Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận – Định thức

( 45 tiết ) 
Chương 1 : Ma trận – Định thức 
Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính 
Chương 3 : Không gian véctơ 
Chương 4 :Chéo hóa ma trận – Dạng toàn phương 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Toán học cao cấp, tập 1, Đại số và hình học giải tích, 
Nguyễn Đình Trí (chủ biên), NXB Giáo dục, 2009 
[2] Toán cao cấp, Đại số tuyến tính, Đỗ Công Khanh (chủ 
biên), NXB ĐHQG TP.HCM, 2010 
[3] Giáo trình Toán cao cấp A3, TS. Đỗ Văn Nhơn, NXB 
ĐHQG TP.HCM, 2009 
[4] Jean-Marie Monier, Giáo trình Toán, Đại số 1-2, NXB 
Giáo dục 2001 
Chương 1. Ma trận – Định thức 
§1. MA TRẬN 
1.1. Các định nghĩa 
Định nghĩa 1. Cho tập M , m, n . Ta gọi một ma trận cỡ 
m×n trên M là một bảng hình chữ nhật gồm m.n phần tử của M được 
xếp thành m hàng và n cột 
 hoặc 
≠ ∅ *∈ℕ
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮

 aij , (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) được gọi là phần tử ở hàng thứ i và cột 
thứ j của ma trận A ( hay phần tử ở vị trí (i, j) của ma trận A ). Ta gọi 
i là chỉ số hàng và j là chỉ số cột. 

 Để đơn giản, ma trận A còn được viết dưới dạng A = [aij]m×n hoặc 
A = (aij)m×n 

 Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và 
aij = bij , i, j. Khi đó ta ký hiệu A = B. 
∀

 Ma trận cỡ 1×n được gọi là ma trận hàng ( a11 a12 ... a1n ) 

 Ma trận cỡ m×1 được gọi là ma trận cột 
11
21
m1
a
a
a
 
 
 
 
 
 
⋮
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮
Đường chéo chứa các phần tử 
a11, a22, ... , ann được gọi là đường 
chéo chính của A, đường chéo 
còn lại được gọi là đường chéo 
phụ.

 Khi m = n thì A là ma trận vuông cỡ n×n, ta gọi nó là ma trận 
vuông cấp n. Ký hiệu là A = [aij]n 
Chú ý. Từ nay về sau ta chỉ xét các ma trận thực, tức là các ma 
 trận có mọi phần tử ija .∈ℝ

 Ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không. 
Ký hiệu là O. 
Định nghĩa 2. Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij)n . Khi đó 

 A được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằm ngoài đường 
chéo chính đều bằng 0, nghĩa là aij = 0, i j∀ ≠
11
22
nn
a 0 0
0 a 0
A
0 0 a
 
 
 
=
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮

 Ma trận chéo cấp n mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính 
đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n. Ký hiệu là In ( hoặc I ) 

 A được gọi là ma trận tam giác trên ( dưới ) nếu tất cả các phần 
tử nằm phía dưới ( trên ) đường chéo chính đều bằng 0, nghĩa là 
aij = 0, i > j, ( i < j) 
n
1 0 0
0 1 0
I
0 0 1
 
 
 =
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮
11 12 1n
22 2n
nn
a a a
0 a a
A
0 0 a
 
 
 
=
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮
11
21 22
n1 n2 nn
a 0 0
a a 0
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
⋮ ⋮  ⋮
∀∀
1.2. Các phép toán ma trận 
1.2.1. Phép cộng ma trận 
1. Định nghĩa. Cho A = [aij]m×n, B = [bij]m×n. Tổng A + B là ma trận 
C = [cij]m×n, trong đó cij = aij + bij, 
VD. 
2. Tính chất. 
i 1,m; j 1,n∀ = =
1 1 2 1 1 4 2 0 6
2 0 1 3 2 1 5 2 0
−     
+ =     
−     

 A + B = B + A 

 A + O = O + A = A 

 (A + B) + C = A + (B + C) 

 Ký hiệu: – A = [– aij]m×n là ma trận đối của ma trận A. 
 Khi đó A + (– A) = (– A) + A = O
Hiệu của hai ma trận: A – B = A + (– B) 
1.2.2. Phép nhân một số với một ma trận 
1. Định nghĩa. Cho A = [aij]m×n và . Tích λA là ma trận 
B = [bij]m×n, trong đó λaij = bij, 
VD. 
2. Tính chất. 
1 4 0 5 20 0
5 
3 2 1 15 10 5
− −   
=   
− −   
λ∈ℝ
i 1,m; j 1,n∀ = =

