Toán cao cấp A1 - Chương IV: Phép tính tích phân

Chương 4: Phép tính tích phân 
3. 
4. 
5. CHƯƠNG IV: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 
4.1 MỤC ĐÍCH 
Phép tính tích phân là phép tính cơ bản thứ hai của toán cao cấp. Đây là 
phép tính ngược của phép tính vi phân. Chính vì thế để tính tích phân nhanh 
chóng, chính xác cần thông thạo phép tính đạo hàm của hàm số. 
Trong mục thứ nhất của chương này cần nắm vững định nghĩa tích phân 
xác định. Bản chất của nó là phép tính giới hạn của một dãy số được tạo ra theo 
một nguyên tắc nhất định (lập tổng tích phân) từ hàm số f(x) xác định trên đoạn 
[a,b]. Sau khi hiểu được lớp các hàm khả tích sẽ thấy rõ khái niệm tích phân xác 
định học ở phổ thông trung học chỉ là một trường hợp riêng của khái niệm tích 
phân xác định được trình bày ở mục này. Cụ thể là công thức Newton-Leibnitz 
chỉ được áp dụng khi hàm dưới dấu tích phân liên tục trên đoạn [a,b]. Người 
học phải nắm được điều kiện cần của hàm khả tích để sau này phân biệt với tích 
phân suy rộng. Bên cạnh đó phải biết vận dụng các tính chất của tích phân xác 
định bởi vì nhờ có tính chất này và các tích phân cơ bản mà ta có thể tính được 
các tích phân phức tạp hơn. Cần hiểu được nguyên hàm của hàm số là gì và 
phân biệt tích phân xác định với tích phân bất định. 
Trong mục thứ hai cần nắm vững hai phương pháp cơ bản để tính tích phân 
xác định: Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số. Cần 
hiểu rằng phần lớn các tích phân chỉ được tính bằng một phương pháp duy nhất. 
Do đó trước hết phải phân loại sau đó mới đi vào tính toán. Nắm chắc các điều 
kiện đối với hàm số khi thực hiện phép đổi biến số. Lưu ý rằng khi thực hiện 
phép đổi biến số thì cận của tích phân cũng biến đổi theo. 
Mục thứ ba trình bày phương pháp tính tích phân bất định. Ngoài hai 
phương pháp cơ bản cần phải thuộc cách đổi biến thích hợp cho từng trường 
hợp: hàm hữu tỉ, hàm hữu tỉ lượng giác, hàm vô tỉ,.... 
Mục thứ tư gồm các ứng dụng mang tính chất hình học của tích phân xác 
định: diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, độ dài cung. Phải chú ý đến tính 
chất biên của các hình rồi mới áp dụng các công thức tính thích hợp: trong hệ 
tọa độ đề các, tọa độ cực. Sau này còn được biết nhiều ứng dụng rộng rãi của 
tích phân xác định. 
 81
Chương 4: Phép tính tích phân 
Trong mục thứ năm người học phải hiểu rõ tích phân suy rộng, ý nghĩa 
hình học của nó. Phân biệt sự khác nhau giữa tích phân suy rộng và tích phân 
xác định. Nắm vững khái niệm hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng. Khi sử 
dụng tiêu chuẩn hội tụ của lớp hàm giữ nguyên dấu cần phải dùng đến phép so 
sánh các vô cùng bé, vô cùng lớn. Cần nắm vững khái niệm hội tụ tuyệt đối, 
bán hội tụ của tích phân suy rộng, bởi vì các nội dung trên sẽ gặp ở trong 
chương tiếp theo. Cũng cần nhớ rằng rất nhiều vấn đề kỹ thuật gắn liền với việc 
tính các tích phân suy rộng. 
4.2 TÓM TẮT NỘI DUNG 
4.2.1 Khái niệm về tích phân xác định 
a. Định nghĩa tích phân xác định 
Cho [ ] baRbaf <→ ,,:
1. Ta gọi một họ hữu hạn các điểm , )( ix ni ,0= sao cho 
 bxxxxa nn =<<<<= −110 ... 
 là một phân hoạch (hay một cách chia) đoạn [ ]ba, và gọi ini xMax Δλ 10 −≤≤= , 
trong đó 1,01 −=−= + nixxx iii , Δ là bước của phân hoạch đã chọn. Tập phân 
hoạch là )( n℘
2. Ta gọi một cách chọn ứng với phân hoạch là một cách lấy n điểm iξ , 
sao cho [ ] 1,0, 1 −=∈ + nixx iii , ξ 
3. Ta gọi số thực là tổng Riơman (Riemann) của hàm 
ứng với một phân hoạch và một cách chọn.Rõ ràng với sẽ có dãy 
vô hạn tổng Riemann 
∑−
=
=
1
0
)(
n
i
ii xf Δξσ
f [ ]baRf ,∈
σ Kí hiệu là )( nσ . 
4. Nếu 0→λ mà In →σ hữu hạn ( không phụ thuộc vào cách chia đoạn 
[a,b] và cách chọn các điểm iξ ứng với cách chia đó ) thì I gọi là tích phân 
xác định của trên , Kí hiệu là , khi đó nói rằng khả tích trên 
 Như vậy 
f [ ba, ]
]
∫b
a
dxxf )( f
[ ba, ∑∫ −
=→
=
1
00
)(lim)(
n
i
ii
b
a
xfdxxf Δξλ
 82 
Chương 4: Phép tính tích phân 
b . Điều kiện tồn tại 
9 Điều kiện cần 
Định lí: Nếu khả tích trên [a,b] thì bị chặn trên [a,b] f f
9 Các tổng Đácbu (Darboux) 
Cho và phân hoạch xác định [ ] Rbaf →,: )( ix ),0( ni = 
Đặt 
[ ] [ ]
1,0
11 ,,
−===
++
nifSupMfInfm
iiii xx
i
xx
i , , . 
