Toán học - Chương 6: Ước lượng tham số

3/11/2019
1
ƯỚC LƯỢNG 
THAM SỐ
1
CHƯƠNG 6
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
ƯỚC LƯỢNG
• Ước lượng điểm
• Ước lượng khoảng trung bình, tỷ lệ, phương sai
• Ước lượng chênh lệch hai trung bình, chênh lệch
hai tỷ lệ
• Ước lượng tỷ số hai phương sai
2nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng
• Tổng thể có tham số  chưa biết.
• Ta muốn xác định tham số này.
• Lấy một mẫu ngẫu nhiên cỡ n.
• Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị của
tham số  của tổng thể.
• Ước lượng điểm: dùng một giá trị.
• Ước lượng khoảng: dùng một khoảng.
3nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Thống kê mẫu và Ước lượng điểm
• Định nghĩa. Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) 
của tổng thể. Một hàm của các biến ngẫu nhiên
X1, X2, ..., Xn được gọi là thống kê mẫu (statistic).
• Định nghĩa. Một thống kê mẫu T(X1, X2, ..., Xn) được
sử dụng để ước lượng cho tham số  được gọi là
một ước lượng điểm của  .
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 4
6.1 Ước lượng điểm
• Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham số
 chưa biết của tổng thể.
• Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào
đó của mẫu ngẫu nhiên.
• Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng
được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho
tham số .
• Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu
quả, vững 
5nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng không chệch (ƯLKC)
• Thống kê T(X1;X2;;Xn) gọi là ước lượng không
chệch của tham số  nếu:
• Nếu E(T)  thì ước lượng T gọi là một ước lượng
chệch (ƯLC) của tham số .
• Độ chệch của ước lượng:
6
E(T) 
E(T) 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
3/11/2019
2
Ví dụ 1
• Theo lý thuyết mẫu ta có:
7
*2 2
2
2
2 2
1
E X
E S
n
E S
n
E S
E F p




*2 2 2
2
2
la ULKC cua 
la ULKC cua 
, la ULKC cua
la ULchech cua
X
F p
S S
S



nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng KC tốt hơn
• Cho X, Y là hai ULKC của tham số .
• Có nghĩa là:
• Nếu:
• Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ
hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số 
nhiều hơn).
8
 E X E Y  
 V X V Y 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ví dụ 1.
• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, , Xn).
a) CMR: các thống kê sau:
đều là các ước lượng không chệch của .
b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt
hơn.
9
1 21 2
1 1 2
2
...
; ; n
n
X X XX X
Z X Z Z
n
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng hiệu quả
• Thống kê T(X1;X2;;Xn) gọi là ước lượng hiệu quả
của tham số  nếu:
• T là ULKC của 
• V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây
dựng trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên.
• Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để
đánh giá.
10nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
BĐT Cramer-Rao
• Biến nn gốc X có hàm mật độ hoặc công thức tính
xác suất có chứa tham số θ dạng f(x,θ) và thỏa mãn
một số điều kiện nhất định.
• Cho T là một ƯLKC của θ. Ta luôn có:
• Vậy ULKC nào thỏa mãn dấu “=“ thì đó là ULHQ
11
2
1
ln ,
V T
f X
nE
  
  
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ví dụ 2.
• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, , Xn) lấy từ tổng thể có kì
vọng  và phương sai 2. Xét 2 thống kê:
a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng
không chệch của .
b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn.
12
1 2 1 2
1
2 ... ...
2 ;
1
n nX X nX X X XZ X
n n n
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
3/11/2019
3
Ví dụ 3
Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2). CMR: 𝑋 là ước
lượng hiệu quả nhất của tham số μ.
Giải.
Dễ thấy, 𝑋 là ước lượng không chệch và:
Hàm ppxs của tổng thể:
13
2
Var X
n

2
22
1
, ,
2
x
f x f x e

 
 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ví dụ 3
• Ta có:
• Và:
14
2
2
2
2
2

 
 
  
  
  
 
ln
ln ,
x
f x x
2
2
2 4 2
1 1X
E E X


  
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ví dụ 3
• Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:
• Vậy thống kê 𝑋 là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất
trong các ước lượng không chệch của tham số μ
của tổng thể
15
2
2
1
ln ,
Var T Var X
nf X
nE



 
  
