Vật lí đại cương A - Chương 3: Cơ học hệ chất điểm và VR

CHƢƠNG 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM VÀ VR 
§1. Khối tâm 
1 
HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 
Vietnam National University of Agriculture 
§2. Chuyển động của vật rắn 
§3. Mômen quán tính 
§4. Mômen động lƣợng 
2 
Định nghĩa: Cho một hệ chất điểm M1, M2,  Mn, “Khối 
tâm” được định nghĩa là một điểm G và thỏa mãn điều 
kiện sau: 
0GMm
n
1i
ii 
1M 2MG
gm1
gm 2
 gmm 21
gm A
gm B
 gm D
gm C
§1. Khối tâm 
3 
Tọa độ của khối tâm 
 Đối với khối tâm của một hệ, ta có: 
 Nhân hai vế với mi lấy tổng cho tất cả các chất điểm 
của hệ từ i = 1 tới n 
= 0 
§1. Khối tâm 
G i i
r OG OM M G 
1 1 1
n n n
i i i i i
i i i
m OG m OM m M G
  
1
1
n
i i
i
G n
i
i
m OM
r
m


4 
Đối với vật rắn (Hệ chất điểm phân bố liên tục) 
§1. Khối tâm 
Gọi dm là khối lượng của yếu tố thể 
tích dV nằm tại vị trí xác định bởi r
( )dm r dV Ta có: 
( )r : Mật độ khối lượng phụ thuộc 
vào tọa độ r 
Vị trí của khối tâm được xác định như sau: 
1 1
( )dV
G
V V
r rdm r r
m m
5 
Chuyển động của khối tâm 
Như vậy: “Tổng động lượng của hệ chất điểm bằng động 
lượng của một chất điểm đặt tại khối tâm của hệ, có khối 
lượng bằng tổng khối lượng của hệ và có vận tốc bằng vận 
tốc khối tâm của hệ”. 
§1. Khối tâm 
1 1 1 1
1 1 1 1 1
n n n n
i i
i i i i i
G i i i i
G n n n n n
i i i i i
i i i i i
dOM dr
m m m v p
dr pdt dt
v
dt
m m m m m
   
    
1
n
G i
i
v m p
 
6 
Phƣơng trình chuyển động của khối tâm 
Giả thiết mỗi chất điểm M1, M2, , Mn chịu tác dụng của 
một ngoại lực F1, F2, , Fn và chuyển động với gia tốc 
tương ứng a1, a2, , an thỏa mãn các phương trình: 
§1. Khối tâm 
Lấy đạo hàm vận tốc khối tâm của hệ: 
7 
“Khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối 
lượng bằng tổng khối lượng của hệ và chịu tác dụng của 
một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên hệ”. 
§1. Khối tâm 
1 1 1 1
1 1 1 1
n n n n
i i i i i i i
G i i i i
G n n n n
i i i i
i i i i
d
m v m v m a F
dv d dt
a
dt dt
m m m m
   