Ta gọi là các tổng Darboux dưới và trên, hay tổng 
tích phân dưới và tổng tích phân trên của ứng với một phân hoạch xác định. 
 , ∑∑ −
=
−
=
==
1
0
1
0
n
i
ii
n
i
ii xMSxms ΔΔ
f
Vì rằng [ ]1,)( +∈∀≤≤ iiiiii xxMfm ξξ , nên Ss ≤≤ σ . 
Một phân hoạch đã định thì là hằng số, tổng Riemann phụ thuộc vào Ss,
[ ] 1,0, 1 −=∈ + nixx iii ξ . Chứng tỏ các tổng Darboux là cận dưới đúng và cận 
trên đúng của σ 
Hệ quả 1: Nếu thêm vào điểm chia mới thì tăng và giảm. s S
Hệ quả 2: Mọi tổng Darboux dưới không vượt quá một tổng Darboux 
trên. 
9 Điều kiện cần và đủ để hàm khả tích 
Định lí: Để cho hàm khả tích trên [a,b] điều kiện cần và đủ là f
 0)(lim
0
=−→ sSλ 
c. Lớp các hàm khả tích. 
9 Định lí 1: Nếu liên tục trên [a,b] thì khả tích trên đoạn đó )(xf
9 Định lí 2: Nếu đơn điệu và bị chặn trên [a,b] thì khả tích trên đoạn 
đó. 
)(xf
9 Hệ quả: Nếu liên tục từng khúc trên [a,b] thì khả tích trên đoạn đó. 
Dưới đây ta đưa ra các định lí và sẽ không chứng minh, về một lớp hàm 
khả tích, lớp hàm này chứa tất cả các lớp hàm đã xét ở trên 
)(xf
9 Định lí 3: Nếu bị chặn trên [a,b] và chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn thì 
 khả tích trên [a,b] 
)(xf
)(xf
 83
Chương 4: Phép tính tích phân 
9 Định lí 4: Nếu khả tích trên [a,b] thì )(xf )()(.,)( constkxfkxf = cũng khả 
tích trên [a,b]. 
9 Định lí 5: Nếu khả tích trên [a,b] thì tổng, hiệu, tích của chúng cũng 
khả tích trên [a,b] 
gf ,
9 Định lí 6: Nếu khả tích trên [a,b] thì khả tích trên mọi đoạn f [ ] [ ]ba,, ⊂βα . 
Ngược lại nếu [a,b] được tách ra thành một số đoạn và trên mỗi đoạn đó 
hàm khả tích thì khả tích trên [a,b]. f
d. Các tính chất của tích phân xác định 
9 Tính chất 
Cho khả tích trên [a,b] và a<b, gf , λ là hằng số. 
1. với ∫∫∫ += b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( ),( bac∈ 
2. ∫∫ = b
a
b
a
dxxfdxxf )()( λλ
3. ( ) ∫∫∫ +=+ b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
4. Nếu trên [a,b] thì 0)( ≥xf 0)( ≥∫b
a
dxxf
5. Nếu thì [ baxxgxf ,),()( ∈∀≥ ] ∫ ∫≥b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
6. Nếu trên [a,b], liên tục tại 0≥f f [ ]bax ,0 ∈ và thì 0)( 0 >xf ∫ >b
a
dxxf 0)(
7. ∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxfdxxf )()( 
8. Nếu [ ]baxMxfm ,,)( ∈∀≤≤ thì )()()( abMdxxfabm b
a
−≤≤− ∫
9 Định lí tổng quát về giá trị trung bình 
 84 
Chương 4: Phép tính tích phân 
Định lí: Cho khả tích trên [a,b], a<b, hoặc trên [a,b] 
và . Khi đó tồn tại
gf , 0)( ≥xg 0)( ≤xg
Mxfm ≤≤ )( [ ]Mm,∈μ để cho . ∫∫ = b
a
b
a
dxxgdxxgxf )()().( μ
Nếu thêm điều kiện liên tục thì tồn tại )(xf [ ]bac ,∈ sao cho 
 ∫∫ = b
a
b
a
dxxgcfdxxgxf )()()().(
9 Bất đẳng thức Côsi-Svác( Cauchy-Schwarz) đối với tích phân 
Định lí: Nếu liên tục từng khúc trên [a,b] thì khi đó gf ,
 . ∫∫∫ ≤⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )(.)()().( 22
2
e. Công thức Niutơn-Lépnít (Newton-Leibnitz). 
9 Hàm tích phân của cận trên 
Cho khả tích trên [a,b]. Lấy cố định, )(xf 0x [ ]bax ,0 ∈ . Cho khi đó 
theo định lí 6 thì hàm khả tích trên 
[ bax ,∈ ]
)(xf [ ]xx ,0 với x tuỳ ý trong [a,b]. Hàm số 
 ∫= x
x
dttfx
0
)()(φ
gọi là hàm tích phân của cận trên hay tích phân của hàm theo cận 
trên 
)(xf
Định lí 1: )(xφ là hàm liên tục trên [a,b] 
Định lí 2: Nếu liên tục trên [a,b] thì )(xf )(xφ khả vi trên [a,b] và có 
 [ ] baxxfx ,,)()(' ∈∀=φ . 
