề	݉ặݐ	ܿò݊	݈ạ݅	ܿủܽ	݉ô݅	ݐݎườ݊݃	݀ẫ݊	ݐ݅ế݌	ݔúܿ	đ݅ệ݊	݉ô݅
7:39 PM Chương 4 8
Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Điện trở:
Gọi i là dòng điện chạy từ cực 1 sang cực 2 qua môi trường dẫn
݅ ൌ ර ܬԦ݀ ݏ
ௌభ
ൌ ර ܬԦ݀ ݏ
ௌమ
ൌ ර ܬԦ݀ ݏ
ௌ
S: bề mặt bất kỳ trong môi trường dẫn cắt tất cả các đường sức điện
Nếu môi trường dẫn tuyến tính ( không phụ thuộc ܧ, ܬԦ)
u = 1 - 2 = ri hay i = gu
r: điện trở, g: điện dẫn
57:39 PM Chương 4 9
Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 Công suất tiêu tán:
Theo định luật Joule – Lentz, mật độ công suất tiêu tán trong môi trường dẫn
݌௧௧ ൌ ܬԦܧ ௧ܲ௧ ൌ න ܬԦܧܸ݀
௏
ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߶ ௧ܲ௧ ൌ න ߶ܬԦ݀ ݏ
ஊ
(: bao gồm 3 mặt S0, S1, S2)
௧ܲ௧ ൌ න ߶ଵܬԦ݀ ݏ
ௌభ
െ න ߶ଶܬԦ݀ ݏ
ௌమ
൅ න ߶ܬԦ݀ ݏ
ௌబ
Trên mặt S0: ܬԦ݀ ݏ ൌ 0
௧ܲ௧ ൌ ߶ଵ න ܬԦ݀ ݏ
ௌభ
െ ߶ଶ න ܬԦ݀ ݏ
ௌమ
ൌ ߶ଵ െ ߶ଶ ݅ ൌ ݑ݅ ൌ ݎ݅ଶ ൌ ݃ݑଶ
7:39 PM Chương 4 10
Trường điện dừng trong môi
trường dẫn
 So sánh trường điện dừng trong môi trường dẫn với trường điện tĩnh:
ܧ ↔ ܧ
߶ ↔ ߶
ܬԦ↔ ܦ
ܫ ↔ ܳ
݃ ↔ ܥ
 Có thể áp dụng các phương pháp tính trường điện tĩnh để tính trường
điện dừng
 Biết kết quả của bài toán trường điện tĩnh thì có thể suy ra kết quả của
bài toán trường điện dừng bằng cách biến đổi như trên
67:39 PM 11
d1 d2
1 2
I
x
 = U  = 0
J1 J2
Tụ điện phẳng có hai lớp cách điện 1 = const dày d1, 2 = const dày d2 đặt
dưới hiệu điện thế U = const, diện tích mỗi bản tụ là S.
Do tính đối xứng ܧ theo hướng x ܧ ൌ ܧ݅௫
ܬԦ ൌ ߛܧ ൌ ܬ݅௫
݀݅ݒܬԦ ൌ 0 ߲ܬ߲ݔ ൌ 0
J1 = const
J2 = const
Điều kiện biên: J1n = J2n J1 = J2 = J
ܷ ൌ ߶ 0 െ ߶ ݀ଵ ൅ ݀ଶ ൌ න ܧ݈݀ ൌ න ܧଵ݀ݔ
ௗభ
଴
൅ න ܧଶ݀ݔ
