Toán học - Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm

Chương 4 
NỘI SUY VÀ 
XẤP XỈ HÀM
I. ĐẶT BÀI TOÁN :
Để tính giá trị của một hàm liên tục bất 
kỳ, ta có thể xấp xỉ hàm bằng một đa 
thức, tính giá trị của đa thức từ đó tính 
được giá trị gần đúng của hàm
Xét hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng số
x xo x1 x2 . . . xn 
y yo y1 y2 . . . yn
▪ Các giá trị xk, k = 0, 1, .., n được sắp theo 
thứ tự tăng dần gọi là các điểm nút nội suy
▪ Các giá trị yk = f(xk) là các giá trị cho trước 
của hàm tại xk 
Bài toán : xây dựng 1 đa thức pn(x) bậc ≤n thoả 
điều kiện pn(xk) = yk, k=0,1,.. n. Đa thức này 
gọi là đa thức nội suy của hàm f(x).
II. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE: 
y = f(x) và bảng số
x xo x1 x2 . . . xn 
y yo y1 y2 . . . yn
Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f(x) 
trên [a,b]=[x0, xn]. 
Cho 
hàm 
Đặt
Ta có 
Đa thức 
có bậc ≤ n và thỏa điều kiện Ln(xk) = yk
gọi là đa thức nội suy Lagrange của hàm f
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
x 0 1 3 
y 1 -1 2 
Xây dựng đa thức nội suy Lagrange và tính 
gần đúng f(2).
n = 2
Giải
Đa thức nội suy Lagrange
f(2) ≈ Ln(2) = -2/3
Để tính giá trị của Ln(x), ta lập bảng
x x0 x1 .... xn
x0
x1
xn
x- x0 x0- x1 .... x0- xn
x1- x0 x- x1 .... x1- xn
 .... .... .... ....
xn- x0 xn- x1 .... x- xn 
D0
D1
Dn
ω(x)
tích 
dòng
tích đường chéo
❖ Cách biểu diễn khác : 
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
x -9 -7 -4 
y -1 -4 -9 
Tính gần đúng f(-6)
Ta lập bảng tại x = -6
x = -6 -9 -7 -4 
-9
-7
-4
 3 -2 -5 
 2 1 -3
 5 3 -2
 30
 -6
 -30
 -6
Vậy f(-6) ≈ L2(-6) = -6(-1/30+4/6+9/30) = -5.6
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
x 0 1 3 4
y 1 1 2 -1
Tính gần đúng f(2)
Ta lập bảng tại x = 2
x = 2 0 1 3 4
0
1
3
4
 2 -1 -3 -4
 1 1 -2 -3
 3 2 -1 -1
 4 3 1 -2
-24
 6
 6
-24
 4 
Vậy f(2) ≈ Ln(2) = 4(-1/24 + 1/6 + 1/3 +1/24) = 2
● TH đặc biệt : các điểm nút cách đều 
với bước h = xk+1 – xk
Đặt
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
x 1.1 1.2 1.3 1.4
y 15 18 19 24
Tính gần đúng f(1.25)
Ta có n = 3 x = 1.25
h = 0.1 q = (1.25-1.1)/0.1 = 1.5 
giải
Vậy f(1.25) ≈ 18.375
❖ Công thức đánh giá sai số : 
Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp 
n+1 liên tục trên [a,b].