Hệ quả: Nếu )(),( xx βα khả vi trên liên tục trên )(, xfX X và 
[ ] XxXxx ∈∀⊂ )(),( βα thì khả vi trên ∫=
)(
)(
)()(
x
x
dttfxG
β
α
X và 
 ( ) ( ) )(')()(')()(' xxfxxfxG ααββ −= 
9 Nguyên hàm của hàm số và tích phân bất định 
Cho . Gọi là một nguyên hàm của trên RXFf →:, F f X nếu khả vi 
trên 
F
X và ta có . XxxfxF ∈∀= , )()('
 85
Chương 4: Phép tính tích phân 
Định lí: Nếu liên tục trên )(xf X thì sẽ có nguyên hàm trên X và nếu 
 là một nguyên hàm thì tập hợp các nguyên hàm của là 
)(xF f
{ }RCCxF ∈+ , )(
9 Công thức Newton-Leibnitz. 
Định lí: Nếu liên tục trên [a,b] có một nguyên hàm là trên 
[a,b] thì 
)(xf )(xF
)()()( aFbFdxxf
b
a
−=∫
Đại lượng được kí hiệu )()( aFbF − baxF )( gọi là biến phân từ a đến b 
của . )(xF
4.2.2 Hai phương pháp cơ bản tính tích phân xác định 
a. Phép đổi biến 
9 Định lý 1: Nếu R→],[: βαϕ thuộc lớp C1 trên ],[ βα 
 thuộc lớp CRbaf →],[: 0 trên [a,b] 
 và ].,[]),([ ba⊂βαϕ Khi đó: 
 ∫∫ =
)(
)(
' )().()).((
βϕ
αϕ
β
α
ϕϕ dxxfdtttf
9 Định lý 2: Nếu R→],[: βαϕ với ϕ đơn điệu và thuộc lớp C1 trên ],[ βα 
 Rbaf →],[: f ∈C0 trên [a,b] 
 với )(xt ϕ= mà trên 0,)()( Cgdttgdxxf ∈= )](),([ ba ϕϕ . Khi đó: 
 ∫ ∫=b
a
b
a
dttgdxxf
)(
)(
)()(
ϕ
ϕ
 b. Phép tích phân từng phần 
9 Định lý: Nếu và Rbavu →],[:, ∈vu, C1 trên [a,b] thì: 
 ∫ ∫−=b
a
b
a
b
a dxxvxuxvxudxxvxu )(').()().()().(' 
4.2.3 Phương pháp tính tích phân bất định 
Ta đã biết rằng trên CxFdxxf +=∫ )()( X Trong đó là một nguyên hàm 
của trên 
)(xF
)(xf X và C là hằng số tuỳ ý. 
 86 
Chương 4: Phép tính tích phân 
a. Tính chất cơ bản của tích phân bất định. 
Cho có nguyên hàm, gf , R∈λ 
1. ( ) dxxfdxxfdxfdxxf )()( , )()( ' == ∫∫
2. ( ) ∫∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 
3. ∫∫ = dxxfdxxf )()(. λλ
4. Nếu có một nguyên hàm là thì )(xf )(xF ( ) )(')( xuxuf có một nguyên 
hàm là nếu , tức là ( )(xuF ) 1Cu ∈
 ( ) ( ) CxuFdxxuxufCxFdxxf +=⇒+= ∫∫ )()(')()()( 
b. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định 
9 Phương pháp tích phân từng phần 
Cho trên 1, Cvu ∈ X khi đó 
 trên ∫∫ −= )()()().()()( xduxvxvxuxdvxu X 
9 Phương pháp đổi biến số 
Đặt )(tx ϕ= , với ϕ đơn điệu và trên Y khi đó 1C∈ϕ
 [ ] )(1)(')()( xtdtttfdxxf −=∫∫ = ϕϕϕ 
Đặt )(xt ψ= khi đó dttgdxxf )()( = 
 )()()( xtdttgdxxf ψ=∫∫ = 
c. Cách tính tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ 
9 Tích phân các phân thức tối giản loại thứ nhất 
 ∫ ∈−= Raax dxI n , )( 
 Nếu thì 1=n Cax
ax
dx +−=−∫ ln 
 Với khi xét constC = ax 
Nếu thì { }1\*Nn∈ C
axnax
dx
nn +−−−=− −∫ 1)( 1.11)( 
9 Tích phân các phân thức tối giản loại thứ hai 
 87
Chương 4: Phép tính tích phân 
∫ ∈++ += Rcbadxcbxax xI n ,,)( 2 ,, , μλμλ và *2 ,04 Nnacb ∈<−
Nếu 0=λ 
 ∫ ++= ncbxax dxI )( 2μ 
 Biến đổi acbbax
a
cbxax 421
4
2
2
2 −=Δ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Δ−
++Δ−=++ , 
 Thực hiện đổi biến Δ−
+= baxt 2 
 Suy ra ∫ +Δ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛ Δ−= n
n
t
dt
a
aI
)1(2
4
2μ 
 Dẫn đến tính ∫ += nn tdttJ )1()( 2 bằng phương pháp truy toán. 