 λ(A + B) = λA + λB 

 (λ + β)A = λA + βA 

 λ(βA) = (λβ)A 

 1.A = A ; 0.A = O 
1.2.3. Phép nhân hai ma trận 
1. Định nghĩa. Cho A = [aij]m×n và B = [bij]n×p. Điều kiện để thực 
hiện được phép nhân AB là số cột của A phải bằng số hàng của B. 
Khi đó tích AB là ma trận C = [cij]m×p, trong đó 
 Nghĩa là để có phần tử đứng ở hàng i cột j trong ma trận tích, ta 
lấy lần lượt từng phần tử đứng ở hàng i trong ma trận A nhân với 
từng phần tử tương ứng đứng ở cột j trong ma trận B rồi cộng lại. 
n
ij ik kj i1 1 j i 2 2 j in nj
k 1
c a b a b a b ... a b ; i 1,m; j 1, p
=
= = + + + = =∑
4 0 1
1 2 5 9 12 11
A ; B 0 1 1 AB . Không có tích BA
0 1 1 1 1 1
1 2 2
 
−    
= = − ⇒ =    
− −    
− 
▪ Tích của hai ma trận nói chung không giao hoán: AB ≠ BA. Chẳng hạn 
1 0 1 2 1 2 3 6
A ; B AB ; BA AB BA
2 3 3 0 11 4 3 0
− − −       
= = ⇒ = = ⇒ ≠       
−       
VD. 
2. Tính chất. Với giả thiết các phép toán thực hiện được, ta có 

 A(B + C) = AB + AC 

 (A + B)C = AC + BC 

 A(BC) = (AB)C 

 λ(AB) = (λA)B = A(λB); 

 A.I = A ; I.B = B ( I là ma trận đơn vị ) 

 A.O = O; O.B = O 
3. Lũy thừa ma trận. Cho A là ma trận vuông cấp m và 
Lũy thừa n của A là ma trận vuông cấp m, ký hiệu An, được 
định nghĩa như sau: Ao = I; A1 = A; A2 = A.A;...; An = An-1.A 
VD. 
λ∈ℝ
∈ℕn .
3
2
3 2
1 1
Cho A . T ính A
0 1
1 2
Ta có: A A.A
0 1
1 3
 A A .A
0 1
 
=  
 
 
= =  
 
 
= =  
 
 Tính chất. 
( )
n
n
n n n
n
1 1
n
2 n 2
n
n n
 O O ; n 1
 I I; n
 AB A B AB BA
d 0 0 d 0 0
0 d 0 0 d 0
 A A
0 0 d 0 0 d
= ∀ ≥
= ∀ ∈
= ⇔ =
  
  
  
= ⇒ =
  
    
   
i
i ℕ
i
i
⋮ ⋮  ⋮ ⋮ ⋮  ⋮
• An = O → A = O 
• AB = O ↔ A = O hoặc B = O 
1.3. Phép chuyển vị 
1. Định nghĩa. (Ma trận chuyển vị) 
Cho ma trận 11 12 1n
21 22 2n
ij m n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A a
a a a
×
 
 
  = =   
 
 
⋮ ⋮  ⋮
Đổi hàng thành cột, cột thành hàng ta được ma trận mới gọi là ma trận 
chuyển vị của A, ký hiệu là: AT ( hoặc AC ) 
 Vậy: 11 21 m1
12 22 m2T
ji n m
1n 2n mn
a a a
a a a
A a
a a a
×
 
 
  = =   
 
 
⋮ ⋮  ⋮
VD. 
Tính chất. 
T
T
4 1
4 3 2
A 3 0 thì A
1 0 7
2 7
1 0 1 1 2 0
A 2 1 4 thì A 0 1 1 
0 1 3 1 4 3
− 
−  
= =   
  
 
−   
   
= − = −   
   
−   

 Đường chéo chính không đổi qua phép chuyển vị nếu A là ma trận vuông 
( )
( )
T
n n
TT
T T T
 I I
 A A
 A B A B
=
=
+ = +
i
i
i
( )
( )
T T T
T T
 AB B A
 A A
=
λ = λ
i
i
2. Định nghĩa. Ma trận vuông cấp n: A = (aij)n được gọi là ma trận đối 
xứng nếu AT = A, tức aij = aji; i, j 1, n∀ =
VD. 1 2 1
A 2 0 3
1 3 2
− 
 