ௗభାௗమ
ௗభ
ௗభାௗమ
଴
ܷ ൌ ܧଵ݀ଵ ൅ ܧଶ݀ଶ ൌ ܬߛଵ ݀ଵ ൅
ܬ
ߛଶ ݀ଶ ܬ ൌ
ߛଵߛଶܷ
݀ଵߛଶ ൅ ݀ଶߛଵ
ܧ ൌ ܬߛ ൌ
ߛଶܷ
݀ଵߛଶ ൅ ݀ଶߛଵ 0 ൏ ݔ ൏ ݀ଵߛଵܷ
݀ଵߛଶ ൅ ݀ଶߛଵ ݀ଵ ൏ ݔ ൏ ݀ଵ ൅ ݀ଶ
7:39 PM Chương 4 12
Dòng điện chạy qua tụ điện:
ܫ ൌ ර ܬԦ݀ ݏ
ௌ
ൌ න ܬ݀ݏ
ௌ
ൌ ܬන ݀ݏ
ௌ
ൌ ܬܵ ൌ ߛଵߛଶܷ݀ଵߛଶ ൅ ݀ଶߛଵ ܵ
Điện dẫn của tụ điện:
݃ ൌ ܫܷ ൌ
ߛଵߛଶܵ
݀ଵߛଶ ൅ ݀ଶߛଵ
Điện trở của tụ điện:
ݎ ൌ ܷܫ ൌ
݀ଵߛଶ ൅ ݀ଶߛଵ
ߛଵߛଶܵ ൌ
݀ଵߛଵ ൅
݀ଶߛଶ
ܵ
77:39 PM Chương 4 13
Trường điện dừng trong điện môi lý tưởng
bao quanh vật dẫn có dòng không đổi
Trong điện môi lý tưởng: ܬԦ ൌ 0 Các phương trình:
ݎ݋ݐܧ ൌ 0
݀݅ݒܦ ൌ 0
ܦ ൌ ߝܧ
Vật dẫn mang dòng
điện không đổi
Điện môi lý tưởng
(1)
(2)
Trường điện dừng trong điện môi lý tưởng bao quanh vật dẫn có dòng không
đổi là trường thế
ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߶
Nếu  = const phương trình Laplace:  = 0
E2n = 0 ܧଵ௡ ൌ ܧଵ௡ െ ܧଶ௡ ൌ
ߪ
ߝ
Chương 4 14
Cáp đồng trục bán kính lõi a, bán kính trong của vỏ là b, bán kính ngoài của vỏ
là c, dòng điện chạy trong lõi và vỏ có cùng cường độ I nhưng ngược chiều
a
b
Lõi dẫn hình trụ
Vỏ ngoài
Lớp điện môic
za
b c
0
Trong vỏ và lõi:
ܬԦ ൌ
െ ܫߨܽଶ ݅௭	 ݈õ݅ܫ
ߨ ܿଶ െ ܾଶ ݅௭ ݒỏ
ܧ ൌ ܬԦߛ ൌ
ܧଵ݅௭ ൌ െ ܫߛߨܽଶ ݅௭	 ݈õ݅
ܧଶ݅௭ ൌ ܫߛߨ ܿଶ െ ܾଶ ݅௭ ݒỏ
Mặt đẳng thế là các mặt z = const. Chọn thế
trên mặt z = 0 của lõi có  = 0 và thế trên
mặt z = 0 của vỏ có  = U
߶ ൌ
ܫ
ߛߨܽଶ ݖ	 ݈õ݅
െ ܫߛߨ ܿଶ െ ܾଶ ݖ ൅ ܷ ݒỏ
87:39 PM Chương 4 15
Trong lớp điện môi:
߶ ൌ 1
ln	ܾܽ
ܧଵ݈݊ ݎܾ െ ܧଶ݈݊
ݎ
ܽ ݖ ൅ ܷ݈݊
ݎ
ܽ
ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߶ ൌ ܧ௥݅௥ ൅ ܧ௭݅௭
ܧ௥ ൌ െ߲߶߲ݎ ൌ
1
ݎ݈݊ ܾܽ
ܧଶ െ ܧଵ ݖ െ ܷ
ܧ௭ ൌ െ߲߶߲ݖ ൌ
1
݈݊ ܾܽ
െܧଵ݈݊ ݎܾ ൅ ܧଶ݈݊
ݎ
ܽ
ܧଵ ൌ െ ܫߛߨܽଶ
ܧଶ ൌ ܫߛߨ ܿଶ െ ܾଶ