 Trước hết ∫ +=+= CarctgttdttJ 21 1)( 
 Tích phân từng phần sẽ có 
 ∫ ++++= 12
2
2 )1(
2
)1(
)( nnn t
dttn
t
ttJ 
 )(2
)1( 12 +
−++= nnnn JJnt
tJ 
 nnn t
tJnnJ
)1(
)12(2 21 ++−=+ 
Nếu .0≠λ 
 ∫ ++
+
= dx
cbxax
aax
a
I n)(
22
2 2
λ
μ
λ
 ∫∫ ++⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −+++
+= nn cbxax
dxba
a
dx
cbxax
bax
a )(
2
2)(
2
2 22 λ
μλλ 
 Tích phân thứ nhất tính được nhờ phép đổi biến cbxaxu ++= 2
 C
cbxaxnu
dudx
cbxax
bax
nnn +++−==++
+
−∫∫ 122 )( 1 1 1)( 2 
 Tích phân thứ hai tính theo đã trình bày ở trên. nJ
 88 
Chương 4: Phép tính tích phân 
d. Tính nguyên hàm các phân thức hữu tỉ đối với một số hàm thông dụng 
9 Hàm hữu tỉ đối với sin và côsin 
1. Trường hợp tổng quát. 
Xét trong đó ∫ dxxxR )cos,(sin R là ‘’phân thức hữu tỉ hai biến’’ 
Thực hiện phép đổi biến: 
2
xtgt = . Khi đó 
22
2
2 1
2
1
1cos
1
2sin
t
dtdx
t
tx
t
tx +=+
−=+= , , 
Khi đó đưa về dạng ∫ dttQ tP )( )( 
Tuy nhiên bậc của và thường là cao, làm cho quá trình tính 
toán rất nặng nhọc. Sau đây ta xét một số trường hợp đặc biệt, với cách đổi 
biến thích hợp sẽ tính toán dễ dàng hơn. 
)(tP )(tQ
2. Trường hợp đặc biệt thứ nhất. 
• Nếu )cos,sin()cos,(sin xxRxxR −−= thì đổi biến hoặc tgxt = gxt cot= 
• Nếu )cos,(sin)cos,(sin xxRxxR −−= thì đổi biến xt sin=
• Nếu )cos,sin()cos,(sin xxRxxR −−= thì đổi biến xt cos= 
3. Trường hợp đặc biệt thứ hai. 
Khi ZnmxxxxR nm ∈= ,cos.sin)cos,(sin , 
• Nếu lẻ thì đổi biến m xt cos= 
• Nếu lẻ thì đổi biến n xt sin= 
• Nếu chẵn và không cùng dương thì đổi biến nm, tgxt =
• Nếu chẵn và cùng dương thì tuyến tính hoá sau đó tính 
nguyên hàm. 
nm,
9 Hàm hữu tỉ đối với và shx chx
Vì đạo hàm của các hàm và tương tự như các hàm và shx chx xsin xcos , 
mà có phép đổi biến tương ứng là ∫ dxxxR )cos,(sin
 89
Chương 4: Phép tính tích phân 
tgxtxtxtxtgt ==== , , , sincos
2
, cho nên ∫ dxchxshxR ),( có phép đổi biến 
tương ứng là thxtshxtchxtxtht ==== , , , 
2
9 Hàm hữu tỉ đối với Re x ∈αα ,
Xét , trong đó là hàm hữu tỉ. Thực hiện phép đổi biến 
, Khi đó 
∫= dxefI x )( α )(xf
dxedtet xx αα α== , 
 dt
t
tfI ∫= )(1α 
9 Hàm hữu tỉ đối với x và n
dcx
bax
+
+ 
Xét ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+= dx
dcx
baxxRI n, trong đó là hàm hữu tỉ của hai biến ),( yxR yx, 
Với n
dcx
baxy +
+= thoả mãn điều kiện bcad ≠ 
Thực hiện phép đổi sang biến thì y
 dy
cya
bcadnyy
cya
bdyRdxyxR n
n
n
n
2
1
)(
)(,),( −
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=
−
 dyyf )(=
Trong đó là hàm hữu tỉ của y. )( yf
4.2.4 Một số ứng dụng của tích phân xác định 
a. Tính diện tích hình phẳng 
9 Miền phẳng giới hạn bởi các đường cong trong toạ độ Đềcác(Descartes) 
Giả sử miền phẳng D giới hạn bởi các đường: 
)()()( 21 xfyxfybabxax ==<== , , , , trong đó liên tục từng khúc 
trên [a,b]. Gọi diện tích của miền phẳng D là S. Theo ý nghĩa hình học của 
tích phân xác định, nhận được công thức tính S như sau: 
21, ff
 ∫ −= b
a
dxxfxfS )()( 21 
Tương tự, nếu D giới hạn bởi các đường: 
 90 
Chương 4: Phép tính tích phân 
)()()( 21 ygxygxdcdycy ==<== , , , , trong đó liên tục từng khúc 
trên [c,d] thì 
21, gg
 ∫ −= d
c
dyygygS )()( 21 
9 Giả sử miền phẳng D giới hạn bởi đường cong cho dưới dạng tham số: 
 ⎩⎨
⎧
=
=
)(
)(
tyy
txx
10 ttt ≤≤ 
 Khi đó ∫=
β
α
dttxtyS )().( , 
9 Nếu miền phẳng D giới hạn bởi đường cong có phương trình cho dưới 
dạng toạ độ cực. 
