Bài giảng Vật lí đại cương - Chương III: Động lực học hệ chất điểm, động lực học vật rắn

Ch−ơng III
động lực học hệ chất điểm, 
động lực học vật rắn
Bμi giảng Vật lý đại c−ơng
Tác giả: PGS. TS Đỗ Ngọc Uấn
Viện Vật lý kỹ thuật
Tr−ờng ĐH Bách khoa Hμ nội
1. Khối tâm: G
M2M1
m1g
m2g
G
(m1+m2)g
GMgmGMgm 2211 −=
0GMmGMm 2211 =+
Khối tâm của hệ chất điểm M1, M2, 
...,Mn lần l−ợt có khối l−ợng m1, m2, 
..., mn lμ điểm G xác định bởi đẳng 
thức: 0GMm...GMmGMm nn2211 =+++
0GMm
n
1i
ii =∑
=
1.1. Định nghĩa
Đối với một gốc O
M2Mi
1.2. Toạ độ khối tâm
G
O
ir
r
GR
r
GMrR iiG += r
r
GMmrmRm iiiiGi += r
r
∑∑∑
===
+=
n
1i
ii
n
1i
ii
n
1i
Gi GMmrmRm
rr
∑∑
==
=
n
1i
ii
n
1i
Gi rmRm
rr ∑
∑
=
==⇒ n
1i
i
n
1i
ii
G
m
rm
R
r
r
Mi(xi,yi,zi)
RG(XG,YG,ZG) ∑
∑
=
==⇒ n
1i
i
n
1i
ii
G
m
xm
X
1.3. Vận tốc khối tâm
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= == n
1i
i
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
i
i
G
m
vm
m
dt
rdm
dt
Rd
rrr
∑
∑
=
==⇒ n
1i
i
n
1i
ii
G
m
vm
V
r
r
G
n
1i
i V).m(K
rr ∑
=
=⇒∑
=
=
n
1i
iivmK
rrTổng động
l−ợng của cả hệ
Tổng động l−ợng của cả hệ = động l−ợng của
một chất điểm đặt tại khối tâm, có khối l−ợng
bằng tổng khối l−ợng cả hệ, có vận tốc bằng vận
tốc của khối tâm của hệ
1.4.Ph−ơng trình chuyển động của khối tâm
Hệ chất điểm M1, M2, ...,Mn
có khối l−ợng m1, m2, ..., mn
n21 a,...,a,a
rrr
Có gia tốc
n21 F,...,F,F
rrr
Chịu tác dụng l−c
iii Fam
rr =
∑
∑
=
== n
1i
i
n
1i
ii
G
m
vm
V
r
r
∑
∑
=
== n
1i
i
n
1i
i
i
G
m
dt
vdm
dt
Vd
r
r
FFam
n
1i
i
n
1i
ii
rrr == ∑∑
==
Đối với chất điểm thứ i: Lấy tổng cho cả hệ:
Khối tâm của hệ chuyển động nh− chất điểm có
khối l−ợng bằng khối l−ợng của hệ vμ chịu tác
dụng của một lực bằng tổng hợp ngoại lực tác
dụng lên hệ.
∑∑
∑
==
= == n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii
G
m
F
m
am
A
rrr
FA).m( G
n
1i
i
rr =∑
=
2. Chuyển động của vật rắn
Vật rắn lμ hệ chất điểm mμ vị trí t−ơng đối giữa
các chất điểm đó không thay đổi
2.1. Chuyển động tịnh tiến: Tại mỗi thời điểm tất
cả các chất điểm của vật rắn có cùng véc tơ vận
tốc vμ véc tơ gia tốc.
Hệ chất điểm M1, M2, ...,Mn
có khối l−ợng m1, m2, ..., mn
aa...aa n21
rrrr ====Có gia tốc n21
F,...,F,F
rrr
Chịu tác dụng lực
1Fa
rr =1m 
2Fa
rr =2m 
nFa
rr =nm 
................
Fa).m(
n
1i
i
rr =∑
=
Chỉ cần khảo sát chuyển động
của khối tâm của vật rắn
2.2. Chuyển động quay
βr ωr rr
ta
r
vr 
Δ
Mọi điểm có quĩ đạo tròn cùng
trục Δ
Trong cùng khoảng thời gian mọi
điểm cùng quay đi góc θ
Mọi điểm có cùng vận tốc góc
ω=dθ/dt vμ gia tốc góc β=dω/dt= 
d2θ/dt2
Động học vật rắn quay quanh 1 trục:
rv rrr ìω= 
ra t
rrr ìβ= Tại mọi thời điểm vμcủa một điểm đ−ợc xác địnht
ar vr 
3. Ph−ơng trình cơ bản của chuyển động quay 
của vật rắn quanh một trục cố định: Δ
3.1.Tác dụng của lực
tn FF
rrrr ++= zFF 
zF
r
tF
r
nF
r
F
r
zF vμ 
rr
nF đồng phẳng với trục
quay không gây quay vì
Δ//zF 
r
nF
r
 xuyên tâm
M
r
rr
Trong chuyển động quay của vật rắn quanh
một trục chỉ có thμnh phần tiếp tuyến với
quĩ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự
tF
r
Mômen của lực tF
rrr ì= rM tt F.rsin.F =α= r.M 
βr 
tiM
r
ir
r
tia
r
tiF
r
Δ
mi
O3.2. Ph−ơng trình cơ bản của
chuyển động quay
Chất điểm thứ i titi Fa
rr = mi
tiiti Fra
rrrr ì=ìii r m
).r(r)r.r.()r(ra iiiiiiti β−β=ìβì=ì
rrrrrrrrrrr
ir 0).r(r ii =β
rrr
titii MFr.