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Các ULHQ
• Ta chứng minh được:
16
2 *2 2
 .
, .
 .
X la ULHQ cua
S S la ULHQ cua
F la ULHQ cua p


nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng hợp lý tối đa
• Sinh viên tự tham khảo tài liệu
17nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
6.2 Ước lượng khoảng
Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết. Dựa vào mẫu
ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho: 
P(a <  <b)=(1 - ) khá lớn.
Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham số
 với độ tin cậy (1 - ) .
Độ tin cậy thường được cho trước và khá lớn.
Dạng khoảng tin cậy:
• (𝑎; 𝑏) : khoảng tin cậy hai phía
• (−∞; 𝑏) : khoảng tin cậy bên trái (tối đa)
• (𝑎: +∞) : khoảng tin cậy bên phải (tối thiểu)
18nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
3/11/2019
4
Ước lượng khoảng
• (a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng.
• (1 - ): độ tin cậy của ước lượng.
• |b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy.
• ε : độ chính xác (sai số).
• Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 - ) là bao nhiêu thì phù
hợp.
• a, b là 2 thống kê mẫu
19nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Nguyên tắc ULK
• Với mẫu đã chọn, tìm thống kê T có ppxs xác định
và chứa tham số cần ước lượng.
• Với độ tin cậy (1-α) cho trước tìm cặp số α1; α2 sao
cho:
• Tìm các giá trị tới hạn mức (1- α1) và α2
• Ta có:
• Biến đổi tương đương tìm khoảng UL cho tham số
cần tìm.
20
1 2 
1 21
1P T T T 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
6.2.1. Ước lượng trung bình
• Tổng thể có phân phối chuẩn
• Ước lượng điểm không chệch: 𝑋
• Độ tin cậy: 1 − 𝛼
• Phân phối thống kê mẫu:
• Chú ý: t(n) hội tụ về N(0;1) khi n>30
21
 ~ 0;1 ~
X n X n
Z N Z t n
S
 

nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Khoảng tin cậy cho phân phối chuẩn
• Ta có: 
• Từ đó:
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 22
0
/ 2 / 2 1 
/2z /2z 
 /2 /2 1P z Z z 
/2 /2 1 


X n
P z z ??? 
Khoảng tin cậy cho phân phối Student
• Ta có: 
• Từ đó:
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 23
0
/ 2 / 2 1 
1;
2
t n
1; 1; 1
2 2
P t n Z t n
1; 1; 1
2 2
 
X n
P t n t n
S
??? 
1;
2
t n
Khoảng tin cậy
• Khoảng tin cậy hai phía_ biết σ
• Khoảng tin cậy hai phía_ chưa biết σ
• Chú ý:
24
2
; 

   X X z
n
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
 ; 1;
2
  
S
X X t n
n
/21; 30
2
t n Z khi n
3/11/2019
5
Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu
• Khi ước lượng hai phía, sai số hay độ chính xác:
• Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:
25
2
1;
2
S
z hay t n
n n
 
 
2 2
/2
2
1
z
n 


2
2
2
1;
2
1
S t n
n

nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
6.2.2. Ước lượng hiệu hai kỳ vọng toán
• Sinh viên tự tính toán
• Xét riêng các trường hợp
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 26
6.2.2. Ước lượng hiệu hai kỳ vọng toán
• Trường hợp mẫu cặp
• Paired t-Interval
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 27
6.2.3 Ước lượng phương sai
• Tổng thể có phân phối chuẩn
• Ước lượng điểm không chệch: S*2 hay S2
• Độ tin cậy: 1 − 𝛼
• Phân phối thống kê mẫu:
• Chú ý: 𝜒2(n) hội tụ về N(n;2n) khi n>30
28
2*2
2 2
2 2
1
~ ~ 1
n SnS
Z n Z n 
 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Khoảng tin cậy
• Khoảng tin cậy hai phía – biết µ
• Khoảng tin cậy hai phía – chưa biết µ
29
*2 *2
2 2
;
; ;1
2 2
nS nS
n n
 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
 2 2
2 2
1 1
;
1; 1;1
2 2
n S n S
n n
 
6.2.4. Ước lượng tỷ số hai phương sai
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 30
3/11/2019
6
6.2.5. Ước lượng xác suất p 
• Bài toán hai phía. Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về
tính chất A nào đó).
• Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30).
• Tìm (a,b) sao cho:
31
 1P a p b 
 ~ 0;1
1
F p n
Z N
p p
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng hai phía cho p
• B1. Với độ tin cậy (1-α), ta chọn α1; α2
32
 ~ 0;1Z N
0
/ 2 / 2 1 
/2z /2z 
• B2. KƯL của thống kê Z
 /2 /2 1P z Z z 
• B3. KƯL của tham số p sau khi
biến đổi và xấp xỉ
 1P F Z F  
𝑣ớ𝑖 𝜀 = 𝑧 𝛼 2
𝐹 1 − 𝐹
𝑛
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Khoảng tin cậy cho p
• Hai phía:
33
 ;  F F
2
1F F
z
n
 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu
• Khi ước lượng hai phía, độ dài khoảng ước lượng:
• Sai số (độ chính xác của ước lượng):
• Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:
34
2
1
2 2
F F
z
n
 