=  
 
− 
là ma trận đối xứng 
( Các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính bằng nhau ) 
§2. ĐỊNH THỨC 
2.1. Định nghĩa. Cho ma trận vuông cấp n: A= (aij)n. Định thức của 
ma trận A được ký hiệu là |A| hoặc detA, được định nghĩa như sau: 

 A là ma trận cấp 1: A = (a11) thì ta có định thức cấp 1 của ma trận A là
|A| = |a11| = a11 

 A là ma trận cấp 2: thì ta có định thức cấp 2 của ma 
 trận A là
11 12
21 22
a a
A
a a
 
=  
 
11 12
11 22 12 21
21 22
a a
A a a a a
a a
= = −

 A là ma trận cấp 3: thì ta có định thức cấp 3 của 
ma trận A là 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
= 
 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11
a a a
A a a a
a a a
 a a a a a a a a a a a a a a a a a a
= =
= + + − − −
Quy tắc Sarius. Ta tính định thức cấp 3 theo hai sơ đồ sau 
 và 
i i i i i i
i i i i i i
i i i i i i(-) (+) 

 Tương tự, nếu A là ma trận cấp n thì ta có định thức cấp n của ma 
trận A. 
Ví dụ. 1 1 01 2
1.4 2.3 2; 2 3 1 1
3 4
2 0 1
−
= − = − − = −
2.2. Các định thức đặc biệt 

 |In| = 1 

 Định thức đường chéo 

 Định thức tam giác 
11
22
11 22 nn
nn
a 0 0
0 a 0
a a ...a
0 0 a
=
⋮ ⋮  ⋮
1 1 1 2 1 n
2 2 2 n
n n
1 1 2 2 n n
a a a
0 a a
0 0 a
a a . . .a=
⋮ ⋮  ⋮
11
21 22
n1 n 2 nn
11 22 nn
a 0 0
a a 0
a a a
a a ...a=
⋮ ⋮  ⋮
Tam giác trên Tam giác dưới 
2.3. Các tính chất của định thức 
Tính chất 1. Định thức không đổi qua phép chuyển vị: |AT| = |A| 
VD. 
Tính chất 2. Nếu đổi chỗ 2 hàng thì định thức đổi dấu. 
VD. 
Tính chất 3. Một định thức có 2 hàng giống nhau thì định thức bằng 0. 
VD. 
1 1 0 1 2 2
 2 3 1 1 3 0 1
2 0 1 0 1 1
− −
− = − = −
1 1 0 2 3 1
 2 3 1 1 1 0
2 0 1 2 0 1
− −
− = − −
2 3
2 3
3 5
1 x x
 1 x x 0
y y y
=
Tính chất 4. Một định thức có một hàng bằng 0 (tức mọi phần tử của 
hàng đó bằng 0) thì định thức bằng 0. 
VD. 
Tính chất 5. Nếu nhân một hàng với một số k (tức nhân tất cả các 
phần tử của hàng đó với k) thì được một định thức mới bằng định 
thức cũ nhân với k. 
VD. 
1 1 0 1 1 0
 2 3 1 3 2 3 1
3.2 0 3.1 2 0 1
− −
− = −
2 3
3 5
1 x x
 0 0 0 0
y y y
=
Tính chất 7. Nếu một hàng nào đó của định thức có các phần tử là tổng 
của hai số thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức. 
VD. Tính định thức 
Tính chất 6. Một định thức có 2 hàng tỉ lệ thì định thức bằng 0. 
VD. 1 1 0
 2 3 1 0
6 9 3
−
− =
− −
3 2 4 1 2 4 2 0 0
1 2 4 1 2 4 1 2 4
3 4 7 3 4 7 3 4 7
2 0 0
0 1 2 4 6 0
3 4 7
= + =
− − −
= + =
−
Tính chất 8. Nếu cộng vào một hàng một bội của hàng khác thì định 
thức không đổi. 
VD. 
1 1 0 1 1 0 1 1 0
 2 3 1 2 2.1 3 2.( 1) 1 2.0 0 1 1 1
2 0 1 2 0 1 2 0 1
− − −
− = − + + − + = =−
Chú ý. 

 Từ tính chất 1 ta thấy rằng các tính chất của định thức đúng đối với 
hàng thì cũng đúng đối với cột và ngược lại. Do đó khi tính định thức, 
đồng thời biến đổi trên hàng có thể chuyển sang biến đổi trên cột và 
ngược lại. 