rrrr =ì=β2ii rm ∑∑ =β tiM.)( rr2ii rm
M
rr =β I
Mômen của lực đối với trục quay 
chính lμ mômen của lực đối với O -
giao điểm của trục với mặt phẳng của
quỹ đạo điểm đặt lực
tF
r
M
rr =β I I)( =∑ 2ii rm Mômen quán tính củavật đối với trục quay
MMti
rr =∑ Tổng hợp mômen của các lực gây quay
I
M
rr =β
Gia tốc góc ~M vμ ~ nghịch với I
I m vμMF
3.3. Tính mômen quán tính của vật đối với trục
quay:
0Δ Thanh đều: Khối l−ợng M, dμi L
2
L
2
 -
L
dx
x
dxM.
L
x dI 2=
12
MLdx.MdxM.
22
L
2
L
2
L
2
L
=== ∫∫
−−
22
0 xLL
x I
2
MR2
0 =I
R
2
0 MR=I 2
0 MR5
2=I
)ba(
12
M 22
0 +=I
a
b
0Δ Δ 20 MdII += 
2Md
12
2MLdx.MdxM.
2
L
2
L
2
L
2
L
+=
−
+=
−
+=Δ ∫∫ 2x)(dLL2x)(d I
d
Mômen QT của vật rắn 
đối với trục bất kỳ =...
Định lý Stene-
Huyghen:
0Δ 0Δ 
0Δ 
4. Mômen động l−ợng của hệ chất điểm
4.1. Mômen động l−ợng của hệ chất
điểm đối với gốc O
Hệ chất điểm M1, M2, ...,Mn
có khối l−ợng m1, m2, ..., mn
n21 v,...,v,v
rrr
Có vận tốc
n21 r,...,r,r
rrr
Vị trí đối với gốc O
Mômen động l−ợng của hệ đối với O
iiii vmrLL
rrrr ∑ ∑ ì==
Mômen động l−ợng của hệ
chất điểm quay quanh trục Δ ∑∑ ω== i iii ILL
rrr
ω=ω==ω=ω rrrr n21 ....
Mômen động l−ợng của hệ
lμ vật rắn quay quanh trục Δ ∑∑ ω== i iii ILL
rrr
ω=ω= ∑ rrr I).I(L
i
i ∑ ∑==
i i
2
iii rmII
4.2. Định lý về mômen động l−ợng của hệ chất
điểm
⇒μ= )F(
dt
Ld
i0/
i
rr
r
Một chất điểm ∑∑ μ=
i
i0/
i
i )F(
dt
Ld rr
r
dt
LdL
dt
d
dt
Ld
i
i
i
i
rrr ∑∑ ==
M)F(
i
i0/
rrr =μ∑
M
dt
Ld r
r
=
Đạo hμm theo thời gian mômen động
l−ợng của hệ = tổng hợp các mômen
ngoại lực tdụng lên hệ đối với gốc O
Tr−ờng hợp hệ lμ vật
rắn quay quanh trục Δ ω=ω= ∑ rrr I).I(L
i
i
⇒=ω= M
dt
)I(d
dt
Ld rr
r
∫=−=Δ 2
1
t
t
12 dtMLLL
rrrr
tMLconstM Δ=Δ⇒= rrr
M
dt
)I(d rr =ω
I=const 
MI
rr =β⇒
Độ biến thiên của mômen động l−ợng trong
khoảng thời gian Δt bằng xung l−ợng của
mômen lực trong khoảng thời gian đó
5. Định luật bảo toμn mômen động l−ợng
5.1. Thiết lập: Hệ chất điểm chịu tác dụng
ngoại lực với mômen đối với gốc O bằng 0
0M
dt
Ld == r
r
constL =⇒ r Hệ cô lập, M/O=0-> L=const
5.2. Hệ quay quanh một trục cố định
0M)I....II(
dt
d
nn2211 ==ω++ω+ω
rrrr
constI....II nn2211 =ω++ω+ω rrr
5.3. ứng dụng: Hệ quay quanh
một trục cố định với vận tốc
góc không đổi
const.I =ω
Ghế Giukốpxki quay quanh một trục cố định
0constII 2211 ==ω+ω rr
2
11
2 I
'I' ω−=ω
rr
11I ωr của bánh xe
22I ωr của ng−ời & ghế
2'ωr
1'ωr
6. Con quay trục quay tự do A
A’
B B’
C
C’
Con quay Các đăng
L
r
L
r
L
rΔ'L
r
M
r
Con quay đang quay
quay ngang
7.1. Công vμ công suất của lực tác dụng trong
chuyển động quay của vật rắn
ds.FdA t= dα
ds
tF
rMr
Δ
ds = r. dα
α=α= d.Md.F.rdA t
ω=α== M
dt
d.M
dt
dAP ω= rr .MP
7. Công vμ động năng của vật rắn
7.2. Động năng trong tr−ờng hợp vật rắn quay
Δω= rr .MP
dα
ds
tF
rMr
ωrdtMdt.PdA ω== r
r
ωω=βω= dIdtIdA
2
I
2
IA
2
1
2
2
2,1
ω−ω= 2
I 2ω
Wđ=
Động năng vật rắn lăn không tr−ợt = Động
năng chuyển động tịnh tiến + Động năng
chuyển động quay:
2
I
2
mv 22 ω+=Wđ