 βϕαϕ ≤≤= , )(rr 
 Liên hệ giữa toạ độ Descartes và toạ độ cực là: 
⎩⎨
⎧
=
=
ϕϕ
ϕϕ
sin)(
cos)(
ry
rx
 Khi đó ϕϕ drS ∫= )(21 2 
b. Tính độ dài đường cong phẳng 
9 Phương trình cho trong hệ toạ độ Descartes vuông góc 
 Giả sử đường cong 
∩
AB cho bởi phương trình 
 ( ) ( ))(,)(,)( bfbBafaAxfy , , = 
 Trong đó trên 1Cf ∈ [ ] )(, baba < , 
 Nếu gọi l là độ dài cung 
∩
AB thì l được tính theo công thức 
 dxxfl
b
a
∫ += )('1 2 
9 Phương trình cho trong dạng tham số 
 10)(
)(
ttt
ty
tx ≤≤⎩⎨
⎧
=
=
 , ψ
ϕ
 91
Chương 4: Phép tính tích phân 
 trên [ 1, C∈ψϕ ]10 ,tt
 dtttl
t
t
∫ += 1
0
)(')(' 22 ψϕ 
9 Phương trình cho trong dạng toạ độ cực 
 βϕαϕ ≤≤= , )(rr 
 ∫ +=
β
α
ϕϕϕ drrl )()( 2,2 
c. Tính thể tích vật thể 
9 Công thức tổng quát 
Giả sử vật thể (V ) nằm giữa hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox, các 
mặt phẳng này có phương trình là ax = và babx <= , . Các thiết diện của 
vật thể (V ) vuông góc với trục Ox nằm trên mặt phẳng có phương trình 
 có diện tích tương ứng . Khi đó thể tích của vật thể 
(V), kí hiệu là V, tính theo công thức 
[ baxxx ,00 ∈= , ] )( 0xS
∫= b
a
dxxSV )(
9 Công thức tính cho vật thể tròn xoay ... )(xf π2 , đơn 
điệu từng khúc và bị chặn trên [ ]ππ ,− thì chuỗi Fourier của hàm số 
hội tụ về tổng trên tập 
)(xf
)(xS R . Tổng có tính chất: )(xS
 [ ] RxxfxfxS ∈∀++−= , )0()0(
2
1)( 
5.3 CÂU HỎI ÔN TẬP 
Câu 1. Định nghĩa chuỗi số, sự hội tụ, phân kì của chuỗi số. 
Câu 2. Phát biểu chứng minh điều kiện cần của chuỗi số hội tụ. 
Câu 3. Phát biểu các tính chất của chuỗi số hội tụ. Các tính chất đó còn 
đúng không nếu các chuỗi số phân kì? 
Câu 4. Định nghĩa chuỗi số dương. Phát biểu điều kiện cần và đủ để chuỗi 
số dương hội tụ. 
Câu 5. Phát biểu các định lí so sánh để nhận dạng sự hội tụ của chuỗi 
số dương. 
Câu 6. Phát biểu tiêu chuẩn D’Alembert về sự hội tụ của chuỗi số dương. 
Câu 7. Phát biểu tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số dương. 
Câu 8. Phát biểu tiêu chuẩn tích phân Cauchy-McLaurin về sự hội tụ của 
chuỗi số dương. 
Câu 9. Định nghĩa chuỗi số đan dấu. Phát biểu điều kiện đủ cho chuỗi đan 
dấu hội tụ. 
Câu 10. Định nghĩa sự hội tụ tuyệt đối, sự bán hội tụ của chuỗi số. 
Câu 11. Định nghĩa chuỗi hàm. Miền hội tụ của chuỗi hàm là gì? 
 128 
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
Câu 12. Định nghĩa sự hội tụ đều của chuỗi hàm. 
Câu 13. Phát biểu tiêu chuẩn Weierstrass về sự hội tụ đều của chuỗi hàm. 
Câu 14. Phát biểu các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều. 
Câu 15. Định nghĩa chuỗi luỹ thừa. Phát biểu định lí Abel. 
Câu 16. Bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa là gì? 
Câu 17. Nêu qui tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa. 
Câu 18. Nêu các tính chất của chuỗi luỹ thừa. 
Câu 19. Định nghĩa chuỗi Taylor ở lân cận của x0 của hàm số f(x). Định 
nghĩa chuỗi McLaurin của hàm số f(x). 
Câu 20. Thế nào là hàm số khai triển được thành chuỗi Taylor ở lân cận của x0. 
Câu 21. Nêu điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) khai triển được thành chuỗi 
Taylor ở lân cận của x0. 
Câu 22. Phát biểu điều kiện đủ để hàm f(x) khai triển được thành chuỗi 
Taylor ở lân cận x0. 
Câu 23. Viết khai triển McLaurin các hàm số thường dùng. 
Câu 24. Định nghĩa chuỗi Fourier của hàm số f(x). 
Câu 25. Phát biểu điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier. 
Câu 26. Viết chuỗi Fourier trong dạng phức. 
Câu 27. Viết khai triển thành chuỗi Fourier của hàm số bất kì. 
Câu 28. Viết khai triển theo các hàm số sin của hàm số f(x). Điều kiện để có 
khai triển đó? 
Câu 29. Viết khai triển theo các hàm số cosin của hàm số f(x). Điều kiện để 
có khai triển đó? 
