Toán học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

Chương 5
TÍNH GẦN ĐÚNG
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM :
Cho hàm y = f(x) và bảng số
x xo x1 x2 . . . xn 
y yo y1 y2 . . . yn
Để tính gần đúng đạo hàm, ta xấp xỉ hàm bằng 
đa thức nội suy Lagrange Ln(x) (hay đa thức 
nội suy Newton)
Ta có 
1. TH bảng chỉ có 2 điểm nút : 
x x0 x1
y y0 y1 
Đặt h = x1- x0
Đa thức nội suy Lagrange 
Suy ra công thức đạo hàm cho 2 điểm : 
❖ Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x. Tính xấp xỉ 
f’(1.8) với h = 0.1, 0.01, 0.001 
Ta có 
giải
h f’(1.8)
0.1 0.540672212
0.01 0.554018037
0.001 0.555401292
f’(1.8) = 0.555555555
2. TH bảng có 3 điểm nút cách đều : 
 x x0 x1 x2 
 y y0 y1 y2 
h = x2 - x1 = x1 - x0
Đa thức nội suy Lagrange 
Do đó với mọi x ∈ [x0, x2] ta có
Suy ra đạo hàm cấp 1
Công thức thứ 1 gọi là công thức sai phân tiến
Công thức thứ 2 gọi là công thức sai phân hướng 
tâm thường viết dưới dạng (thay x1 = x0)
Công thức thứ 3 gọi là công thức sai phân lùi 
thường viết dưới dạng (thay x2 = x0)
đạo hàm cấp 2 
Thay x1 = x0 ta được
❖ Ví dụ : Cho hàm 
a. Dùng công thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ 
f’(1.25) với h = 0.01 
b. Tính xấp xỉ f”(1.25) với h = 0.01 
giải
So với kết quả chính xác 
f’(1.25)= -0.320422170423379
 -0.320416958
So với kết quả chính xác
f”(1.25) = -0.526640385697715
 -0.526643001
Bài tập : Cho hàm f và bảng số cách đều
x 1.2 1.4 1.6 1.8
y 2.32 2.53 2.77 2.89
Xấp xỉ f bằng đa thức Newton tiến, tính gần đúng f’(1.25)
xk f(xk) Δyk Δ
2yk Δ
3yk
1.2
1.4
1.6
1.8
2.32
2.53
2.77
2.89
0.21
0.24
0.12
0.03
-0.12
-0.15
Giải : Ta lập bảng các sai phân hữu hạn 
Newton lùi
Newton tiến
II. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN :
Cho hàm f(x) xác định và khả tích trên [a,b]. Ta 
cần tính gần đúng tích phân :
Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằng 
nhau với bước h = (b-a)/n
xo= a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = b
1. Công thức hình thang mở rộng : 
❖ Công thức sai số : 
2. Công thức Simpson mở rộng: 
❖ Công thức sai số : 
Chú ý : với công thức simpson n phải là số chẵn
❖ Ví dụ : Tính gần đúng tích phân
a. Dùng công thức hình thang mở rộng với n = 5
b. Dùng công thức Simpson mở rộng với n = 8
Công thức hình thang
giải
a. h=0.2, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=5 đoạn 
bằng nhau
 x0 = 0 < x1 = 0.2 < x2 = 0.4 < x3 = 0.6 < x4 = 0.8 < x5 = 1
= 0.945078781
Công thức Simpson
b. h=0.125, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=8 đoạn 
bằng nhau
 x0 = 0 < x1 = 0.125 < x2 = 0.25 < x3 = 0.375 < x4 = 0.5 
 x5 = 0.625 < x6 = 0.75 < x7 = 0.875 < x8 =1
= 0.94608331
❖ Ví dụ : Dùng phương pháp simpson tính gần 
đúng tích phân
x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
f(x) 0.68 0.95 1.16 2.25 3.46 5.57 6.14
với f cho bới bảng số
Công thức Simpson
x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
y 2.9584 4.3730 5.8358 14.65 30.9609 76.3038 98.6471
I = 37.1004 
giải
❖ Ví dụ : Xét tích phân
xác định số đoạn chia tối thiểu n để sai số ≤10-5
giải
a.Dùng công thức hình thang mở rộng
b.Dùng công thức Simpson mở rộng. Với n vừa 
tìm được, hãy xấp xỉ tích phân trên
a. Công thức sai số hình thang mở rộng
Vậy n = 45
b. Công thức sai số Simpson mở rộng
Vậy n = 4
phân hoạch đoạn [0,1] thành n=4 đoạn bằng nhau
 x0 = 0 < x1 = 0.25 < x2 = 0.5 < x3 = 0.75 < x4 = 1
Công thức Simpson
= 1.932377388