7:39 PM 16
Trường từ dừng
 Các phương trình cơ bản:
 Dạng vi phân: ݎ݋ݐܪ ൌ ܬԦ ݀݅ݒܤ ൌ 0
 Dạng tích phân: ර ܪ݈݀ ൌ Σ݅
஼
ර ܤ݀ݏ
ௌ
ൌ 0
 Điều kiện biên: ܤଵ௡ ൌ ܤଶ௡݊ ൈ ܪଶ െ ݊ ൈ ܪଵ ൌ ܬ௦
 Thế từ ở miền không có dòng điện:
ݎ݋ݐܪ ൌ 0 Có thể biểu diễn ܪ qua gradient của một hàm vô hướng
ܪ ൌ െ݃ݎܽ݀߶௠ m [A]: thế từ vô hướng, thông thường
là hàm đa trị (chỉ đơn trị khi khảo sát
trong miền đơn liên)
97:39 PM Chương 4 17
Trường từ dừng
 Phương trình Laplace:
݀݅ݒܪ ൌ ݀݅ݒ ܤߤ ൌ
1
ߤ ݀݅ݒܤ ൌ 0
Nếu miền khảo sát không có dòng dẫn và  = const:
ܪ ൌ െ݃ݎܽ݀߶௠
 m = 0
 Điều kiện biên:
߶௠ଵ ൌ ߶௠ଶ
ܤଵ௡ ൌ ܤଶ௡	݄ܽݕ	ߤଵܪଵ௡ ൌ ߤଶܪଶ௡	݄ܽݕ	ߤଵ ߲߶௠ଵ߲݊ ൌ ߤଶ
߲߶௠ଶ
߲݊
ܪଵ௧ ൌ ܪଶ௧	݄ܽݕ	 ܤଵ௧ߤଵ ൌ
ܤଶ௧
ߤଶ ݄ܽݕ	
߲߶௠ଵ
߲ݐ ൌ
߲߶௠ଶ
߲ݐ
7:39 PM Chương 4 18
Trường từ dừng
 Thế vector:
Nếu miền khảo sát có dòng dẫn ܬԦ
ݎ݋ݐܪ ൌ ܬԦ ് 0 Không thể biểu diễn qua m
݀݅ݒܤ ൌ 0
݀݅ݒ ݎ݋ݐܣԦ ൌ 0
Đặt: ܤ ൌ ݎ݋ݐܣԦ ܣԦ	 gọi là thế vector
ܤ ൌ ݎ݋ݐܣԦ ܤ cho trước sẽ có vô số vector ܣԦ thỏa mãn
Chọn thêm điều kiện phụ: ݀݅ݒܣԦ ൌ 0
10
7:39 PM Chương 4 19
Trường từ dừng
 Thế vector:
Nếu môi trường đồng nhất tuyến tính và đẳng hướng có  = const:
ݎ݋ݐܤ ൌ ݎ݋ݐ ߤܪ ൌ ߤݎ݋ݐܪ ൌ ߤܬԦ
ܤ ൌ ݎ݋ݐܣԦ ݎ݋ݐܤ ൌ ݎ݋ݐ ݎ݋ݐܣԦ ൌ ݃ݎܽ݀ ݀݅ݒܣԦ െ ∆ܣԦ
∆ܣԦ ൌ ݃ݎܽ݀ ݀݅ݒܣԦ െ ݎ݋ݐሺݎ݋ݐܣԦሻ
݀݅ݒܣԦ ൌ 0 ݎ݋ݐܤ ൌ െ∆ܣԦ ൌ ߤܬԦ
Phương trình Poisson: ∆ܣԦ ൌ െߤܬԦ
Nếu môi trường không có dòng dẫn Phương trình Laplace: ∆ܣԦ ൌ 0
7:39 PM Chương 4 20
Trường từ dừng
 Thế vector:
∆ܣԦ ൌ ∆ܣ௫݅௫ ൅ ∆ܣ௬݅௬ ൅ ∆ܣ௭݅௭
ܣԦ ൌ ܣ௫݅௫ ൅ ܣ௬݅௬ ൅ ܣ௭݅௭
∆ܣ௫ൌ ߲
ଶܣ௫
߲ݔଶ ൅
߲ଶܣ௫
߲ݕଶ ൅
߲ଶܣ௫
߲ݖଶ
∆ܣ௬ൌ ߲
ଶܣ௬
߲ݔଶ ൅
߲ଶܣ௬
߲ݕଶ ൅
߲ଶܣ௬
߲ݖଶ
∆ܣ௭ൌ ߲
ଶܣ௭
߲ݔଶ ൅
߲ଶܣ௭
߲ݕଶ ൅
߲ଶܣ௭
߲ݖଶ
∆ܣԦ ൌ െߤܬԦ ∆ܣ௫ ൌ െߤܬ௫∆ܣ௬ ൌ െߤܬ௬
∆ܣ௭ ൌ െߤܬ௭
ܬԦ ൌ ܬ௫݅௫ ൅ ܬ௬݅௬ ൅ ܬ௭݅௭
11