Đặt
Ta có công thức sai số
Ví dụ : Cho hàm f(x)=2x trên đoạn [0,1]. Đánh giá 
sai số khi tính gần đúng giá trị hàm tại điểm x=0.45 
sử dụng đa thức nội suy Lagrange khi chọn các điểm 
nút xo=0, x1=0.25, x2=0.5, x3=0.75, x4=1
Giải 
Ta có n = 4, f(5)(x) = (ln2)52x
⇒ M5 = max |f
(5)(x)| = 2(ln2)5
công thức sai số
III. ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON: 
1. Tỉ sai phân : 
Cho hàm y = f(x) xác định trên [a,b]=[xo, xn] và 
bảng số
x xo x1 x2 . . . xn 
y yo y1 y2 . . . yn
Đại lượng
gọi là tỉ sai phân cấp 1 của hàm f trên [xk,xk+1]
Tỉ sai phân cấp 2
Bằng qui nạp ta định nghĩa tỉ sai phân cấp p
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
x 1.0 1.3 1.6 2.0
y 0.76 0.62 0.46 0.28
Tính các tỉ sai phân 
k xk f(xk) f[xk,xk+1] f[xk,xk+1,xk+2] f[xk,xk+1,xk+2,xk+3]
0
1
2
3
1.0
1.3
1.6
2.0
0.76
0.62
0.46
0.28
-0.4667
-0.5333
-0.45
-0.111
0.119
0.23
Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân 
2. Đa thức nội suy Newton : 
❖ Công thức Newton tiến
❖ Công thức Newton lùi
Để đánh giá sai số của đa thức nội suy Newton, ta dùng 
công thức sai số của đa thức nội suy Lagrange
Ví dụ : Cho hàm f xác định trên [0,1] và bảng số
x 0 0.3 0.7 1 
y 2 2.2599 2.5238 2.7183
Tính gần đúng f(0.12) bằng Newton tiến và
 f(0.9) bằng Newton lùi
xk f(xk) f[xk,xk+1] f[xk,xk+1,xk+2] f[xk,xk+1,xk+2,xk+3]
0
0.3
0.7
1
2
2.2599
2.5238
2.7183
0.8663
0.6598
0.6483
-0.2950
-0.0164
0.2786
Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân 
Newton lùi
Newton tiến
Ta có 
3. TH các điểm nút cách đều : 
Sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm tại điểm xk 
Δyk = yk+1 - yk
Bằng qui nạp, Sai phân hữu hạn cấp p của hàm tại 
điểm xk 
Δpyk = Δ(Δ
p-1yk) = Δ
p-1yk+1 - Δ
p-1yk
Ta có công thức 
Công thức Newton tiến
Công thức Newton lùi
Ví dụ : Cho hàm f và bảng số
x 30 35 40 45 
y 0.5 0.5736 0.6428 0.7071
Tính gần đúng f(32) bằng Newton tiến và f(44) bằng 
Newton lùi
xk f(xk) Δyk Δ
2yk Δ
3yk
30
35
40
45
0.5
0.5736
0.6428
0.7071
0.0736
0.0692
0.0643
-0.0044
-0.0049
-0.0005
Giải : ta lập bảng các sai phân hữu hạn 
Newton lùi
Newton tiến
▪ Tính gần đúng f(32) : dùng công thức Newton tiến
n = 3, xo = 30, q=(32-30)/5 = 0.4
▪ Tính gần đúng f(44) : dùng công thức Newton lùi
n = 3, xn = 45, p=(44-45)/5 = -0.2
IV. SPLINE bậc 3 : 
Với n lớn, đa thức nội suy bậc rất lớn, khó xây 
dựng và khó ứng dụng. 
Một cách khắc phục là thay đa thức nội suy bậc n 
bằng các đa thức bậc thấp (≤ 3) trên từng đoạn 
[xk,xk+1], k=0,1,,n-1
1. Định nghĩa : 
Cho hàm y=f(x) xác định trên đoạn [a,b] và 
bảng số
x a=xo x1 x2 . . . xn=b 
y yo y1 y2 . . . yn
Một Spline bậc 3 nội suy hàm f(x) là hàm g(x) thỏa 
các điều kiện sau : 
(i) g(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên [a,b]
(ii) g(x)=gk(x) là 1 đa thức bậc 3 trên [xk,xk+1], 
k=0,1,..,n-1
(iii) g(xk) = yk, k=0,1, , n
2. Cách xây dựng Spline bậc 3 : 
Đặt hk = xk+1 – xk
gk(x) là đa thức bậc 3 nên có thể viết dưới dạng : 
 gk(x) = ak+bk(x-xk)+ck(x-xk)
2+dk(x-xk)
3
Các hệ số ak, bk, dk được xác định theo các 
công thức : 
Hệ số ck được tính theo công thức 
Phương trình (4) là hệ pt tuyến tính gồm n-1 pt 
dùng để xác định các hệ số ck. 
Phương trình (4) có số ẩn = n+1 > số pt = n-1 
(thiếu 2 pt) nên chưa giải được, để giải được ta cần 
bổ sung thêm 1 số điều kiện
❖ Định nghĩa : 
▪ Spline tự nhiên là spline với điều kiện
g”(a) = g”(b) = 0
▪ Spline ràng buộc là spline với điều kiện
g’(a) = α, g’(b) = β
3. Spline tự nhiên : 
Giải thuật xác định spline tự nhiên : 
Điều kiện g”(a)=g”(b) = 0 suy ra co = cn = 0
B1. Tính hk=xk+1- xk, k = 0, n-1. 
 ak= yk, k = 0, n
B2. Giải hệ Ac = b tìm c = (co, c1, , cn)
t
B3. Tính các hệ số bk, dk.