 Để tính định thức ta có thể áp dụng 8 tính chất trên để đưa định thức 
về các dạng định thức đơn giản hoặc đặc biệt. 
VD. Tính định thức: 
1 3 4 6
4 6 0 14
1) 
0 1 4 1
1 3 1 0− − −
2 1 3 4 5
2 2 3 4 5
2 ) 3 3 3 4 5
4 4 4 4 5
5 5 5 5 5
4 1 1 1
1 4 1 1
3 ) 
1 1 4 1
1 1 1 4
2.4. Công thức khai triển định thức 
Định nghĩa. Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij)n. Ta ký hiệu Mij là ma 
trận vuông cấp n – 1 thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i, cột thứ j 
và gọi nó là ma trận con của A ứng với phần tử aij. 
Định lý. Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij)n, ta có các khai triển của 
|A| như sau: 
1) Khai triển theo hàng i: 
2) Khai triển theo cột j: 
n
ij ij i1 i1 i 2 i 2 in in
j 1
A a A a A a A ... a A
=
= = + + +∑
n
ij ij 1 j 1 j 2 j 2 j nj nj
i 1
A a A a A a A ... a A
=
= = + + +∑
i j
ij ijA ( 1) M+= −(Trong đó: là phần bù đại số của phần tử aij) 
VD. Tính định thức: 
1 2 3 1 1 1 1 2
0 4 0 2 2 1 1 3
a) ; b) 
3 1 1 1 1 2 1 2
4 1 5 2 3 3 2 1
−
− − −
−
Nhận xét. Nên khai triển định thức theo dòng hoặc cột chứa nhiều số 
0 để việc tính toán đơn giản hơn. 
2.5. Định thức của tích các ma trận 
Định lý. Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có: 
 |AB| = |A||B| 
§3. HẠNG CỦA MA TRẬN 
3.1. Định thức con cấp k 
Định nghĩa. Cho ma trận A = (aij)m×n và số nguyên dương k ≤ min{m,n}. 
Ma trận vuông cấp k được lập từ các phần tử nằm trên giao của k hàng 
và k cột được gọi là ma trận con cấp k của A. Định thức của ma trận con 
đó được gọi là định thức con cấp k của A. 
VD. Cho là định thức con cấp 2 của ma trận 
 con cấp hai: của A 
1 2 5 0
4 3
A= 4 1 3 2 
2 6
2 3 6 1
 
 ⇒ 
 
 
4 3
2 6
 
 
 
Định lý. Nếu ma trận A có tất cả các định thức con cấp k đều bằng 0 thì 
các định thức con cấp cao hơn k cũng bằng 0. 
3.2. Hạng của ma trận 
Định nghĩa. Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận 
A ≠ O được gọi là hạng của ma trận A. Ký hiệu là r(A) 
Nhận xét. 
ij m n
T T
 A O r(A) 0
 NÕu A (a ) O th× 1 r(A) min{m,n}
 V× A A nªn r(A ) r(A)
 §èi víi ma trËn vu«ng A cÊp n ta cã r(A) n A 0
×
= ⇔ =
= ≠ ≤ ≤
= =
= ⇔ ≠
i
i
i
i
VD. 
( )= = ⇒ =
   − −       = − ⇒ = = ⇒ =        − − −   
i i
i i
n r(I ) n A 1 2 3 r(A) 1 
1 2 0 1 3 4 2
 B 2 4 0 r(B) 1 C 2 1 1 4 r(C) 2 
0 0 0 1 2 1 2
3.3. Các phép biến đổi sơ cấp 
Cho ma trận A. Ta có 3 PBĐSC trên hàng của ma trận A là: 
1) Đổi chỗ 2 hàng. 
2) Nhân một hàng với một số khác 0. 
3) Cộng vào một hàng một bội của hàng khác. 
Tương tự ta cũng có các PBĐSC trên cột của ma trận A. 
Định lý. Các PBĐSC không làm thay đổi hạng của ma trận. 
3.4. Ma trận bậc thang 
Ma trận bậc thang là những ma trận có 2 tính chất sau: 
1) Các hàng bằng 0 (nếu có) luôn ở dưới các hàng khác 0. 
2) Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng bất kỳ luôn nằm bên phải cột 
chứa phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên nó. 
VD. 
              = = =               
    =    
i
i
i
n O, I : ma trËn bËc thang
1 2 2 1 2 0
0 1 4
 A 0 4 1 ; B 0 0 1 ; C : ma trËn bËc thang
0 0 2
0 0 5 0 0 0
1 0 3 1
 D 0 0 2 4 : kh«ng lµ ma trËn bËc thang
0 0 3 5
Định lý. Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang bằng các 
PBĐSC trên hàng và cột. 
Nhận xét. Hạng của một ma trận bậc thang bằng số hàng khác 0 của nó. 
3.5. Cách tìm hạng của ma trận bằng PBĐSC 
Bước 1: Đưa ma trận cần tìm về dạng bậc thang bằng PBĐSC trên 
hàng và cột. 
Bước 2: Số hàng khác 0 của ma trận bậc thang chính là hạng của ma 
trận đã cho. 
Chú ý. Ở bước 1 có thể “nhảy” từ hàng sang cột và ngược lại. 
VD 1. Tìm hạng của ma trận 
VD 2. Tìm hạng của ma trận sau theo tham số m 
1 1 1 1
A 1 3 2 4
1 1 4 2
 