7:39 PM Chương 4 21
Trường từ dừng
 Thế vector:
0
dV
ݎԦݎ′
ܴ ൌ ݎԦ െ ݎ′
M
V
ܣԦ ൌ ߤ4ߨන
ܬԦ ݎᇱ
ܴ ܸ݀௏
Tương tự như trường điện tĩnh:
ܣԦ ∞ ൌ 0
ܤ ൌ ݎ݋ݐܣԦ ൌ ߤ4ߨන ݎ݋ݐ
ܬԦ ݎᇱ
ܴ ܸ݀௏
Ta chứng minh được: ݎ݋ݐ ܬԦ ݎ
ᇱ
ܴ ൌ
ܬԦൈ ܴ
ܴଷ
ܤ ൌ ߤ4ߨන
ܬԦൈ ܴ
ܴଷ ܸ݀௏
(định luật Biot – Savart)
7:39 PM Chương 4 22
Trường từ dừng
 Thế vector:
Nếu dòng điện chạy trong vòng dây dẫn khép kín, dây có tiết diện ngang
rất nhỏ so với khoảng cách tới điểm tính trường dòng điện dây
ܣԦ ൌ ߤ݅4ߨර
1
ܴ ݈݀஼
Định luật Biot – Savart: ܤ ൌ ߤ݅4ߨර
݈݀ ൈ ܴ
ܴଷ஼
݀ܣԦ ൌ ߤܬԦ݀ ܸ4ߨܴ 	݄ܽݕ	݀ܣԦ ൌ
ߤ݈݅݀
4ߨܴ
݀ܤ ൌ ߤܬԦ݀ ܸ ൈ ܴܴଷ 	݄ܽݕ	݀ܣԦ ൌ
ߤ݈݅݀ ൈ ܴ
ܴଷ
݀ܣԦ ∥ ܬԦ݀ ܸ	݄ܽݕ	݀ܣԦ ∥ ݈݅݀
݀ܤ ٣ ܬԦ݀ ܸ	݄ܽݕ	݀ܤ ٣ ݈݅݀
12
7:39 PM Chương 4 23
Tính ܣԦ, ܤ, ܪ gây ra bởi một trục thẳng dài vô hạn mang dòng điện I đặt
trong môi trường đồng nhất vô hạn có  = const.
Chọn hệ tọa độ trụ, trục z trùng với trục dòng điện. Giả sử dòng điện chạy
theo chiều dương trục z.
݀ܣԦ ∥ ܬԦ݀ ܸ Thế vector ܣԦ song song với dòng điện ܣԦ ൌ ܣ݅௭
Do tính đối xứng, A chỉ phụ thuộc r A = A(r)
ܤ ൌ ݎ݋ݐܣԦ ൌ 1ݎ
݅௥ ݎ݅ఝ ݅௭
߲
߲ݎ
߲
߲߮
߲
߲ݖ
0 0 ܣሺݎሻ
ൌ 1ݎ
߲ܣሺݎሻ
߲߮ ݅௥ െ ݎ
߲ܣሺݎሻ
߲ݎ ݅ఝ ൌ െ
߲ܣሺݎሻ
߲ݎ ݅ఝ
ܤ ൌ െ߲ܣ ݎ߲ݎ ݅ఝ ൌ ܤሺݎሻ݅ఝ
ܪ ൌ ܤߤ ൌ ܪሺݎሻ݅ఝ
7:39 PM Chương 4 24
Áp dụng định luật Ampère cho đường tròn bán kính r, tâm nằm trên trục dòng điện:
ර ܪ݈݀
஼
ൌ෍ܫ௞
௞
ර ܪ݈݀
஼
ൌ ර ܪ݈݀
஼
ൌ ܪ. 2ߨݎ ൌ ܫ ܪ ൌ ܫ2ߨݎ
ܪ ൌ ܫ2ߨݎ ݅ఝ ܤ ൌ
ߤܫ
2ߨݎ ݅ఝ
െ߲ܣ ݎ߲ݎ ൌ ܤሺݎሻ ܣ ݎ ൌ නെܤ ݎ ݀ݎ ൌ െ
ߤܫ
2ߨ ݈݊ݎ ൅ ܥ
Chọn A(r0) = 0 ܥ ൌ
ߤܫ
2ߨ ݈݊ݎ଴
ܣ ݎ ൌ ߤܫ2ߨ ݈݊
ݎ଴
ݎ
ܣԦ ൌ ߤܫ2ߨ ݈݊
ݎ଴
ݎ ݅௭
13
7:39 PM Chương 4 25
Năng lượng trường từ dừng
 Mật độ năng lượng trường từ:
ݓெ ൌ 12ܤܪ
 Năng lượng toàn phần của trường từ:
ெܹ ൌ නݓெܸ݀ ൌ න 12ܤܪܸ݀௧௢à௡	௞௛ô௡௚	௚௜௔௡
ܤ ൌ ݎ݋ݐܣԦ ெܹ ൌ න 12ܪݎ݋ݐܣԦܸ݀௧௢à௡	௞௛ô௡௚	௚௜௔௡
݀݅ݒ ܣԦ ൈ ܤ ൌ ܤ. ݎ݋ݐܣԦ െ ܣԦ. ݎ݋ݐܤ ܪݎ݋ݐܣԦ ൌ ݀݅ݒ ܣԦ ൈ ܪ ൅ ܣԦݎ݋ݐܪ
7:39 PM Chương 4 26
Năng lượng trường từ dừng
 Năng lượng toàn phần của trường từ:
ெܹ ൌ න 12 ݀݅ݒ ܣԦ ൈ ܪ ൅ ܣԦݎ݋ݐܪ ܸ݀௧௢à௡	௞௛ô௡௚	௚௜௔௡
ெܹ ൌ න 12݀݅ݒ ܣԦ ൈ ܪ ܸ݀௧௢à௡	௞௛ô௡௚	௚௜௔௡ ൅ න
1
2ܣԦݎ݋ݐܪܸ݀௧௢à௡	௞௛ô௡௚	௚௜௔௡
ெܹ ൌ 12ර ܣԦ ൈ ܪ ݀ݏௌಮ
൅ 12න ܣԦ	ܬԦ݀ ܸ௧௢à௡	௞௛ô௡௚	௚௜௔௡
Bên ngoài V thì ܬԦ = 0 12න ܣԦ	ܬԦ݀ ܸ௧௢à௡	௞௛ô௡௚	௚௜௔௡ ൌ
1
2න ܣԦ	ܬԦ݀ ܸ௏
Khi r : 12ර ܣԦ ൈ ܪ ݀ݏௌಮ
→ 0
ெܹ ൌ 12න ܣԦ	ܬԦ݀ ܸ௏
14
7:39 PM Chương 4 27
Hệ số hỗ cảm, tự cảm
 Xét trường từ gây bởi n vòng dây dẫn, mỗi vòng dây mang dòng điện không đổi:
ெܹ ൌ 12෍න ܣԦ	ܬ௞ܸ݀௏ೖ
௡
௞ୀଵ
ൌ 12෍ ܫ௞߰௞
௡
௞ୀଵ
߰௞ ൌ 1ܫ௞ න ܣ
Ԧܬ௞ܸ݀
௏ೖ
: từ thông móc vòng trên vòng dây thứ k do tất cả n dòng điện
chảy trong n vòng dây
Nếu môi trường là tuyến tính: ߰௞ ൌ෍߰௞௟
௡
௟ୀଵ
߰௞௟ ൌ 1ܫ௞ න ܣ௟	ܬ௞ܸ݀௏ೖ
: từ thông móc vòng trên vòng dây thứ k gây ra bởi dòng
chạy trong vòng dây thứ l
7:39 PM Chương 4 28
Hệ số hỗ cảm, tự cảm
߰௞௟ ൌ 1ܫ௞ න ܣ௟	ܬ௞ܸ݀௏ೖ
ൌ ൜ܯ௞௟ܫ௟ ݇ ് ݈ܮ௟ܫ௟ ݇ ൌ ݈
ܯ௞௟ ൌ න ܣ௟ܫ௟ 	
ܬ௞
ܫ௞ ܸ݀௏ೖ
: hệ số hỗ cảm của vòng dây thứ l đối với vòng dây
thứ k
ܯ௟௟ ൌ 	ܮ௟ ൌ න ܣ௟ܫ௟ 	
ܬ௟
ܫ௟ ܸ݀௏೗
: hệ số tự cảm của vòng dây thứ l
ெܹ ൌ 12෍෍ܫ௞ܫ௟ܯ௞௟
௡
௟ୀଵ
௡
௞ୀଵ
߰௞ ൌ 12෍ܫ௟ܯ௞௟
௡
௟ୀଵ
Nếu chỉ có 1 vòng dây: ெܹ ൌ 12 ܮܫ
ଶ
15
7:39 PM Chương 4 29
c
b
a
Lõi dẫn
Vỏ ngoài
Lớp từ môi
Cáp đồng trục thẳng rất dài, bán kính lõi a, bán kính trong của vỏ là b, bán
kính ngoài của vỏ là c, dòng điện chạy trong lõi và vỏ có cùng cường độ I
nhưng ngược chiều. Độ thẩm từ của lõi và vỏ là 0, của lớp từ môi là 1.
Chọn trục z của hệ trục tọa độ trùng với trục cáp.