   
1 1
n n
i G i
i i
m a F
 
I. Vật rắn và chuyển động của vật rắn 
1. Vật rắn 
Vật rắn là một hệ chất điểm mà khoảng cách giữa các 
chất điểm thuộc vật rắn luôn luôn không đổi. 
8 
§2. Chuyển động của vật rắn 
2. Chuyển động của vật rắn 
Chuyển động tịnh tiến 
Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, 
mọi chất điểm của nó đều vạch 
ra những quỹ đạo giống nhau và 
đoạn nối hai điểm bất kỳ của vật 
luôn // với chính nó. 
→Tại một thời điểm các chất điểm có cùng véctơ vận tốc 
và véctơ gia tốc. 
→ Chỉ cần xét chuyển động tịnh tiến của một chất điểm 
bất kỳ thuộc vật rắn. 
9 
§2. Chuyển động của vật rắn 
10 
§2. Chuyển động của vật rắn 
Chuyển động quay của vật rắn 
11 
Xét vật rắn bất kỳ quay 
xung quanh trục cố định. 
, ,  
→Tại một thời điểm, các chất điểm thuộc vật rắn có 
cùng 
Khi vật rắn quay, mọi chất 
điểm thuộc vật rắn đều 
chuyển động theo quỹ đạo 
tròn với tâm thuộc trục 
quay. 
§2. Chuyển động của vật rắn 
12 
§2. Chuyển động của vật rắn 
II. Phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay 
1. Mômen lực 
Giả sử dưới tác dụng của lực F bất kỳ. Vật rắn quay 
quanh trục cố định Δ . 
Phân tích lực F thành ba thành 
phần như hình vẽ 
1 (1)n tF F F F 
F
nF
1F
2F
tF
13 
§2. Chuyển động của vật rắn 
Nhận xét 
F
nF
1F
2F
tF
14 
 có phương song song với trục quay 1F
→ chỉ làm vật rắn chuyển động 
dọc trục quay 
có phương pháp tuyến với quỹ 
đạo và nằm trong mặt phẳng 
quỹ đạo 
nF
→ chỉ kéo vật rắn dời xa trục quay 
có phương tiếp tuyến với quỹ đạo và nằm trong mặt 
phẳng quỹ đạo 
tF
→ làm vật rắn quay quanh trục Δ 
§2. Chuyển động của vật rắn 
Ý nghĩa của Mômen lực 
Mômen của lực tiếp tuyến đối với trục quay là đại 
lượng vật lý đặc trưng cho tác dụng của lực đối với 
chuyển động quay 
Định nghĩa: 
Trong đó: là véctơ khoảng cách từ trục quay tới điểm 
đặt của lực 
(2)tM r F 
r
tF
tF
15 
§2. Chuyển động của vật rắn 
Xác định véctơ mômen lực 
+ Gốc đặt tại tâm quỹ đạo chuyển động quay. 
+ Phương nằm trên trục quay. 
+ Chiều thuận chiều quay từ ngọn sang ngọn 
+ Độ lớn: 
+ Dạng véctơ: 
M
r
tF
. (3)tM r F 
tF
r
M(4)tM r F 
16 
tF
r
M
§2. Chuyển động của vật rắn 
17 
Mômen lực (Mômen xoắn) 
Mômen xoắn biểu thị cho tác động của một lực làm quay 
một vật thể quanh một trục. 
§2. Chuyển động của vật rắn 
Mômen xoắn trong động cơ 
18 
Ta không thể nói một chiếc Lamborghini có công suất 
700 HP là "mạnh" hơn một chiếc xe tải Hyundai có công 
suất 200 HP bởi "sức mạnh" của chiếc xe không chỉ thể 
hiện ở một đại lượng là công suất mà nó còn thể hiện ở 
một đại lượng quan trọng khác, đó chính là mômen xoắn. 
§2. Chuyển động của vật rắn 
19 
Một chiếc xe có mô-men xoắn càng lớn thì lực quay của 
bánh xe càng mạnh, xe càng có khả năng chở hay kéo vật 
nặng và do đó càng "đề pa" nhanh chóng hơn. 
Tuy nhiên, chiếc xe có đạt được tốc độ cao hay không thì 
phụ thuộc vào công suất của động cơ. 
§2. Chuyển động của vật rắn 
2. Phƣơng trình chuyển động quay của vật rắn 
+ Xét vật rắn (gồm n chất điểm). 
+ Xét chất điểm thứ i, khối lượng mi 
thuộc vật rắn và cách trục quay Δ 
một khoảng ri . 
+ Giả sử có lực tiếp tuyến tác 
dụng lên chất điểm i và thu được 
gia tốc 
tiF
tia
20 
tiF
ir
i
im
i
§2. Chuyển động của vật rắn 
Theo định luật 2 Newton: 
Nhân 2 vế của (5) với ri ta được: 
Mà: 
(Mi gọi là mômen của lực Fti với chất điểm i) 
+ Đối với cả vật rắn gồm n chất điểm ta có: 
(5)ti i tiF m a 
tiiitii amrFr ... 
tiiiiti FrMra .,. 
2
(6). .i i iM m r  
2
1 1
(7)
n n
i i i
i i
M m r 
 
21 
§2. Chuyển động của vật rắn 
Đặt: 
(8).M I  
(9).M I  
22 
M + Do (?) nên ta có thể viết dưới dạng véctơ: 
2
1
r
n
i i
i
I m
 + gọi là mômen quán tính của vật rắn với trục 
quay 
iM M + gọi là mômen tổng hợp các ngoại lực tác dụng 
lên vật rắn. 
§2. Chuyển động của vật rắn 
Biểu thức (8), (9) là phương trình cơ bản của chuyển 
động quay của vật rắn quanh một trục cố định. 
23 
(9)
M
I
 