 
= − 
 
− − 
1 1 3
A 2 1 m
1 m 3
− 
 
=  
 
 
§4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 
4.1. Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại một ma 
trận B vuông cấp n sao cho AB = BA = In thì B được gọi là ma trận 
nghịch đảo của A và nói A khả nghịch (hoặc khả đảo). 
▪ Ta ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là A-1. Như vậy AA-1 = A-1A = I, 
do đó (A-1)-1 = A và nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì A cũng là 
ma trận nghịch đảo của B. 
VD. Ma trận có ma trận nghịch đảo là 
 vì 
 4.2. Định lý. (Tính duy nhất của ma trận nghịch đảo) 
 Ma trận nghịch đảo nếu tồn tại là duy nhất 
4.3. Định nghĩa. Ma trận A được gọi là không suy biến nếu |A| ≠ 0 
1 2
A
3 4
 
=  
 
1
2 1
A 3 1
2 2
−
− 
 
=
−  
 
2 1 2 11 2 1 2 1 0
3 1 3 13 4 3 4 0 1
2 2 2 2
− −   
        
= =
− −                
   
4.4. Định lý. (Điều kiện cần và đủ để tồn tại ma trận nghịch đảo) 
Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij)n. Ta nói A có nghịch đảo khi và 
chỉ khi nó không suy biến, tức là |A| ≠ 0. Khi đó 
−
+
      =       
= −
⋮ ⋮  ⋮
11 21 n1
12 22 n21
1n 2n nn
i j
ij ij ij
A A A
A A A1
 A ;
A
A A A
trong ®ã: A ( 1) M lµ phÇn bï ®¹i sè cña phÇn tö a
 VD. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận 
1 2 3
A 2 5 3
1 0 8
 
 
=  
 
 
Nhận xét. 
1a b d b1A A
c d c aA
−
−   
= ⇒ =   
−   
VD. 
11 4 5 41A A
3 5 3 17
−
− −   
= ⇒ =   
− −   
4.5. Định lý. Giả sử A và B là hai ma trận khả nghịch. Khi đó AB 
cũng là ma trận khả nghịch và (AB)-1 = B-1A-1. 
4.6. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 
1) PP1. Dùng định nghĩa ma trận nghịch đảo 
Giả sử ma trận A có ma trận nghịch đảo là B. Khi đó theo định 
nghĩa ta có 
2) PP2. Dùng Định lý 4.4 
Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij)n. Tính |A| 

 Nếu |A| = 0 thì kết luận không tồn tại A-1. 

 Nếu |A| ≠ 0 thì tồn tại A-1 được tính bởi công thức như trong 
Định lý 4.4 
n
n
AB I
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh t×m B.
BA I
 = ⇒
 =
3) PP3. (PP Gauss – Jordan ) Dùng PBĐSC trên hàng 
Cho ma trận A vuông cấp n. Ta tìm A-1 như sau: 
Bước 1. Lập ma trận [A|In] (ma trận chia khối) bằng cách ghép ma 
trận đơn vị cùng cấp In vào bên phải của A. 
Bước 2. Dùng PBĐSC trên hàng để đưa [A|In] về dạng [In|B]. Khi 
đó A-1 = B. 
VD. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau bằng phương pháp 
Gauss - Jordan : 
1 2 3
A 2 5 3
1 0 8
 
 
=  
 
 