Trường từ đối xứng trụ quanh trục z các đại lượng
trường từ có dạng:
ܤ ൌ ܤሺݎሻ݅ఝ, ܪ ൌ ܪሺݎሻ݅ఝ
r Áp dụng định luật Ampère cho vòng tròn bán kính r,tâm trên trục z
ර ܪ݈݀
஼
ൌ෍ܫ௞
௞
a
b c
I
I
r ܪ. 2ߨݎ ൌ
ߨݎଶ ܫߨܽଶ ݎ ൑ ܽ
ܫ ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ
ܫ െ ߨ ݎ
ଶ െ ܾଶ
ߨ ܿଶ െ ܾଶ ܫ ܾ ൑ ݎ ൑ ܿ
0 ݎ ൐ ܿ
7:39 PM Chương 4 30
ܪ ൌ
ܫ ݎ2ߨܽଶ ݎ ൑ ܽܫ
2ߨݎ ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ
ܫ
2ߨݎ 1 െ
ݎଶ െ ܾଶ
ܿଶ െ ܾଶ ܾ ൑ ݎ ൑ ܿ
0 ݎ ൐ ܿ
ܤ ൌ ߤܪ
Mật độ năng lượng từ trường:
ݓெ ൌ 12ܤܪ ൌ
1
2 ߤܪ
ଶ
ܤܪ ൌ ߤܪܪ ൌ ߤܪଶ
Năng lượng từ trường ứng với 1 đơn vị dài:
Wெ ൌ න ݓெܸ݀
௏
ൌ න ݓெ2ߨݎ݀ݎ
௔
଴
ௐభ ௟õ௜
൅ න ݓெ2ߨݎ݀ݎ
௕
௔
ௐమ ௧ừ	௠ô௜
൅ න ݓெ2ߨݎ݀ݎ
௖
௕
ௐయ ௩ỏ
ଵܹ ൌ න 12ߤ଴ ܫ
ݎ
2ߨܽଶ
ଶ
2ߨݎ݀ݎ
௔
଴
ൌ ߤ଴16ߨ ܫ
ଶ
ଶܹ ൌ න 12ߤଵ
ܫ
2ߨݎ
ଶ
2ߨݎ݀ݎ
௕
௔
ൌ ߤଵ4ߨ ܫ
ଶ݈݊ ܾܽ
Wଷ ൌ න 12 ߤ଴
ܫ
2ߨݎ 1 െ
ݎଶ െ ܾଶ
ܿଶ െ ܾଶ
ଶ
2ߨݎ݀ݎ
௖
௕
ൌ ߤ଴4ߨ ܫ
ଶ ܿସ
ܿଶ െ ܾଶ ଶ ݈݊
ܿ
ܾ െ
3ܿଶ െ ܾଶ
4 ܿଶ െ ܾଶ
16
7:39 PM Chương 4 31
Hệ số tự cảm ứng với 1 đơn vị dài:
ܮ ൌ 2 ெܹܫଶ ൌ
2 ଵܹ ൅ 2 ଶܹ ൅ 2 ଷܹ
ܫଶ
ܮ ൌ ߤ଴8ߨ ൅
ߤଵ
2ߨ ݈݊
ܾ
ܽ ൅
ߤ଴
2ߨ
ܿସ
ܿଶ െ ܾଶ ଶ ݈݊
ܿ
ܾ െ
3ܿଶ െ ܾଶ
4 ܿଶ െ ܾଶ
7:39 PM Chương 4 32
Lực từ
ܨԦ ൌ න ܬԦ݀ ܸ ൈ ܤ
௏
Nếu dòng điện dây: ܨԦ ൌ ර ܫ݈݀ ൈ ܤ
஼
Lực từ tác dụng lên vật dẫn mang dòng điện với mật độ ܬԦ nằm trong trường từ với
cảm ứng từ ܤ:
d
ܤଶ ܤଵ
I1 I2
݀ܨଶ ݀ܨଵ
Xét 2 dây dẫn mang dòng điện cùng chiều I1, I2 cách nhau khoảng d.
ܤଵ, ܤଶ: cảm ứng từ gây ra bởi dòng I1 trên dây 2 và dòng I2 trên
dây 1
݀ܨଵ ൌ ܫଶ݈݀ଶ ൈ ܤଵ ݀ܨଵ ൌ ߤܫଵܫଶ2ߨ݀ ݈݀ଶ
Lực từ tác dụng trên 1 đơn vị dài: ݀ܨଵ
݈݀ଶ ൌ
ߤܫଵܫଶ
2ߨ݀