Phát biểu 
Trong chuyển động quay của vật rắn, gia tốc góc mà vật 
rắn thu được tỷ lệ thuận với mômen tổng hợp các ngoại 
lực tác dụng lên vật rắn và tỷ lệ nghịch với mômen quán 
tính của vật rắn đối với trục quay. 
§2. Chuyển động của vật rắn 
Cách tính mômen quán tính 
2
1 1 
  
n n
i i i
i i
I I m r
24 
§3. Mômen quán tính 
Nếu khối lượng của vật phân bố liên tục thì ta có thể chia 
nhỏ vật tùy ý. Khi đó mi sẽ biến thành dm. 
2 2 2
0
1
lim
  
i
n
i i
m
i
I m r I r dm r dV 
Nếu ta có thể chia nhỏ vật thành từng yếu tố nhỏ có khối 
lượng mi và cách trục quay một khoảng ri và có mômen 
quán tính là Ii . Khi đó mômen quán tính của vật sẽ được 
tính theo công thức: 
25 
§3. Mômen quán tính 
Đặc điểm 
+ I phụ thuộc hình dạng, kích thước và vị trí của vật rắn 
với trục quay. 
+ I phụ thuộc khối lượng của các chất điểm thuộc vật rắn 
Ý nghĩa 
→ Mômen quán tính đặc trưng cho quán tính trong 
chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định. 
Ví dụ: Mômen quán tính của một mạng gồm 8 hạt 
cùng có khối lƣợng m trên hình lập phƣơng cạnh a có 
trục quay là trục ∆ 
26 
Khoảng cách từ các hạt đến trục 
quay là: 
§3. Mômen quán tính 
2
a
r 
Mômen quán tính của hệ là: 
2
2 28 4
2
i i
a
I m r m ma

Ví dụ: Mômen quán tính của thanh mảnh có tiết diện 
không đổi S, chiều dài L, khối lƣợng m và có trục 
quay đi qua một đầu thanh 
3
2 3
0 0
1
x
3 3
LL
x
I dI Sx d S SL 
27 
Ta tính I của phần tử nhỏ có chiều 
dài dx và cách trục quay khoảng x. 
Phần tử này có khối lượng là: xdm Sd 
2 2 x dI r dm x Sd 
Mômen quán tính của cả thanh: 
Với: m SL 
§3. Mômen quán tính 
dx
x x dx 
L0
21
3
 I mL
28 
§3. Mômen quán tính 
Ví dụ: Mômen quán tính của thanh mảnh có tiết diện 
không đổi S, chiều dài L, khối lƣợng m và có trục 
quay qua điểm giữa thanh 
dx
L0
2
32
2 3
2
2
1
x
3 12
L
L
L
L
x
I dI Sx d S SL 
Với: m SL 
21
12
 I mL
Mômen quán tính của một số vật rắn khác 
2 2
1 2
1
( )
2
I m R R 
21
2
I mR 
23
10
I mR 
22
5
I mR 
29 
§3. Mômen quán tính 
+ Mômen quán tính của quả cầu đặc 
+ Mômen quán tính của hình nón 
+ Mômen quán tính của hình trụ đặc 
+ Mômen quán tính của hình xuyến 
+ Mômen quán tính của hình trụ rỗng 
2 I mR
1. Mômen động lƣợng ( )L
(1).L I  
30 
§4. Mômen động lƣợng 
Mômen động lượng của vật rắn là đại lượng có trị số 
bằng tích của vận tốc góc với mômen quán tính của vật 
rắn đối với trục quay. 
Đặc trưng cho trạng thái chuyển động về mặt động lực 
học của vật rắn quay xung quanh một trục 
Ý nghĩa 
Định nghĩa 
 (1.1) L m r v r P
2. Định luật bảo toàn mômen động lƣợng 
+ Từ 
Khi mômen tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên vật rắn 
bằng 0: 
Phát biểu 
Nếu mômen tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên vật rắn 
bằng không thì mômen động lượng được bảo toàn 
(2)
( )
.
d d I d L d L
M I M I Hay M
dt dt dt dt
 
 
(3)0 .
d L
M L const Hay I const
dt
 
31 
§4. Mômen động lƣợng 
32 
§4. Mômen động lƣợng 
Hết chƣơng 3