Câu 30. Có một hay nhiều chuỗi Fourier của một hàm số cho trước trên 
khoảng (a,b) 
5.4 BÀI TẬP CHƯƠNG V 
Câu 1. Cho chuỗi số biết rằng chuỗi số hội tụ và chuỗi số 
phân kỳ. Chứng minh chuỗi số đã cho phân kỳ. 
∑∞
=1k
ka ∑∞
=1
2
p
pa
∑∞
=
+
0
12
p
pa
 129
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
Câu 2. Chứng minh rằng các chuỗi số có số hạng tổng quát sau đây hội tụ 
và hãy tìm tổng của chúng 
a. 
)12)(12(
1
+−= nnan b. nnan += 2
1 
c. 22 )1(
12
+
+=
nn
nan d . )1(
12)1( 1 +
+−= +
nn
na nn 
Câu 3. Xét sự hội tụ của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau đây: 
a. nnnan −+= 2 b. 12
2
+
−=
n
nnarctgan c. 33
2
3 ++
+=
n
na n
n
n 
d. )11ln( 2ntgan += e. nn
nn
an ln3
)2(
2 +
+= f. 0,cos2 >+= ααn
nan 
g. 
)
11
1(
2nn
n na
++−= h. 2)
)1
( nn n
na += i. nna
n
n 2
2
2= 
j. 
nn
a
nn )1(
1
−+= k. ∫ +=
2
0
22
2
cos
cos
π
dx
xn
xan l. ∫
+
+ ++
=
1
2
1
4 1
n
n
n
xx
dxa 
m. ∫
−
=
n
n
n
xx
dxa
2
22
5
sin
 o. ∫∞ −
o
x dxe
n
Câu 4. Cho chuỗi số dương hội tụ. Chứng minh rằng chuỗi số 
 cũng hội tụ 
∑∞
=1k
ka
∑∞
=
>
1
1,
k
ka αα
Câu 5. Cho hai chuỗi số dương và tồn tại số tự nhiên sao cho 
 thoả mãn 
∑∑ ∞
=
∞
= 11
,
n
n
n
n ba 0n
0nn ≥∨
n
n
n
n
b
b
a
a 11 ++ ≤ . Chứng minh rằng nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi 
thứ nhất hội tụ . 
∑∞
=1n
nb
Câu 6. Xét sự hội tụ của các chuỗi có số hạng tổng quát sau đây: 
 a. 
n
na nn += 2
2
 b. n
n
na 3
2
2
3= c. 
!
)!ln(
n
nan = 
 d. ∏
=
=
n
k
kn na
1 2
1sin! e. nn n
na )2...(4.2= f. 
12 += n
aa
n
n , a>o 
 130 
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
 g. nnn n
na ln)
12
)1( −
+= h. nn narctga )
1(= i. n
n
n n
na
)(ln
ln
= 
Câu 7. Xét sự hội tụ của các chuỗi có số hạng tổng quát sau đây: 
 a. )1sin1()1(
nn
tga nn −−= b. nn n
na −−= )
ln
1( 
 c. 1sin( 4 += nan π ) d. 2
)1()1(
2
1
++
+−=
−
nn
na
n
n 
 e. 
nn
a
n
n ln
)1(
−
−= f. )1(sin n
n
an += π 
 g. 
n
na
n
n +
−+=
1
)1(1 h. n
n
n n
na
)(ln
)1( 2−= 
Câu 8. Chứng minh rằng chuỗi hàm∑∞
=
− +
+
1
1 )2
12(
2
1
n
n
n x
x hội tụ đều trên đoạn [-,1]. 
Câu 9. Chứng minh rằng chuỗi hàm ∑∞
=
+−
1
2
2
)1(
n
n
n
nx hội tụ đều trên đoạn [a,b] 
nhưng không hội tụ tuyệt đối trên đoạn đó. 
Câu 10. Chứng minh rằng chuỗi hàm hội tụ đều trên [a,+ ) với a>0 
nhưng không hội tụ đều trên [o,+
∑∞
=
−
1n
nxne ∞
∞ ). 
Câu 11. Cho chuỗi hàm ∑∞
= +1 1
1
n
nx
a. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm. 
b. Xét sự liên tục của tổng S(x). 
c. Xét sự khả vi của tổng S(x). 
Câu 12. Tìm miền hội tụ đều của các chuỗi hàm 
 a. ∑∞
=
−
1
2
n
xnxen b. ∑ ∞
=
− −
1
)1(
n
nxn
Câu 13. Chứng minh rằng hàm số f(x) =∑∞
= +1 )(
1
n xnn
 xác định, liên tục, khả vi 
trên [o,+∞ ] 
Câu 14. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa có số hạng tổng quát sau: 
 a. b. nxxu nn ln)( = nn nxxu )()( =
 131
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
 c. 
n
xxu
n
n
n
1)1()( =−= d. 
n
xxu
n
n
)4()( −= e. n
n
n xn
nxu 2)2(
12
1)( −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
+= 
 f. 
!