 2
2
2
1
1
F F z
n

2
2
2
1
4
z
n

2
1F F
z
n
 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
6.2.6. Ước lượng hiệu hai xác suất
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 35
Bài 1
• Trong kho hàng xí nghiệp A có rất nhiều sản phẩm. 
Lấy nn 100 sp cân lên ta thấy
a) Các sp từ 1050 gr trở lên là sp loại 1. Ước lượng
trọng lượng trung bình của các sp loại 1 với độ tin cậy
98% (giả sử trọng lượng sp có pp chuẩn)
36
Xi (gr) 800-850 850-900 900-950 950-1000 1000-1050 1050-1100 1100-1150
ni 5 10 20 30 5 10 20
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
3/11/2019
7
Bài 1
b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sp loại 1 với độ tin cậy
98% và độ chính xác 3% thì cần điều tra thêm bao
nhiêu sản phẩm nữa.
c) Giả sử trong kho để nhầm 1000sp của xí nghiệp B và
trong 100 sp lấy ra có 9 sp của xí nghiệp B. Hãy ước
lượng số sp của xí nghiệp A trong kho với độ tin cậy
82%.
37nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Bài 2
•Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản
phẩm là bnn có pp chuẩn. Xét trên 25 sản
phẩm ta có kết quả sau:
• Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% 
trong 2 trường hợp:
a) Biết kỳ vọng là 20?
b) Không biết kỳ vọng?
38
X 19,5 20 20,5
ni 5 18 2
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Bài 3
• Năng suất lúa một vùng (tạ/ha) là bnn có phân phối
chuẩn. Thu hoạch ngẫu nhiên 100 ha ta có số liệu sau:
• Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng với độ tin 
cậy 95%
• Tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho phương
sai của năng suất.
39
100 2
1
37,9; 1059i
i
x x x
 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Bài 4
• Lấy ngẫu nhiên 15 bao bột do một máy đóng bao
sản xuất ta có:
• Giả thiết trọng lượng các bao bột là bnn có phân
phối chuẩn. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình
 với độ tin cậy 95%.
40
239,8; 0,144x s 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Bài 5
• Một lô hàng có 5000 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên 400 
sản phẩm từ lô hàng thì thấy có 360 sản phẩm loại A.
a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A trong lô hàng với
độ tin cậy 96%?
b) Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của lô hàng
đạt độ chính xác 150 sản phẩm và độ tin cậy 99% thì
phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?
41nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Bài 6
• Để ước lượng số cá trong hồ người ta đánh bắt
2000 con, đánh dấu rồi thả xuống hồ. Sau đó người
ta đánh lên 400 con thì thấy có 40 con bị đánh dấu.
Với độ tin cậy 95%, số cá trong hồ khoảng bao
nhiêu con?
42nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
3/11/2019
8
Bài 7
• Một tổ chức nghiên cứu tiếp thị được thuê để ước 
lượng số trung bình lãi suất cho vay cơ bản của các 
ngân hàng đặt tại vùng phía tây của Hoa Kỳ. 
• Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 50 ngân hàng được 
chọn trong nội bộ vùng này, và lãi suất cơ bản được 
ghi nhận cho từng ngân hàng. 
• Trung bình và độ lệch chuẩn cho 50 lãi suất cơ bản 
là x = 1.8 % và s = 0.24 
• A) Hãy ước lượng số trung bình lãi suất cơ bản cho 
toàn khu vực, và tìm biên sai số đi cùng với ước 
lượng đó.
• B) Tìm một khoảng tin cậy 90% cho số trung bình tỷ 
lệ cho vay cơ bản.
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 43
Bài 8
• Một sự gia tăng tỷ lệ tiết kiệm của người tiêu dùng
thường được gắn chặt với sự thiếu tin tưởng vào
nền kinh tế và được cho là một chỉ báo về một xu
hướng suy thoái trong nền kinh tế.
• Chọn mẫu ngẫu nhiên n = 200 tài khoản tiết kiệm
tại một cộng đồng địa phương cho thấy một sự gia
tăng trung bình trong tài khoản tiết kiệm là 7.2%
trong vòng 12 tháng qua và một độ lệch chuẩn là
5.65.
• Ước lượng sự gia tăng tỷ lệ phần trăm trung bình
trong các giá trị tài khoản tiết kiệm trong 12 tháng
qua đối với những người gởi tiền trong cộng đồng
này. Hãy tính biên sai số ước lượng.
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 44
Bài tập
• 4.2 – 4.13
• 4.15; 4.19; 4.20
45nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019