Ví dụ : Xây dựng spline tự nhiên nội suy hàm 
theo bảng số
x 0 2 5 
y 1 1 4 
Giải
B1. ho = 2, h1 = 3. ao = 1, a1 = 1, a2 = 4
B2. Giải hệ Ac = b với c = (c0, c1, c2)
t
n = 2
⇒ co = c2 = 0, c1 = 3/10
B3. Tính các hệ số bk, dk.
Kết luận : spline tự nhiên
Ví dụ : Xây dựng spline tự nhiên nội suy hàm 
theo bảng số
x 0 1 2 3
y 1 2 4 8
B1. ho =h1= h2 = 1. ao = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8
n = 3
B2. Giải hệ Ac = b với c = (c0, c1, c2,c3)
t
Giải ta được co = c3 = 0, c1 = 2/5, c2 = 7/5
B3. Tính các hệ số bk, dk.
Kết luận : spline tự nhiên
4. Spline ràng buộc : 
Giải thuật xác định spline ràng buộc : 
B1. Tính hk=xk+1- xk, k = 0, n-1. 
 ak= yk, k = 0, n
Điều kiện g’(a) = α, g’(b) = β xác định 2 pt : 
B2. Giải hệ Ac = b tìm c = (co, c1, , cn)
t
B3. Tính các hệ số bk, dk.
như spline tự nhiên
Ví dụ : Xây dựng spline ràng buộc nội suy hàm 
theo bảng số
x 0 1 2 
y 1 2 1
với điều kiện g’(0)=g’(2) = 0
Giải
B1. ho = h1 = 1. ao = 1, a1 = 2, a2 = 1
n = 2
B2. Giải hệ Ac = b với c = (c0, c1, c2)
t
B3. Tính các hệ số bk, dk.
Kết luận : spline ràng buộc
V. BÀI TOÁN XẤP XỈ THỰC NGHIỆM : 
Trong thực tế, các giá trị yk được xác định thông 
qua thực nghiệm hay đo đạc nên thường thiếu 
chính xác. Khi đó việc xây dựng một đa thức nội 
suy đi qua tất cả các điểm Mk(xk, yk) cũng không 
còn chính xác
Bài toán xấp xỉ thực nghiệm : là tìm hàm f(x) 
xấp xỉ bảng {(xk,yk)} theo phương pháp bình 
phương cực tiểu : 
Hàm f tổng quát rất đa dạng. Để đơn giản, ta 
tìm hàm f theo dạng : 
f(x) = A1f1(x) + A2f2(x)+
Các hàm f1(x), f2(x)  có thể là hàm lượng 
giác, lũy thừa, mũ hay loga 
1. Trường hợp f(x) = Af1(x)+ Bf2(x) : 
Phương trình bình phương cực tiểu có dạng
Bài toán qui về tìm cực tiểu của hàm 2 biến 
g(A,B)
Điểm dừng
Suy ra
Ví dụ : Tìm hàm f(x) = A + Bx xấp xỉ bảng số
x 1 1 2 2 2 3 3 4 5 6
y 1 2 2 3 4 4 5 5 6 7
Theo pp BPCT
Giải hệ pt
Nghiệm A = 0.7671, B=1.0803
Vậy f(x) = 0.7671+1.0803x
Ví dụ : Tìm hàm f(x)=Acosx+Bsinx xấp xỉ bảng số
x 10 20 30 40 50 
y 1.45 1.12 0.83 1.26 1.14
Theo pp BPCT
Giải hệ pt
Nghiệm A = -0.1633, B=0.0151
Vậy f(x) = -0.1633cosx+0.0151sinx
Ví dụ : Tìm hàm f(x)=Ax2+Bsinx xấp xỉ bảng số
x 1.3 1.5 1.8 2.0 2.4 2.6 2.7 
y 2.7 1.8 3.51 3.1 3.78 3.9 4.32 
Theo pp BPCT
Giải hệ pt
Nghiệm A = 0.4867, B=1.4657
Vậy f(x) = 0.4867x2 + 1.4657sinx
2. Trường hợp 
f(x) = Af1(x)+ Bf2(x)+Cf3(x): 
Phương trình bình phương cực tiểu có dạng
Bài toán qui về tìm cực tiểu của hàm 3 biến 
g(A,B,C)
Điểm dừng
Suy ra
Ví dụ : Tìm hàm f(x) = A + Bx+Cx2 xấp xỉ bảng số
x 1 1 2 3 3 4 5 
y 4.12 4.18 6.23 8.34 8.38 12.13 18.32 
Theo pp BPCT
Ta có số điểm n= 7
Giải hệ pt
Nghiệm A = 4.3, B=-0.71, C=0.69
Vậy f(x) = 4.3-0.71x+0.69x2