)5()(
n
xxu
n
n = g. !)1()(
1
n
xxu
n
n
n
−−= h. o
n
xxu
n
n >= αα ,)( 
Câu 15. Tìm miền hội tụ và tính tổng các chuỗi luỹ thừa có số hạng tổng 
quát sau: 
 a. , b. 1,)13()( 3 ≥+= nxnxu nn onxxu nnnn ≥+= ,)32()(
 c. on
n
x
n
nnxu
n
n ≥+
−+= ,
!3
13)(
2
, d. onoaxchnaxu nn ≥>= ,,.)(
 e. on
n
xxu
nn
n ≥−=
−+
,)1()(
11
Câu 16. Khai triển thành chuỗi Taylor của các hàm số sau: 
a. f(x) = 
x
1 tại lân cận điểm x=3. 
b. f(x) = tại lân cận điểm x=-1. 1−xe
c. f(x) = sinx tại lân cận điểm x=2. 
Câu 17. Khai triển thành chuỗi Maclảuin các hàm số sau: 
a. f(x) = chx , b. f(x) = , xex2
c. f(x) = , d. f(x) = x2sin xex cos
e. f(x) = , f. f(x) = )65ln( 2 +− xx
23
1
2 +− xx 
g. f(x) = 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−
+
0 khi 2
0 xkhi 
1
1ln1
x
x
x
x h. f(x) = ∫x dtt
0
2cos
Câu 18. Cho hai chuỗi luỹ thừa có bán kính hội tụ tưng ứng là 
∑∑ ∞
=
∞
= 11
,
n
n
n
n
n
n xbxa
21, RR
a. Chứng minh rằng nếu tồn tại Nn ∈0 sao cho 0, nnba nn ≥∀≤ thi . 21 RR ≥
b. Chứng minh rằng nếu nn ba ~ khi ∞→n thì 21 RR = . 
Câu 19. Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi luỹ thừa có số hạng tổng quát sau: 
a. nn xnsh
chnxu 2)( = , b. nn xnxu )
11arccos()( 2−= , 
 132 
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
c. nn xnnxu )1cos()( 2 ++= π d. nnnn xnnxu )1()( −+= , 
e. nn xnarctgxu ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
4
)11()( 2
π 
Câu 20. Tính các số sau với độ chính xác là 410−
 a. e , b. 5 1,1 , c. ln (1,04) , d. cos 018
Câu 21. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 
2π và f(x) = x−π với 0<x<π . 
Câu 22. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) chẵn, tuần hoàn với chu 
kỳ 2π và f(x) = π
x21− với 0<x<π . Từ đó hãy tính tổng ∑∞
= +0 2)12(
1
n n
. 
Câu 23. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số: 
 f(x) = 2
2
1 π
x− với - ππ << x 
 Từ đó tính tổng ∑∞
=1
2
1
n n
 , ∑∞
=
−
1
2
)1(
n
n
n
Câu 24. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số: 
 f(x) = 
2
sin x với -π <x<π . 
Câu 25. Khai triển hàm số 
 f(x) =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<<
<<
πππ
π
x
x
2
 nÕu
2
 x0 nÕu
2
 thành chuỗi theo các hàm 
 a. sin nx, n N∈ 
 b. cos nx, n N∈ 
 Từ đó tính tổng ∑∞
= +1 2)12(
1
n n
 . 
Câu 26. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số 
 f(x) = với -1<x<1. xe
 133
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
5.5 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG V 
Câu 2. a. 
2
1 ; b. 1 ; c. 1 ; d. 1 
Câu 3. a. Phân kỳ ; b. Phân kỳ ; c. Hội tụ ; d. Hội tụ ; e. Phân kỳ ; 
 f. Hội tụ khi 1>α , Phân kỳ khi 1≤α ; g. Phân kỳ ; h. Hội tụ ; 
 i. Hội tụ ; j. Phân kỳ ; k. Hội tụ ; l. Hội tụ ; m. Hội tụ ; 
 n. Phân kỳ. 
Câu 6. a. Hội tụ ; b. Hội tụ ; c. Hội tụ ; d. Hội tụ ; e. Hội tụ ; 
f. Hội tụ khi a , Phân kỳ khi a>1 ; g. Hội tụ ; h. Hội tụ ; 
 i. Hội tụ . 
1≤
Câu 7. a. Hội tụ tuyệt đối ; b. Hội tụ tuyêt đối ; c. Hội tụ tuyệt đối. 
 d. Hội tụ ; e. Hội tụ ; f. Hội tụ ; g. Phân kỳ ; h. Hội tụ tuyệt đối. 
Câu 11. a. 1>x ; b. Liên tục với 1>x ; c. Khả vi với 1>x 
Câu 12. a. ; b. [a, + , a>0 . +R )∞
Câu 14. a. -1< x <1 ; b. { c. }0 11 ≤<− x d. 3 5<≤ x ; 
 e. 2- 222 +<< x ; f. - ∞<<∞ x ; g. ∞<<∞ x 
 h. 1− x≤ α 
Câu 15. a. 1
)1(
4
23
63
<−
−= x víi
x
xxS ; b. 
3
1
31
1
21
1 <−+−= x víixxS 
 c. [ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠−+−−
=−
=
0x khi
0x khi
2)22(1
3
1
2
3 xxex
xe
S
xx
 d. ae
xchax
xchaS −<−+
−= x víi
21
1
2 
 e. 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<≠+
=
=
 1x1- vµ 0x khi
0x khi
x
xS )1ln(
1
Câu 16. a. ∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
0 3
3)1(
3
1
n
n
n x ; b. ∑∞
=
− +
0
2
!
)1(
n
n
n
xe 
 c. sin2 ∑ ∑∞
=
∞
=
+
+
−−+−−
0 0
122
)!12(
)2()1(2cos
)!2(
)2()1(
n n
n
n
n
n
n
x
n
x 
 134 
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
Câu 17. a. f (x) = ∑∞
=0
2
)!2(n
n
n
x , x R∈ ; b. f (x) = ∑∞
=
+
0
2
!n
n
n
x , x R∈ 
 c. f (x) = ∑∞
=
−
1
212
)!2(
2
n
nn
n
x , x R∈ ; d. f (x) = nn
n
x)
2
11( 1
0
+
∞
=
∑ − , 1<x 
 e. f (x) = ln6 - ∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
1 3
1
2
11
n
n
nn xn
, 2<x ; f. f (x) =∑∞
=
+
+−0
14
)14()!2(
)1(
n
n
n
nn
x 
 g. f (x) = 2∑∞
= +0
2
12n
n
n
x , 1<x ; h. f (x) = ∑∞
=0 4
cos
!
)2(
n
n
n
xn
n
π , x R∈ 
Câu 19. a. R=1; b. R=1; c. R=1; d. R=1; e. R=2. 
Câu 20. a. 1,6488; b. 1,0192; c. 0,392; d. 0,9511. 
Câu 21. f (x) = 2∑∞
=1
sin
k k
kx , x πn2≠ , n Z∈ . 
Câu 22. f (x) = ∑∞
= +
+
0
22 )12(
)12cos(8
n n
xn
π , x R∈ ; ∑
∞
=
=+0
2
2 8)12(
1
n n
π 
Câu 23. f (x) = ∑∞
=
−−
1
22
cos)1(4
3
2
n
n
n
nx
π , ∑
∞
=
=
1
2
2 6
1
n n
π ; ∑∞
=
−=−
1
2
2 12
)1(
n
n
n
π 
Câu 24. f (x) = ∑∞
=
+
−−1 2
1
14
sin)1(
n
n
n
nxn , x 0≠ 
Câu 25. a. f (x) = - xm
mmm
mx
m
m
m
)12sin(
)12(2)12(
)1(22sin
2
1
0
2
1
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+++
−+ ∑∑ ∞
=
∞
=
π
π 
 b. f (x) = ∑∞
= +
+++−
0
2)12(
)12(2cos)12cos(21
8
3
m m
xmxm
π
π 
 ∑∞
=
−=+1
2
2 18)12(
1
n n
π 
Câu 26. ∑∞
=
−+
−+=
1
22 )sin(cos1
)1(121
k
k
x xkkxk
k
ShShe ππππ . 
 135
Tài liệu tham khảo 
1. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. G. M. FICHTENGÔN, Giáo trình phép tính vi tích phân, Tập 1,2,3. Nauka, 
Moskva,1969. (tiếng Nga) 
2. G. M. FICHTENGÔN, Cơ sở giải tích toán học, Tập 1,2,3. NXB Đại học và 
Trung học chuyên nghiệp, Hà nội, 1977. 
3. K. MAURIN, Analiza, PWN, Warszawa, 1976. .1,,cCzes
4. R. A. ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York, Don Mills, 
1991. 
5. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (chủ biên), Toán học cao cấp, Tập 1,2,3. NXB Đại học 
và Giáo dục chuyên nghiệp, Hà nội, 1990. 
6. JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình toán, Tập 1,2,3,4. NXB Giáo dục, 
Hà Nội, 1999 (dịch từ tiếng Pháp, DUNOD, Paris,1999) 
 136 
Mục lục 
MỤC LỤC 
Giới thiệu môn học ......................................................................................................3 
1. Giới thiệu chung....................................................................................................3 
2. Mục đích ...............................................................................................................4 
3. Phương pháp nghiên cứu môn học........................................................................4 
Chương I: Giới hạn của dãy số ..................................................................................7 
1.1. Mục đích.............................................................................................................7 
1.2. Tóm tắt nội dung ................................................................................................8 
Chương II: Hàm số một biến số ............................................................................... 28 
2.1. Môc ®Ých........................................................................................................... 28 
2.2. Tóm tắt nội dung .............................................................................................. 29 
2.3. Câu hỏi ôn tập................................................................................................... 44 
2.4. Bài tập chương II.............................................................................................. 45 
2.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương II ........................................................... 49 
Chương III: Phép tính vi phân hàm số một biến số............................................... 53 
3.1. Môc ®Ých........................................................................................................... 53 
3.2. Tóm tắt nội dung .............................................................................................. 55 
3.3. Câu hỏi ôn tập................................................................................................... 67 
3.4. Bài tập chương III ............................................................................................ 68 
3.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương III.......................................................... 76 
Chương IV: Phép tính tích phân ............................................................................. 81 
4.1. Môc ®Ých........................................................................................................... 81 
4.2. Tóm tắt nội dung .............................................................................................. 82 
4.3. Câu hỏi ôn tập................................................................................................... 97 
4.4. Bài tập chương IV ............................................................................................ 98 
4.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương IV........................................................106 
Chương V: Lý thuyết chuỗi ....................................................................................116 
5.1. Môc ®Ých.........................................................................................................116 
5.2. Tóm tắt nội dung ............................................................................................117 
5.3. Câu hỏi ôn tập.................................................................................................128 
5.4. Bài tập chương V............................................................................................129 
5.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương V.........................................................134 
Tài liệu tham khảo...................................................................................................136 
 137